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文档简介
第1页(共1页)2022年浙江省台州市温岭中学提前招生数学试卷一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.(5分)实数n、m是连续整数,如果,那么m+n的值是()A.7 B.9 C.11 D.132.(5分)已知x是实数,且,则x2+x﹣2的值是()A. B. C. D.或或3.(5分)在平面直角坐标系中,平移二次函数y=(x﹣2015)(x﹣2017)+3的图象,使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度,则下列平移方式中可实现上述要求的是()A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位4.(5分)已知关于x的不等式<6的解也是不等式>﹣1的解,则a的取值范围是()A.a≥﹣ B.a>﹣ C.﹣≤a<0 D.以上都不正确5.(5分)对于实数c、d,我们可用min{c,d}表示c、d两数中较小的数,如min{3,﹣1}=﹣1.若关于x的函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=3对称,则a、t的值可能是()A.3,6 B.2,﹣6 C.2,6 D.﹣2,66.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=﹣x的图象如图所示,则方程ax2+(b+)x+c=0(a≠0)的两根之和()A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定7.(5分)操作:小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的纸片进行如下设计:方案一:图形中的圆过点A、B、C;方案二:直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合,斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率=100%以上方案一、二的利用率分别为a、b,则()A.b>a> B.b<a< C.a=b= D.a>b>8.(5分)已知下列变化:①向下平移1个单位长度;②向左平移2个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.函数y=的图象可以经过三次变化得到函数y=的图象,则这三次变化的顺序可以是()A.③→⑥→① B.③→④→① C.④→②→① D.⑥→②→①二.填空题(共6小题,每小题6分,共36分)9.(6分)二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是.10.(6分)一组数据10,x,10,8的中位数与众数相等,则x的取值范围是.11.(6分)5个正方形如图摆放在同一直线上,线段BQ经过点E、H、N,记△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面积分别为S1,S2,S3,S4,已知S1+S3=17,则S2+S4=.12.(6分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A、B的坐标分别为(1.5,3)、(6.5,3),动点C在双曲线y=上,且满足∠ACB=90°,当OC长度最小时,k的值为.13.(6分)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接OG.若OG•DE=3(2﹣),则⊙O的面积为.14.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,当点B滑动至点O重合时,运动结束.在点A运动过程中,点C的运动路径长为.三.解答题(共6小题)15.(10分)当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数,y为负数,则求此时m的取值范围?16.(10分)如图,放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm,灯罩BC长为32cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?17.(12分)如图,已知在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,DE、BF交于H,BF、AD的延长线交于G.(1)求证:△BEH≌△DEC;(2)若AB=,AG=5,连接CH,求CH的长.18.(12分)如图1,已知△ABC,∠CAB=45°,AB=7,AC=3,CD⊥AB于点D.E是边BC上的动点,以DE为直径作⊙O,交BC于F,交AB于点G,连结DF,FG.(1)求证:∠BCD=∠FDB.(2)当点E在线段BF上,且△DFG为等腰三角形时,求DG的长.(3)如图2,⊙O与CD的另一个交点为P.若射线AP经过点F,求的值.19.(14分)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息.(1)陈经理查看计划书时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买的图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本,请求出A、B两类图书的标价.(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案,A类图书每本标价降低a元(0<a<5)销售,B类图书价格不变,那么书店应如何进货才能获得最大利润?读书节”活动计划书书本类别A类B类进价(单位:元)1812备注1.用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本2.A类图书不少于600本20.(16分)如图1,二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO:S四边形AONB=1:48.(1)求直线AB和直线BC的解析式;(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD∥x轴,射线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F.当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线上点A,点C的对应点分别为点A′,点C′;当△A′C′K是直角三角形时,求t的值.
