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顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷本试卷共4150120结束后,将答题卡交回。一.选择题(本大题共10小题,共40=−1.设集合Axx10,集合B=x0x,则A()A.3)(B.1,3(()C.(+)D.2.若复数z满足A.1−i,则z的共轭复数z=()B.1+iC.iD.−1+i3.如图所示,直线l,l,l的斜率分别为k,k,k,则下列结论正确的是()123123A.1k2k3kkkB.213C.k2k31D.kkk312的终边经过点(−)(+)=4.已知角3,4cosπ()435345−A.B.C.D.555.下列函数中,既是偶函数,又在区间)上单调递减的是()y=cosxD.y=21A.y=x3B.C.y=x2x17中,若a=7,b=8,cosB=,则A的大小为()6.在ππ5ππ2πA.B.C.D.或63633AB+ACAB−AC”的7.设点,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰=30m,==10m三角形.若,且等腰梯形所在的平145面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为,则该五面体的所有棱长之和为()A.100mC.117mB.112mD.132m9.函数fxsin2x图象上存在两点Ps,t,Qr,tt0满足r−s=()=()()(),则下列结论成立的是()663612A.fs−=−=B.fs−+=−231C.fs+D.fs=62622−+axaxx10.已知函数f(x)=f(x)=k都恰有两个不相等的实,若对于任意正数k,关于的方程xx+a,xaa数根,则满足条件的实数的个数为()A.0B.1C.2D.无数二.填空题(本大题共5小题,共252.函数y2x)+=−.的定义域是x12.首项为1的等比数列a中,4a,2a,a成等差数列,则公比q=.n12313.能说明“若sin=cos,则+=k+,其中kZ”为假命题的一组的值是,.14.如图,这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成,若正方形的边长为,点P在四段圆弧上运动,则的取值范围为.APAB15.如图,在棱长为2的正方体ABCDABCD中,点M,N分别在线段−AD和BC上.1111111给出下列四个结论:①MN的最小值为2;43②四面体NMBC的体积为;③有且仅有一条直线MN与AD垂直;1④存在点M,N,使△MBN为等边三角形.其中所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)1()=+16本小题13)已知函数fxsincosxcos2x.2π45(1)若0,且sin=f),求的值;2()()(2)求函数fx的最小正周期,及函数fx的单调递减区间.3317本小题14在中,已知sinC=,请从下列三个条件中选择两个,使得存在,并解1475答下列问题:条件①:a=c;条件②:ba1;条件③:−=bcosA=−.32(1)求A的大小;(2)求B和a的值.18本小题14某校工会开展健步走活动,要求教职工上传3月13月7日微信记步数信息,下图是职工甲和职工乙微信记步数情况:(1)从3月13月7日中任选一天,求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率;(2)从3月13月7日中任选两天,记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X,求X的分布列及数学期望;(3)如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据,制作的全校名教职工微信记步数的频率分布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68142,请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(结论不要求证明)19本小题15)如图,在多面体中,四边形是边长为3的正方形,平面⊥平面,,⊥,DE=3AF=36.(1)求证:⊥平面;(2)求平面BEF与平面夹角的余弦值;(3)线段CE上是否存在点P,使得AP平面BEF?若存在,指出点P的位置并证明;若不存在,请说明理由.()()20本小题15已知函数fx=x+ax−x+1.(1)若曲线y=()在点f(e))处的切线斜率为,求实数的值;fx1af(x)0;(2a0时,求证:=(3푓(푥)在区间上存在极值点,求实数a的取值范围.21本小题14)已知数列an,对于任意的nN+a*,都有anan+22an1,则称数列为“凹数列.n(1)已知数列{푎{푏的前n项和分别为A,B,且a2n1,b=−=−2n1,试判断数列A,数列n푛푛nnnn“”B是否为凹数列,并说明理由;nb(2)已知等差数列b,首项为4,公差为d,且n为“凹数列,求d的取值范围;nn为凹数列的充要条件是对于任意的k,m,nN*(3)证明:数列n,当kmn时,有(−)+(−)(−)nmcmkc>nkc”.nmk顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学参考答案题号答案1C2A3B4C5D6B7C8D9C10B12.(−,0)12.213.答案不唯一,如=110,14.−2415.①②④=π4537161)因为0,且sin=,所以cos=1−sin2=cos2=cos,2−sin2=−,25251431717cos2.)=+=+−=fsincos所以25522550112π2π()=+=+f(x)π==π.