2022年浙江省台州市温岭中学提前招生数学试卷

第1页（共1页）2022年浙江省台州市温岭中学提前招生数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）实数n、m是连续整数，如果，那么m+n的值是（）A．7 B．9 C．11 D．132．（5分）已知x是实数，且，则x2+x﹣2的值是（）A． B． C． D．或或3．（5分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（）A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位4．（5分）已知关于x的不等式＜6的解也是不等式＞﹣1的解，则a的取值范围是（）A．a≥﹣ B．a＞﹣ C．﹣≤a＜0 D．以上都不正确5．（5分）对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（）A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，66．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定7．（5分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率＝100%以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（）A．b＞a＞ B．b＜a＜ C．a＝b＝ D．a＞b＞8．（5分）已知下列变化：①向下平移1个单位长度；②向左平移2个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．函数y＝的图象可以经过三次变化得到函数y＝的图象，则这三次变化的顺序可以是（）A．③→⑥→① B．③→④→① C．④→②→① D．⑥→②→①二．填空题（共6小题，每小题6分，共36分）9．（6分）二元一次方程x+2y＝6的正整数解的个数是．10．（6分）一组数据10，x，10，8的中位数与众数相等，则x的取值范围是．11．（6分）5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ经过点E、H、N，记△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1+S3＝17，则S2+S4＝．12．（6分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A、B的坐标分别为（1.5，3）、（6.5，3），动点C在双曲线y＝上，且满足∠ACB＝90°，当OC长度最小时，k的值为．13．（6分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．若OG•DE＝3（2﹣），则⊙O的面积为．14．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，当点B滑动至点O重合时，运动结束．在点A运动过程中，点C的运动路径长为．三．解答题（共6小题）15．（10分）当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数，y为负数，则求此时m的取值范围？16．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？17．（12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G．（1）求证：△BEH≌△DEC；（2）若AB＝，AG＝5，连接CH，求CH的长．18．（12分）如图1，已知△ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D．E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC于F，交AB于点G，连结DF，FG．（1）求证：∠BCD＝∠FDB．（2）当点E在线段BF上，且△DFG为等腰三角形时，求DG的长．（3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P．若射线AP经过点F，求的值．19．（14分）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息．（1）陈经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价．（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？读书节”活动计划书书本类别A类B类进价（单位：元）1812备注1．用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本2．A类图书不少于600本20．（16分）如图1，二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB＝1：48．（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y＝x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．

2022年浙江省台州市温岭中学提前招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）实数n、m是连续整数，如果，那么m+n的值是（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】根据题意结合5＜＜6即可得出m，n的值，进而求出答案．【解答】解：∵n、m是连续整数，如果，∴n＝5，m＝6，∴m+n＝11．故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出m，n的值是解题关键．2．（5分）已知x是实数，且，则x2+x﹣2的值是（）A． B． C． D．或或【分析】根据二次根式有意义的条件可知2﹣x≥0，解得x≤2，再由，可得x的值，代入即可求解．【解答】解：依题意有2﹣x≥0，解得x≤2，又∵，∴x＝2，∴x2+x﹣2＝22+2﹣2＝．故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解得x的取值范围后得到x的值是解题的关键．3．（5分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（）A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位【分析】未平移前函数图象经过（2015，3）（2017，3），2017﹣2015＝2，所以将点向下平移3个单位，于是得到结论．【解答】解：∵平移二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象，使其与x轴两交点间的距离为2个单位长度，∴将二次函数y＝（x﹣2015）（x﹣2017）+3的图象向下平移3个单位得y＝（x﹣2015）（x﹣2017），∵y＝（x﹣2015）（x﹣2017）与x轴的交点坐标为（2015，0），（2017，0）∴与x轴两交点间的距离为2个单位长度．