人教版九年级数学上册第一次月考测试卷及答案

第第页人教版九年级数学上册第一次月考测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(

)A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.无法判断3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=70∘，则∠C的度数是(

)A.70∘

B.90∘

C.110∘4.如图，同学们玩过的万花简，是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心(

)A.逆时针旋转120∘得到

B.逆时针旋转60∘得到

C.顺时针旋转120∘得到

D.

5.已知方程x2+x−6=0的两个根是a，b，则ab的值为(

)A.1 B.−1 C.6 D.−66.若点(0,y1)，(1,y2)，(2,A.y3>y2>y1 B.7.如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB=60∘，则∠ABC的度数等于(

)A.30∘

B.45∘

C.60∘8.由二次函数y=2(x−3)2+1可知A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为x=−3

C.其最大值为1 D.当x<3时，y随x的增大而减小9.如图，把△ABC绕C点按顺时针旋转40∘，得到△A′B′C.点B′落在边AB上，若A′B′⊥AC于点D，则∠AB′D的度数为(

)A.40∘

B.50∘

C.60∘10.函数y=ax2+bx(a≠0)与y=ax+b的图象可能是A. B.

C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。11.点(1,−5)关于原点对称的点的坐标为______.12.将抛物线y=−2x2向右平移2个单位，向上平移3个单位得到______.13.已知关于x的方程x2+5x−m=0的一个根是2，则该方程的另一个根是______.14.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90∘，AB=AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE=4，则S四边形ABCD=______

三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题3分)

如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上.若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，求y与x的函数解析式.16.(本小题7分)

(1)解方程：x2+8x−9=0；

(2)若y=x2+8x−9，请直接写出y<017.(本小题7分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标(1,3)，请解答下列问题：画出△ABC关于原点对称的△A1B1C18.(本小题7分)

如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4，EM=6，求⊙O的半径．

19.(本小题9分)

如图，正方形OPNM和正方形ABCD全等，AC与BD交于点O，正方形OPNM绕点O旋转，OM交AB于点E，OP交BC于F，如果正方形的边长为3.

(1)在上述旋转过程中，判断OE与OF有怎样的数量关系，并证明；

(2)请直接写出四边形OEBF的面积为______，周长最小值为______.20.(本小题9分)

如图，⊙O的直径AB为10，弦BC为6，D是AC的中点，弦BD和CE交于点F，且DF=DC.

(1)求证：EB=EF；

(2)求证：BE=AE；

(3)求CE的长.21.(本小题9分)

【问题背景】跳大绳是大家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状.

【收集素材】经测量，两位摇绳同学的手A、B离地面高度都为1米，两人间水平距离AB为6米，绳子甩到最高处C点离地面2.8米.

【问题解决】现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，此时所有点都处于同一平面内.

(1)求此时绳子所对应的抛物线表达式；

(2)身高1.55米的梅梅跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离A点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？

(3)若身高与梅梅相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？

22.(本小题13分)

【课本再现】

(1)如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形.BE与CD交于点O，试猜想BE与CD之间的数量关系，并证明.

【深入研究】

(2)在(1)的条件下，证明OA平分∠DOE.

【探究应用】

(3)如图2，△AEC，△ABD都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90∘，AD=AB，AC=AE连接BC，DE，点M是BC的中点，判断AM与DE之间的关系，并证明.

23.(本小题14分)

已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点P(0,1)，求a+b的最小值；

(2)已知点P1(−2,1)，P2(2,−1)，P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y=kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=−1上，且∠MAN=90∘，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：B.

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．

2.【答案】C

【解析】【分析】

先计算根的判别式，再根据根的判别式的符号进行判断即可．

此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况与Δ=b2−4ac的关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根是解本题的关键．

【解答】

解：∵Δ=13.【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A+∠C=180∘，

∵∠A=70∘，

∴∠C=110∘，

4.【答案】A

【解析】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心逆时针旋转120∘得到．

故选：A.

由∠BAE=120∘结合旋转的性质，即可得出结论．

5.【答案】D

【解析】解：∵方程x2+x−6=0的两个根是a，b，

∴ab=−6.

故选：D.

直接利用根与系数的关系得出x16.【答案】A

【解析】解：∵二次函数y=x2，

∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．

∴当x≥0时，y随x的增大而增大，

∵0<1<2，

∴y1<y2<7.【答案】A

【解析】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵∠CDB=60∘，

∴∠A=∠CDB=60∘，

∴∠ABC=90∘−∠A=30∘，8.【答案】D

【解析】解：

∵y=2(x−3)2+1，

∴抛物线开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,1)，

∴函数有最小值1，当x<3时，y随x的增大而减小，

故选：D.