2022年浙江省台州市温岭中学提前招生数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.(5分)实数n、m是连续整数,如果,那么m+n的值是()A.7 B.9 C.11 D.13【分析】根据题意结合5<<6即可得出m,n的值,进而求出答案.【解答】解:∵n、m是连续整数,如果,∴n=5,m=6,∴m+n=11.故选:C.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出m,n的值是解题关键.2.(5分)已知x是实数,且,则x2+x﹣2的值是()A. B. C. D.或或【分析】根据二次根式有意义的条件可知2﹣x≥0,解得x≤2,再由,可得x的值,代入即可求解.【解答】解:依题意有2﹣x≥0,解得x≤2,又∵,∴x=2,∴x2+x﹣2=22+2﹣2=.故选:C.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键.3.(5分)在平面直角坐标系中,平移二次函数y=(x﹣2015)(x﹣2017)+3的图象,使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度,则下列平移方式中可实现上述要求的是()A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位【分析】未平移前函数图象经过(2015,3)(2017,3),2017﹣2015=2,所以将点向下平移3个单位,于是得到结论.【解答】解:∵平移二次函数y=(x﹣2015)(x﹣2017)+3的图象,使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度,∴将二次函数y=(x﹣2015)(x﹣2017)+3的图象向下平移3个单位得y=(x﹣2015)(x﹣2017),∵y=(x﹣2015)(x﹣2017)与x轴的交点坐标为(2015,0),(2017,0)∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度.故选:B.【点评】本题考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.4.(5分)已知关于x的不等式<6的解也是不等式>﹣1的解,则a的取值范围是()A.a≥﹣ B.a>﹣ C.﹣≤a<0 D.以上都不正确【分析】先根据不等式>﹣1求出x的取值范围,解不等式<6时,由于a的取值范围不确定,故应根据不等式的基本性质分a>0和a<0两种情况求x的取值范围,再根据两不等式有相同的解集,找出符合条件的a的取值范围即可.【解答】解:由>﹣1,解得x>,对于不等式<6,当a>0时,x<6a,则x<6a的解不全是x>的解,不合题意,当a<0时,x>6a,则6a≥,解得a≥﹣,故﹣≤a<0.故选:C.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,在解不等式<6时,要根据a的符号分类讨论,不要漏解.5.(5分)对于实数c、d,我们可用min{c,d}表示c、d两数中较小的数,如min{3,﹣1}=﹣1.若关于x的函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=3对称,则a、t的值可能是()A.3,6 B.2,﹣6 C.2,6 D.﹣2,6【分析】根据x的函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=3对称,对于四个选项一一判断即可解决问题.【解答】解:A、当a=3,t=6时,函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象不关于直线x=3对称,故本选项不符合题意.B、当a=2,t=﹣6时,函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=﹣3对称,故本选项不符合题意.C、当a=2,t=6时,函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=3对称,故本选项符合题意.D、当a=﹣2,t=6时,函数y=min{2x2,a(x﹣t)2}的图象关于直线x=6对称,故本选项不符合题意.故选:C.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,先根据题意分别代入验证a和t的值,是解答此题的关键.6.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=﹣x的图象如图所示,则方程ax2+(b+)x+c=0(a≠0)的两根之和()A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定【分析】设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2<0,a>0;设方程ax2+(b+)x+c=0(a≠0)的两根为m,n,再根据根与系数的关系即可得出结论.【解答】解:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,∵由二次函数的图象可知x1+x2<0,a>0,∴﹣<0.设方程ax2+(b+)x+c=0(a≠0)的两根为m,n,则m+n=﹣=﹣﹣,∵a>0,∴﹣<0,∵﹣<0.∴m+n<0.解法二:移项可得:ax2+bx+c=﹣x即二次函数与正比例函数相交时的交点.由图可知,两个交点,一个在x轴的负半轴(距离原点较远),一个在x轴的正半轴,所以,两根的和为负.故选:C.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.7.