故选：B．【点评】本题考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．4．（5分）已知关于x的不等式＜6的解也是不等式＞﹣1的解，则a的取值范围是（）A．a≥﹣ B．a＞﹣ C．﹣≤a＜0 D．以上都不正确【分析】先根据不等式＞﹣1求出x的取值范围，解不等式＜6时，由于a的取值范围不确定，故应根据不等式的基本性质分a＞0和a＜0两种情况求x的取值范围，再根据两不等式有相同的解集，找出符合条件的a的取值范围即可．【解答】解：由＞﹣1，解得x＞，对于不等式＜6，当a＞0时，x＜6a，则x＜6a的解不全是x＞的解，不合题意，当a＜0时，x＞6a，则6a≥，解得a≥﹣，故﹣≤a＜0．故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在解不等式＜6时，要根据a的符号分类讨论，不要漏解．5．（5分）对于实数c、d，我们可用min{c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，﹣1}＝﹣1．若关于x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，则a、t的值可能是（）A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6【分析】根据x的函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，对于四个选项一一判断即可解决问题．【解答】解：A、当a＝3，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象不关于直线x＝3对称，故本选项不符合题意．B、当a＝2，t＝﹣6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝﹣3对称，故本选项不符合题意．C、当a＝2，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝3对称，故本选项符合题意．D、当a＝﹣2，t＝6时，函数y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的图象关于直线x＝6对称，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先根据题意分别代入验证a和t的值，是解答此题的关键．6．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝﹣x的图象如图所示，则方程ax2+（b+）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定【分析】设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＜0，a＞0；设方程ax2+（b+）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＜0，a＞0，∴﹣＜0．设方程ax2+（b+）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n＝﹣＝﹣﹣，∵a＞0，∴﹣＜0，∵﹣＜0．∴m+n＜0．解法二：移项可得：ax2+bx+c＝﹣x即二次函数与正比例函数相交时的交点．由图可知，两个交点，一个在x轴的负半轴（距离原点较远），一个在x轴的正半轴，所以，两根的和为负．故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．7．（5分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率＝100%以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（）A．b＞a＞ B．b＜a＜ C．a＝b＝ D．a＞b＞【分析】根据图形的面积公式进行计算，再比较大小．【解答】解：方案一：圆的半径为：，a＝≈＝0.4，方案二：直角三角形的直角边的比为：1：2，∴直角三角形的直角边分别为：4cm，8cm，∴b＝＝0.375，∴a＞b，故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．（5分）已知下列变化：①向下平移1个单位长度；②向左平移2个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．函数y＝的图象可以经过三次变化得到函数y＝的图象，则这三次变化的顺序可以是（）A．③→⑥→① B．③→④→① C．④→②→① D．⑥→②→①【分析】首先把函数解析式变为y＝＝＝﹣1，然后根据“左减右加，上加下减”的规律即可求解．【解答】解∵y＝＝＝﹣1，∴函数y＝的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y＝；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y＝的图象，故选：C．【点评】本题考查反比例函数的图象．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．二．填空题（共6小题，每小题6分，共36分）9．（6分）二元一次方程x+2y＝6的正整数解的个数是2．【分析】先用含y的代数式表示出x＝6﹣2y，再将符合条件的y的值代入x＝6﹣2y即可求解．【解答】解：当y＝1时，x＝4，当y＝2时，x＝2，所以二元一次方程x+2y＝6的正整数解的个数是2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握用含y的式子表示x是解题的关键．10．（6分）一组数据10，x，10，8的中位数与众数相等，则x的取值范围是x≥10．【分析】众数只能是10，因此根据中位数的定义即可求得x的取值范围．【解答】解：当众数是10时，则中位数是10，故x≥10．故答案为：x≥10．【点评】本题考查了众数与中位数的概念．得出众数是10是解答本题的关键．11．（6分）5个正方形如图摆放在同一直线上，线段BQ经过点E、H、N，记△RCE、△GEH、△MHN、△PNQ的面积分别为S1，S2，S3，S4，已知S1+S3＝17，则S2+S4＝68．【分析】由如图5个正方形摆放在同一直线上，可得tan∠EBF＝tan∠AEB＝＝，∠GHE＝∠MNH＝∠PQN＝∠EBF，然后设DR＝a，则EF＝BD＝CD＝CE＝2a，根据三角函数的知识，即可得：MH＝4a，MN＝8a，PN＝8a，PQ＝16a，又由S1+S3＝17，即可求得a2的值，继而可求得S2+S4的值．