第06讲妙用洛必达法则

第06讲妙用洛必达法则【典型例题】例1．已知．（1）求的单调区间；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1）的定义域为，，令，则所以当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以时，（1），即在上单调递增，所以的增区间为，无减区间．（2）对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立．当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立．记，则，记，则，所以在单调递减，又（1），所以，时，，即，所以在单调递减．所以，综上所述，的取值范围是．例2．设函数，其中．（1）时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（3）若，成立，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，切点为，则，所以，切线方程为，即，所以切线方程为：；（2）由题意可知，函数的定义域为，则，令，，①当时，，函数在上单调递增，无极值点，②当时，△，当时，△，，，所以在上单调递增，无极值点，当时，△，设方程的两个根，，，且，，此时，因为，，，，所以，因为，，时，，，函数单调递增，，时，，，函数单调递减，所以函数有两个极值点，当时，△，设方程的两个根，，，且，，此时，因为，所以，所以，时，，，函数单调递增，当，时，，，函数单调递减，所以函数有一个极值点，综上可知，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点；（3）当时，函数在上单调递增，因为，所以时，，符合题意，当时，，得，所以函数在上单调递增，又因为，所以时，，符合题意，当时，由，得，所以时，函数单调递减，因为，所以时，时，不符合题意，当时，设，因为时，，所以在上单调递增，所以当时，，即，可得，当时，，此时，不合题意，综上，的取值范围为，．例3．已知函数．（1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值；（2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围．【解析】解：（1），在点，（1）处的切线的斜率（1），又（1），切线的方程为，即，由经过点，可得．（2）证明：易知为方程的根，由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可．①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解，若，，，令，故在单调递增，在单调递减，故在单调递减，从而，，此时方程也无解．若，由，记，则，设，则有恒成立，恒成立，故令在上递增，在上递减（1），可知原方程也无解，由上面的分析可知时，，方程均无解．②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解，若，和①中的分析同理可知此时方程也无解．若，由，记，则，由①中的分析知，故在恒成立，从而在上单调递增，当时，，如果，即，则，要使方程无解，只需，即有如果，即，此时，，方程一定有解，不满足．由上面的分析知时，，方程均无解，综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解，的取值范围为．【同步练习】1．设函数，（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围．【解析】（1）时，，．当时，；当时，．故在单调减少，在单调增加．（2）当时，，对于任意实数，恒成立；当时，等价于，令，则，令，则，，所以在上为增函数，，所以在上为增函数，，所以，在上为增函数．而，，由洛必达法则知，，故．综上得的取值范围为．2．设函数，其中．（1）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）若，成立，求的取值范围．【解析】（1），定义域为，当时，，函数在为增函数，无极值点．设，当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数．若，即时，，函数在为增函数，无极值点．若，即或，而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2．（2）函数，，都有成立，即恒成立，设，则，设，则，所以和时，，所以在对应区间递减，时，，所以在对应区间递增，因为，，，所以和时，，所以在与上递增．当时，，所以，由的单调性得，；当时，，恒成立；当时，，所以，由的单调性得，所以，综上，3．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合．【解析】恒成立，即．当时显然成立，即．当时，，令，则，令，则，所以递增，所以，所以在上恒成立．所以在上递增，根据洛必达法则得，，所以．同理，当时，．综上所述，的取值集合为．4．设函数，，，其中是的导函数，若恒成立，求实数的取值范围．【解析】已知恒成立，即恒成立．当时，为任意实数，均有不等式恒成立．当时，不等式变形为恒成立．令，则，再令，则．因为，所以，所以在上递增，从而有．进而有，所以在上递增．当时，有，，由洛必达法则得，所以当时，．所以恒成立，则．综上，实数的取值范围为．5．若不等式对于恒成立，求的取值范围．【解析】当时，原不等式等价于．记，则．记，则．因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且．因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减．由洛必达法则有即当时，，即有．故时，不等式对于恒成立．6．设函数．设当时，，求的取值范围．【解析】应用洛必达法则和导数由题设，此时．（1）当时，若，