(5分)操作:小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒,现选用一些废弃的纸片进行如下设计:方案一:图形中的圆过点A、B、C;方案二:直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合,斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率=100%以上方案一、二的利用率分别为a、b,则()A.b>a> B.b<a< C.a=b= D.a>b>【分析】根据图形的面积公式进行计算,再比较大小.【解答】解:方案一:圆的半径为:,a=≈=0.4,方案二:直角三角形的直角边的比为:1:2,∴直角三角形的直角边分别为:4cm,8cm,∴b==0.375,∴a>b,故选:D.【点评】本题考查了几何体的展开图,掌握相似三角形的性质是解题的关键.8.(5分)已知下列变化:①向下平移1个单位长度;②向左平移2个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.函数y=的图象可以经过三次变化得到函数y=的图象,则这三次变化的顺序可以是()A.③→⑥→① B.③→④→① C.④→②→① D.⑥→②→①【分析】首先把函数解析式变为y===﹣1,然后根据“左减右加,上加下减”的规律即可求解.【解答】解∵y===﹣1,∴函数y=的图象先将纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到y=;再向左平移2个单位,向下平移1个单位即可得到函数y=的图象,故选:C.【点评】本题考查反比例函数的图象.在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.二.填空题(共6小题,每小题6分,共36分)9.(6分)二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是2.【分析】先用含y的代数式表示出x=6﹣2y,再将符合条件的y的值代入x=6﹣2y即可求解.【解答】解:当y=1时,x=4,当y=2时,x=2,所以二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是2,故答案为:2.【点评】本题主要考查了二元一次方程的解,掌握用含y的式子表示x是解题的关键.10.(6分)一组数据10,x,10,8的中位数与众数相等,则x的取值范围是x≥10.【分析】众数只能是10,因此根据中位数的定义即可求得x的取值范围.【解答】解:当众数是10时,则中位数是10,故x≥10.故答案为:x≥10.【点评】本题考查了众数与中位数的概念.得出众数是10是解答本题的关键.11.(6分)5个正方形如图摆放在同一直线上,线段BQ经过点E、H、N,记△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面积分别为S1,S2,S3,S4,已知S1+S3=17,则S2+S4=68.【分析】由如图5个正方形摆放在同一直线上,可得tan∠EBF=tan∠AEB==,∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF,然后设DR=a,则EF=BD=CD=CE=2a,根据三角函数的知识,即可得:MH=4a,MN=8a,PN=8a,PQ=16a,又由S1+S3=17,即可求得a2的值,继而可求得S2+S4的值.【解答】解:∵四边形ABDC与四边形CDFE是正方形,∴BD=DF=EF,AE∥BF,∴∠EBF=∠AEB,∴tan∠EBF=tan∠AEB==,同理可得:∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF,设DR=a,则EF=BD=CD=CE=2a,∴CR=a,∵tan∠EBF==,∴FI=HI=GH=4a,∴GE=2a,同理可得:MH=4a,MN=8a,PN=8a,PQ=16a,∴S1+S3=×a×2a+×4a×8a=17,解得:a2=1,∴S2+S4=×2a×4a+×8a×16a=68a2=68.故答案为:68.【点评】此题考查了正方形的性质、三角函数的性质以及面积与等积变换问题.此题难度较大,解题的关键是根据题意设DR=a,根据三角函数的知识,求得CE、CR、MH、MN、PN、PQ,然后由S1+S3=17,求得a2的值.12.(6分)如图,在平面直角坐标系中,线段AB的端点A、B的坐标分别为(1.5,3)、(6.5,3),动点C在双曲线y=上,且满足∠ACB=90°,当OC长度最小时,k的值为3.【分析】取AB的中点D,连接OD,CD,OC,根据中点坐标公式可得点D坐标,进一步可得OD的长,根据直角三角形的性质可得CD的长,根据三角形三边关系可得当O,C,D三点共线时,OC取得最小值,待定系数法求OD的解析式,设点C坐标为(m,),DC==2.5,求出m的值,进一步可得C点坐标,代入反比例函数解析式求出k的值即可.【解答】解:取AB的中点D,连接OD,CD,OC,如图所示:∵线段AB的端点A、B的坐标分别为(1.5,3)、(6.5,3),∴点D坐标为(4,3),∵∠ACB=90°,AB=5,∴CD==2.5,当O,C,D三点共线时,OC取得最小值,设直线OD的解析式为y=ax(a≠0),代入点(4,3),得4a=3,解得a=,∴直线OD的解析式为y=x,设点C坐标为(m,),∴DC==2.5,解得m=2或m=6(舍去),∴点C坐标为(2,),将C点坐标代入双曲线y=,得k=3,故答案为:3.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,直角三角形的性质,三角形三边关系,待定系数法求解析式等,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.13.(6分)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连接CD,G是CD的中点,连接OG.若OG•DE=3(2﹣),则⊙O的面积为6π.【分析】构造等弦的弦心距,运用相似三角形以及勾股定理进行求解.【解答】解:如图,过点O作BD的垂线,垂足为H,则H为BD的中点.∴OH=AD,即AD=2OH,又∵∠CAD=∠BAD⇒CD=BD,∴OH=OG.在Rt△BDE和Rt△ADB中,∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,∴Rt△BDE∽Rt△ADB,=,即BD2=AD•DE.BD2=AD•DE=2OG•DE=6(2﹣).