【解答】解：∵四边形ABDC与四边形CDFE是正方形，∴BD＝DF＝EF，AE∥BF，∴∠EBF＝∠AEB，∴tan∠EBF＝tan∠AEB＝＝，同理可得：∠GHE＝∠MNH＝∠PQN＝∠EBF，设DR＝a，则EF＝BD＝CD＝CE＝2a，∴CR＝a，∵tan∠EBF＝＝，∴FI＝HI＝GH＝4a，∴GE＝2a，同理可得：MH＝4a，MN＝8a，PN＝8a，PQ＝16a，∴S1+S3＝×a×2a+×4a×8a＝17，解得：a2＝1，∴S2+S4＝×2a×4a+×8a×16a＝68a2＝68．故答案为：68．【点评】此题考查了正方形的性质、三角函数的性质以及面积与等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是根据题意设DR＝a，根据三角函数的知识，求得CE、CR、MH、MN、PN、PQ，然后由S1+S3＝17，求得a2的值．12．（6分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A、B的坐标分别为（1.5，3）、（6.5，3），动点C在双曲线y＝上，且满足∠ACB＝90°，当OC长度最小时，k的值为3．【分析】取AB的中点D，连接OD，CD，OC，根据中点坐标公式可得点D坐标，进一步可得OD的长，根据直角三角形的性质可得CD的长，根据三角形三边关系可得当O，C，D三点共线时，OC取得最小值，待定系数法求OD的解析式，设点C坐标为（m，），DC＝＝2.5，求出m的值，进一步可得C点坐标，代入反比例函数解析式求出k的值即可．【解答】解：取AB的中点D，连接OD，CD，OC，如图所示：∵线段AB的端点A、B的坐标分别为（1.5，3）、（6.5，3），∴点D坐标为（4，3），∵∠ACB＝90°，AB＝5，∴CD＝＝2.5，当O，C，D三点共线时，OC取得最小值，设直线OD的解析式为y＝ax（a≠0），代入点（4，3），得4a＝3，解得a＝，∴直线OD的解析式为y＝x，设点C坐标为（m，），∴DC＝＝2.5，解得m＝2或m＝6（舍去），∴点C坐标为（2，），将C点坐标代入双曲线y＝，得k＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，三角形三边关系，待定系数法求解析式等，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．13．（6分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．若OG•DE＝3（2﹣），则⊙O的面积为6π．【分析】构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．【解答】解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH＝AD，即AD＝2OH，又∵∠CAD＝∠BAD⇒CD＝BD，∴OH＝OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，＝，即BD2＝AD•DE．BD2＝AD•DE＝2OG•DE＝6（2﹣）．又BD＝FD，∴BF＝2BD，∴BF2＝4BD2＝24（2﹣）①，AC＝x，则BC＝x，AB＝x，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD＝∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB＝∠ADF＝90°，AD＝AD，∠FAD＝∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF＝AB＝BC＝FD．∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（﹣1）x．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF2＝BC2+CF2＝x2+[（﹣1）x]2＝2（2﹣）x2②由①、②，得2（2﹣）x2＝24（2﹣），∴x2＝12，解得x＝2或﹣2（舍去），∴AB＝x＝•2＝2，∴⊙O的半径长为．∴S⊙O＝π•（）2＝6π．故答案为6π．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线及圆周角定理等知识，综合性较强，解题时熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．14．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，当点B滑动至点O重合时，运动结束．在点A运动过程中，点C的运动路径长为9﹣3．【分析】易求∠ABC＝30°，由勾股定理得出BC＝＝3，由题意得出点O始终在圆G上，由圆周角定理得出∠AOC＝∠ABC＝30°，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动．根据图形进而得出答案．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝3，∴＝＝，∴∠ABC＝30°，BC＝＝＝3，∵∠ACB＝90°，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，当点B滑动至点O重合时，运动结束，∴点O始终在圆G上，如图1、图2所示：连接OC，∴∠AOC＝∠ABC＝30°，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动．∴如图3，点C的运动路径为：C1C2＝OC2﹣OC1＝6﹣3＝3；如图4，点C的运动路径为：C2C3＝OC2﹣OC3＝6﹣3；∴点C的运动路径长为：C1C2+C2C3＝3+6﹣3＝9﹣3．故答案为：9﹣3．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、轨迹等知识；熟练掌握圆周角定理，得出点C的运动轨迹是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（10分）当关于x、y的二元一次方程组的解x为正数，y为负数，则求此时m的取值范围？【分析】先解方程组用含m的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于m的不等式求解即可．【解答】解：由方程组得：∵x为正数，y为负数∴x＝﹣m﹣1＞0，y＝1.5m﹣2＜0，即m＜﹣1，m＜∴m＜﹣1．【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法．理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用m表示出来是解题的关键．16．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE＝CM+BF+ED即可求出CE的长．【解答】解：过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．在Rt△BCM中，BC＝32cm，∠CBM＝30°，∴CM＝BC•sin∠CBM＝16cm．在Rt△ABF中，AB＝42cm，∠BAD＝60°，∴BF＝AB•sin∠BAD＝21cm．