(2)fxsin2xcos2xπsin2x,所以函数4的最小正周期T2222πππ由π+2x+π+,kZ,解得π+xπ+,kZ.24288π5π()fx++kZ.π,kπ所以函数的单调递减区间,8873aca32171)若选择①②:a=c,ba1,在−=中,由正弦定理=得sinA得sinA==sinCsinC==..sinAsinCcππ−=ab0AA=,所以因为ba1,即,可知;2375acac32若选择①③:a=c,bcosA=−,在中,因为由正弦定理=32sinAsinC2π5π中,bA=−0,即cosA0,可知Aπ,所以A=;在223若选②③:矛盾,故不成立.(2)由()可知:不能选②③.7π中,a=c,即ac,可知0C,若选择①②:在321333且sinC=,可得cosC=1−sinC=2,141433311则B=−cos(A+C)=AC−AcosC=−=−,227π43Bπ,则sinB=−B=可知1cos2,27437aabasinBsinA87a=b===ab−a==1=由正弦定理可得,又因为,所以a7;sinAsinB3727333141314π选择①③:在ABC中,a=c,即ac,可知033C,且sinC=,可得cosC=1−sinC=2,231则B=−cos(A+C)=AC−AcosC=+=,225315且0Bπ,可得sinB=1−cos2B=,又因为bcosA=−b=−,则b=5,142235abbsinAsinB25314====7.由正弦定理可得asinAsinB3()=181)设职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”A所以PA.7(2)由图可知,7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天.X的所有可能取值为2,X012C232717C14CC1347C242727(=0)==(=)==(=2)==PX,X,X,27C174727CPX的分布列为14278()=++=.EX012777(3)3月3日181)因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,⊥CD,DE平面,DE⊥AC所以DE⊥平面ABCD,因为AC平面ABCD,所以,因为四边形ABCD是正方形,所以,因为⊥BD,DB平面CDE,DE平面,所以AC平面⊥.(2)由()得DE⊥平面ABCD,因为DA,DC平面ABCD,所以,,两两垂直,DADE以B为原点,,DC,DE为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.xyz因为DE=3AF=36,AD3,所以BD32,AF===6.()()()()A(0),F6E0,36,B3,3,0C0,3,0则,,,()EF=3,0,−26)(BF=−6n=(x,y,z),所以,,设平面的一个法向量为n则y+6z=0()n=6,取z=6得,nx−26z=0因为AC⊥平面,所以CA为平面的一个法向量,CA=(−0),12−613cos,n==所以,13CAn263213设平面与平面夹角为,所以cos=cos,n=,1313所以平面与平面夹角的余弦值.13(3)线段CE上存在点P,点P为CE中点,满足AP//平面,证明如下:CE=−36),AC设CP=CE(0,因为CP=−,36)AP=AC+CP=−3,3−,36),=(−3,3,0)(所以由(2)知平面的一个法向量为(),因为n=6AP//平面,,1所以APn=(−3)4+(3−)2+36=0,解得=62所以线段CE上存在点P,点P为CE中点,满足AP//平面.aa()()()()=+=20)因为fx=x+ax−x+1,所以fx=x+.由题知fee1,解得a=0.xef(x)=xx−x+1,所以f(x)x.=(2)当a=0时,x()时,f当当,푓(푥)在区间0,1上单调递减;x+)f时,,푓(푥)在区间上单调递增;()=()fx0.所以f10是푓(푥)在区间上的最小值.所以axxx+a(3)由()知,f(x)=xx+)=+.x若a0,则当此时无极值.若a0,令时,f,푓(푥)在区间上单调递增,g(x)=f(x),1a则g(x)=−x+)时,,所以푔(푥)在上单调递增..因为当2gxx()=(−a)=−+=(−)aaeaea0,ag1a0ge因为所以存在,而xe−a(),使得gx()=0.00f和푓(푥)的情况如下:0)(0,e−a)xx0x=xfx().+因此,当时,푓(푥)有极小值f000(−,0).极小值综上,a的取值范围是푓(푥)(+−)12n1n211an2n1为等差数列,所以A=−==n2,n=−2n1为等比数列,n21−2−nn=−=1−2n,任意的nN*,都有A+A−2n1=n2+(n+2)2−2(n+)=20,2nn+212A+A2n1A故,所以数列是为“凹数列,”nn+2n−2n+2+22n1=−2n0,任意的nN*B+B−2n1=−2,都有nnn+2B+B2n1B“”不是为凹数列,n故,所以数列nn+2d,1=4b=b+(−)=+(−)n1dn1d,4(2)因为等差数列푛}的公差为b,所以n1n1n1n因为数列n是凹数列,所以+2对任意nnN*恒成立,nn−1n+1n4+(−)n−1n2d4+nd4+(−)n1d即+2,n+14−dn4−dn−14−dn112d++d+2d+(−)4d+−0,所以因为,即n+1n−1n+1n1122n22+−=−=0,解得d4.所以d的取值范围为(,4).n−1n+1nn2−1nnn2−)“”c+nn+22cn1(3)先证明必要性:因为n+2−n1n1−cc为凹数列所以对任意的nN*,都有,即nk,m,nN*kmn,当时,有,所以对任意的nn−cn−mmn1)+(

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