又BD=FD,∴BF=2BD,∴BF2=4BD2=24(2﹣)①,AC=x,则BC=x,AB=x,∵AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠BAD.在Rt△ABD和Rt△AFD中,∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA).∴AF=AB=BC=FD.∴CF=AF﹣AC=x﹣x=(﹣1)x.在Rt△BCF中,由勾股定理,得BF2=BC2+CF2=x2+[(﹣1)x]2=2(2﹣)x2②由①、②,得2(2﹣)x2=24(2﹣),∴x2=12,解得x=2或﹣2(舍去),∴AB=x=•2=2,∴⊙O的半径长为.∴S⊙O=π•()2=6π.故答案为6π.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线及圆周角定理等知识,综合性较强,解题时熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键.14.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,AC=3,点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,当点B滑动至点O重合时,运动结束.在点A运动过程中,点C的运动路径长为9﹣3.【分析】易求∠ABC=30°,由勾股定理得出BC==3,由题意得出点O始终在圆G上,由圆周角定理得出∠AOC=∠ABC=30°,点C在与x轴夹角为30°的射线上运动.根据图形进而得出答案.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,AC=3,∴==,∴∠ABC=30°,BC===3,∵∠ACB=90°,点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,当点B滑动至点O重合时,运动结束,∴点O始终在圆G上,如图1、图2所示:连接OC,∴∠AOC=∠ABC=30°,点C在与x轴夹角为30°的射线上运动.∴如图3,点C的运动路径为:C1C2=OC2﹣OC1=6﹣3=3;如图4,点C的运动路径为:C2C3=OC2﹣OC3=6﹣3;∴点C的运动路径长为:C1C2+C2C3=3+6﹣3=9﹣3.故答案为:9﹣3.【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、轨迹等知识;熟练掌握圆周角定理,得出点C的运动轨迹是解题的关键.三.解答题(共6小题)15.(10分)当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数,y为负数,则求此时m的取值范围?【分析】先解方程组用含m的代数式表示x,y的值,再代入有关x,y的不等关系得到关于m的不等式求解即可.【解答】解:由方程组得:∵x为正数,y为负数∴x=﹣m﹣1>0,y=1.5m﹣2<0,即m<﹣1,m<∴m<﹣1.【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法.理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x,y,找到关于x,y的不等式并用m表示出来是解题的关键.16.(10分)如图,放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm,灯罩BC长为32cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?【分析】过点B作BM⊥CE于点M,BF⊥DA于点F,在Rt△BCM和Rt△ABF中,通过解直角三角形可求出CM、BF的长,再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长.【解答】解:过点B作BM⊥CE于点M,BF⊥DA于点F,如图所示.在Rt△BCM中,BC=32cm,∠CBM=30°,∴CM=BC•sin∠CBM=16cm.在Rt△ABF中,AB=42cm,∠BAD=60°,∴BF=AB•sin∠BAD=21cm.∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°,∴四边形BFDM为矩形,∴MD=BF,∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2=21+18(cm).答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是(21+18)cm.【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质,通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键.17.(12分)如图,已知在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,DE、BF交于H,BF、AD的延长线交于G.(1)求证:△BEH≌△DEC;(2)若AB=,AG=5,连接CH,求CH的长.【分析】(1)由DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,得∠BEH=∠DEC=∠BFC=90°,可证明∠EBH=∠EDC,∠EDB=∠EBD=45°,则BE=DE,即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△BEH≌△DEC;(2)由平行四边形的性质得AB∥DC,BC∥AD,则∠ABG=∠DFG=90°,∠HBE=∠AGB,所以=sin∠HBE=sin∠AGB==,而BH=DC=AB=,则EH=EC=BH=1,即可根据勾股定理求得CH===.【解答】(1)证明:∵DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,∴∠BEH=∠DEC=∠BFC=90°,∴∠EBH=∠EDC=90°﹣∠C,∵∠BED=90°,∠DBC=45°,∴∠EDB=∠EBD=45°,∴BE=DE,在△BEH和△DEC中,,∴△BEH≌△DEC(ASA).