∵∠ADC＝∠BMD＝∠BFD＝90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD＝BF，∴CE＝CM+MD+DE＝CM+BF+ED＝16+21+2＝21+18（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（21+18）cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．17．（12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF交于H，BF、AD的延长线交于G．（1）求证：△BEH≌△DEC；（2）若AB＝，AG＝5，连接CH，求CH的长．【分析】（1）由DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，得∠BEH＝∠DEC＝∠BFC＝90°，可证明∠EBH＝∠EDC，∠EDB＝∠EBD＝45°，则BE＝DE，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△BEH≌△DEC；（2）由平行四边形的性质得AB∥DC，BC∥AD，则∠ABG＝∠DFG＝90°，∠HBE＝∠AGB，所以＝sin∠HBE＝sin∠AGB＝＝，而BH＝DC＝AB＝，则EH＝EC＝BH＝1，即可根据勾股定理求得CH＝＝＝．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，∴∠BEH＝∠DEC＝∠BFC＝90°，∴∠EBH＝∠EDC＝90°﹣∠C，∵∠BED＝90°，∠DBC＝45°，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴BE＝DE，在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（ASA）．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC∥AD，∴∠ABG＝∠DFG＝90°，∠HBE＝∠AGB，∵AB＝，AG＝5，∴＝sin∠HBE＝sin∠AGB＝＝，∵△BEH≌△DEC，∴BH＝DC＝AB＝，∴EH＝EC＝BH＝×＝1，∴CH＝＝＝，∴CH的长是．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明BE＝DE，进而证明△BEH≌△DEC是解题的关键．18．（12分）如图1，已知△ABC，∠CAB＝45°，AB＝7，AC＝3，CD⊥AB于点D．E是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O，交BC于F，交AB于点G，连结DF，FG．（1）求证：∠BCD＝∠FDB．（2）当点E在线段BF上，且△DFG为等腰三角形时，求DG的长．（3）如图2，⊙O与CD的另一个交点为P．若射线AP经过点F，求的值．【分析】（1）利用直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；（2）利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得DF的长，再利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当DF＝DG时，DG＝DF＝；②当DF＝FG时，连接FO并延长交DG于点H，利用相似三角形点P的与性质和勾股定理解答即可；③当DG＝FG时，利用直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可；（3）利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°．∵DE为⊙O的直径，∴∠DFB＝90°，∴∠FDB+∠B＝90°，∴∠BCD＝∠FDB；（2）解：∵CD⊥AB，∠CAB＝45°，∴AD＝CD＝AC，∵AC＝3，∴AD＝CD＝3，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣3＝4．∴BC＝＝5．由（1）知：DF⊥BC，∵，∴CD•BD＝BC•DF，∴DF＝．若△DFG为等腰三角形时，①当DF＝DG时，DG＝DF＝；②当DF＝FG时，连接FO并延长交DG于点H，如图，∵DF＝FG，∴，∴FH⊥BD，∴DH＝HG＝DG．∵CD⊥AB，∴CD∥FH．∴△BFH∽△BCD，∴．∵BF＝＝，∴，∴FH＝．∴DH＝＝，∴DG＝2DH＝；③当DG＝FG时，∵DE为⊙O的直径，∴∠DFB＝90°，∴∠DFG+∠BFG＝90°．∵DG＝FG，∴∠FDG＝∠GFD，∴∠FDG+∠GFB＝90°．∵∠B+∠FDG＝90°，∴∠B＝∠GFB，∴GF＝GB，∴DG＝FG＝GB＝BD＝4＝2．综上，DG的长为或或2；（3）∵四边形DPFE为圆的内接四边形，∴∠APD＝∠FED．∵DE为⊙O的直径，∴∠DFB＝90°，∴∠FDE+∠FED＝90°．∵CD⊥AB，∴∠PAD+∠APD＝90°，∴∠PAD＝∠FDE，∴△PAD∽△EDF．∴＝．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．19．（14分）某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息．（1）陈经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价．（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？读书节”活动计划书书本类别A类B类进价（单位：元）1812备注1．用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本2．A类图书不少于600本【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，根据题意可得﹣10＝，化简得：540﹣10x＝360，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，则A类图书的标价为：1.5x＝1.5×18＝27（元），答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），由题意得，，解得：600≤t≤800，则总利润w＝（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）＝（9﹣a）t+6（1000﹣t）＝6000+（3﹣a）t，故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t＝800时，总利润最大，且大于6000元；当a＝3时，3﹣a＝0，无论t值如何变化，总利润均为6000元；当3＜a＜5时，3﹣a＜0，t＝600时，总利润最大，且小于6000元；答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．20．（16分）如图1，二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过