现代控制理论-9

现代控制理论

ModernControlTheory

(9)俞立浙江工业大学信息工程学院第4章系统的稳定性分析给定一个静止的系统，（1）给了一个初始扰动，它是否会恢复到静止状态；（2）在持续扰动下，系统的输出是否有界；不同的稳定性概念：（1）李雅普诺夫意义下的稳定性；（2）输入输出稳定性处理不同的扰动！李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫第一方法：利用矩阵特征值李雅普诺夫第二方法：利用能量函数（直接法）李雅普诺夫（1857－1918）1892年在博士论文中提出稳定性理论1907（15年后）出版了法文版1992（100年后）出版了英文版当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用经典动力学结构动力学流体力学航空动力学化学动力学生物学经济学控制李雅普诺夫稳定性理论在许多领域存在应用Lyapunov稳定性1。平衡点；2。通过系统能量来分析稳定性；3。李雅普诺夫函数。关键：选取适当的李雅普诺夫函数，给出判别其增加还是减小的方法。用导数的正负来判别函数的增加或减少；问题：需要有判别一个函数定号的方法！解决方法：二次型函数定号性判据。优点：1）用于分析；2）用于设计。平衡状态自治系统模型：假定：初始条件自治系统有惟一解使得成立的状态xe

称为是平衡状态。平衡状态

静止状态（时间导数等于零）对一个系统，可能没有平衡状态；存在一个平衡状态；存在无穷多个平衡状态。，当A

为非奇异矩阵时，有惟一平衡状态当A

为奇异矩阵时，有无穷多平衡状态假定：零状态是自治系统的平衡状态，

（非零状态的平衡点可以平移到零状态）n维空间中的任意一个点到原点距离称为欧几里德范数（实数中绝对值的推广）。半径为r的球域：状态轨线满足定义：对自治系统的平衡状态xe=0

，若对任意给定的，存在一个，使得只要状态轨线的初始状态满足，由该初始状态出发的状态轨线满足那么，系统的平衡状态xe=0

称为是李雅普诺夫意义下稳定的。系统能承受小的扰动！定义：对自治系统的平衡状态xe=0

，若该平衡状态xe=0

是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t→

时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)→0，则平衡状态xe=0

称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。完全能承受小的扰动！渐近稳定性是局部性质。需要确定渐近稳定域，吸引域。大范围渐近稳定。不稳定：无论从原点多小领域中出发的状态轨线都难以保持在原点的小邻域中。能量函数李雅普诺夫稳定性理论建立了系统能量与稳定性之间的关系。需要有一个抽象的能量函数来描述系统的虚拟能量。能量函数：状态和时间的标量函数V(x,t)

能量函数的定号性：V(x)正定：对所有非零的x，V(x,t)的正定性：存在正定函数W(x)，使得对所有非零的x，，负定：V(x)负定－V(x)

正定能量函数半正定：对所有x，，且。半负定：V(x)半负定－V(x)半正定。

不定：无论在原点的多么小领域内V(x)

既可以取到正值，也可以取到负值。例是正定的；是半正定的；（1）（2）对，是负定的；是不定的。二次型函数关于xi和xj

的二次多项式。注意：和是同类项。例矩阵P是对称的，称为表示矩阵。二次型函数的定号性就是矩阵P的定号性。问题：如何判别矩阵P的定号性？塞尔维斯