(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,BC∥AD,∴∠ABG=∠DFG=90°,∠HBE=∠AGB,∵AB=,AG=5,∴=sin∠HBE=sin∠AGB==,∵△BEH≌△DEC,∴BH=DC=AB=,∴EH=EC=BH=×=1,∴CH===,∴CH的长是.【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,证明BE=DE,进而证明△BEH≌△DEC是解题的关键.18.(12分)如图1,已知△ABC,∠CAB=45°,AB=7,AC=3,CD⊥AB于点D.E是边BC上的动点,以DE为直径作⊙O,交BC于F,交AB于点G,连结DF,FG.(1)求证:∠BCD=∠FDB.(2)当点E在线段BF上,且△DFG为等腰三角形时,求DG的长.(3)如图2,⊙O与CD的另一个交点为P.若射线AP经过点F,求的值.【分析】(1)利用直角三角形的性质和圆周角定理解答即可;(2)利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得DF的长,再利用分类讨论的方法分三种情况解答:①当DF=DG时,DG=DF=;②当DF=FG时,连接FO并延长交DG于点H,利用相似三角形点P的与性质和勾股定理解答即可;③当DG=FG时,利用直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可;(3)利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】(1)证明:∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°.∵DE为⊙O的直径,∴∠DFB=90°,∴∠FDB+∠B=90°,∴∠BCD=∠FDB;(2)解:∵CD⊥AB,∠CAB=45°,∴AD=CD=AC,∵AC=3,∴AD=CD=3,∴BD=AB﹣AD=7﹣3=4.∴BC==5.由(1)知:DF⊥BC,∵,∴CD•BD=BC•DF,∴DF=.若△DFG为等腰三角形时,①当DF=DG时,DG=DF=;②当DF=FG时,连接FO并延长交DG于点H,如图,∵DF=FG,∴,∴FH⊥BD,∴DH=HG=DG.∵CD⊥AB,∴CD∥FH.∴△BFH∽△BCD,∴.∵BF==,∴,∴FH=.∴DH==,∴DG=2DH=;③当DG=FG时,∵DE为⊙O的直径,∴∠DFB=90°,∴∠DFG+∠BFG=90°.∵DG=FG,∴∠FDG=∠GFD,∴∠FDG+∠GFB=90°.∵∠B+∠FDG=90°,∴∠B=∠GFB,∴GF=GB,∴DG=FG=GB=BD=4=2.综上,DG的长为或或2;(3)∵四边形DPFE为圆的内接四边形,∴∠APD=∠FED.∵DE为⊙O的直径,∴∠DFB=90°,∴∠FDE+∠FED=90°.∵CD⊥AB,∴∠PAD+∠APD=90°,∴∠PAD=∠FDE,∴△PAD∽△EDF.∴=.【点评】本题主要考查了圆的有关性质,圆周角定理,垂径定理及其推论,等腰直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,圆的内接四边形的性质,利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.19.(14分)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划,以下是活动计划书的部分信息.(1)陈经理查看计划书时发现:A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍,若顾客用540元购买的图书,能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本,请求出A、B两类图书的标价.(2)经市场调查后,陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响,便调整了销售方案,A类图书每本标价降低a元(0<a<5)销售,B类图书价格不变,那么书店应如何进货才能获得最大利润?读书节”活动计划书书本类别A类B类进价(单位:元)1812备注1.用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本2.A类图书不少于600本【分析】(1)先设B类图书的标价为x元,则由题意可知A类图书的标价为1.5x元,然后根据题意列出方程,求解即可.(2)先设购进A类图书t本,总利润为w元,则购进B类图书为(1000﹣t)本,根据题目中所给的信息列出不等式组,求出t的取值范围,然后根据总利润w=总售价﹣总成本,求出最佳的进货方案.【解答】解:(1)设B类图书的标价为x元,则A类图书的标价为1.5x元,根据题意可得﹣10=,化简得:540﹣10x=360,解得:x=18,经检验:x=18是原分式方程的解,且符合题意,则A类图书的标价为:1.5x=1.5×18=27(元),答:A类图书的标价为27元,B类图书的标价为18元;(2)设购进A类图书t本,总利润为w元,A类图书的标价为(27﹣a)元(0<a<5),由题意得,,解得:600≤t≤800,则总利润w=(27﹣a﹣18)t+(18﹣12)(1000﹣t)=(9﹣a)t+6(1000﹣t)=6000+(3﹣a)t,故当0<a<3时,3﹣a>0,t=800时,总利润最大,且大于6000元;当a=3时,3﹣a=0,无论t值如何变化,总利润均为6000元;当3<a<5时,3﹣a<0,t=600时,总利润最大,且小于6000元;答:当A类图书每本降价少于3元时,A类图书购进800本,B类图书购进200本时,利润最大;当A类图书每本降价大于等于3元,小于5元时,A类图书购进600本,B类图书购进400本时,利润最大.【点评】本题考查了一次函数的应用,涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题,解答本题的关键在于读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程和不等式组求解.20.(16分)如图1,二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过
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