根据二次函数的解析式进行逐项判断即可．

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)9.【答案】A

【解析】解：∵把△ABC绕C点顺时针旋转40∘，得到△A′B′C，

∴∠BCB′=∠A′CD=40∘，∠A=∠A′，

∵A′B′⊥AC于点D，

∴∠ADB′=∠A′DC=90∘，

∵∠A′DC=180∘−∠A′DC−∠A′，∠AB′D=180∘−∠ADB′−∠A，

∴∠AB′D=∠A′CD=40∘.

故选：A.

10.【答案】B

【解析】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，

∴a>0，b<0，

∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限，

当ax2+bx=0时，即x1=0，x2=−ba，

当ax+b=0时，即x=−ba，

则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为(−ba,0)，

A.一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．

B.一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．

C.一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．

D.一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．

故选：B.

根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出11.【答案】(−1,5)

【解析】解：点(1,−5)关于原点的对称点的坐标为(−1,5)，

故答案为：(−1,5).

根据对称点的坐标规律作答即可．

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．12.【答案】y=−2(x−2)2+3【解析】解：抛物线y=−2x2向右平移2个单位，向上平移3个单位，

根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是y=−2(x−2)2+3=−2x2+8x−5，

故答案为：y=−2(x−213.【答案】−7

【解析】解：设另一个根为a，

根据题意，得2+a=−5，

解得a=−7.

故答案为：−7.

设另一个根为a，根据根与系数的关系，即可求出另一个根．

本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．14.【答案】16

【解析】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，

∵AE⊥BC，AF⊥CF，

∴∠AEC=∠CFA=90∘，

而∠C=90∘，

∴四边形AECF为矩形，

∴∠2+∠3=90∘，

又∵∠BAD=90∘，

∴∠1=∠3，

在△ABE和△ADF中，

∠1=∠3∠AEB=∠AFDAB=AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)，

∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF，

∴四边形AECF是边长为4的正方形，

∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16，

故答案为：16.

过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90∘可得四边形15.【答案】解：如图所示：

∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∴∠A=∠B=90∘，AB=2.

∴∠1+∠2=90∘.

∵四边形EFGH为正方形，

∴∠HEF=90∘，EH=EF.

∴∠1+∠3=90∘，

∴∠2=∠3.

在△AHE与△BEF中，

∵∠A=∠B∠2=∠3EH=FE，

∴△AHE≌△BEF(AAS)，

∴AE=BF=x，【解析】根据正方形的性质不难得到相等角及等边，由AAS证明△AHE≌△BEF；联系全等三角形的性质用x表示出AH，接下来联系勾股定理及正方形的面积公式，即可得到y与x之间的函数关系式．

本题考查二次函数与其他知识的综合应用，涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．16.【答案】解：(1)原方程因式分解得：(x−1)(x+9)=0，

∴x−1=0或x+9=0，

解得x1=1，x2=−9；

(2)函数y=x2+8x−9与x轴的交点为(−9,0)和(1,0)，抛物线开口向上，【解析】(1)运用因式分解法求解即可；

(2)由(1)可知函数y=x2+8x−9与x轴的交点为(−9,0)和(1,0)，然后根据二次函数的性质即可得到结论．

17.【答案】解：如图所示：

∴△A1B1【解析】根据点的对称，作出△ABC三个顶点关于原点对称的点，连线即可得到△A1B1C18.【答案】解：连接OC，

∵M是弦CD的中点，CD=4

由垂径定理可知EM⊥CD，CM=12CD=2，

设⊙O的半径为x，

在Rt△COM中，OC2=CM2+OM2，

即：x【解析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．

因为M是弦CD的中点，根据垂径定理，19.【答案】94

6【解析】(1)OE=OF，

证明：由题意可得：OA=OB，∠AOB=90∘，

∵∠AOE+∠BOE=90∘，∠MOP=90∘，

∴∠BOF=∠AOE，

在△OAE和△OBF中，

∠OAE=∠OBF=45∘OA=OB∠AOE=∠BOF，

∴△AOE≌△BOF(ASA)，

∴OE=OF；

(2)解：由(1)可知：S△AOE=S△BOF.

∴S△AOE+S△OBE=S△BOF+S△OBE，

∵S△AOB=14S四边形ABCD=14×32=94，

∴S四边形OEBF=94.

当OE⊥AB20.【答案】(1)证明：∵DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC，

∵∠DCF=∠DBE，∠DFC=∠EFB，

∴∠DBE=∠EFB，

∴EB=EF；

(2)证明：∵D是AC的中点，

∴AD=CD，

∴∠DBA=∠DBC，

∵∠DBE=∠EFB，

∴∠DBE−∠DBA=∠EFB−∠DBC，

即∠ABE=∠ECB，

∴AE=BE；

(3)解：过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，∠AEB=90∘，

由(2)可知：AE=BE，

∵AE=BE，

由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，

∵AB=10，

∴AE=BE=5【解析】(1)根据等腰三角形的性质得∠DCF=∠DFC，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得∠DBE=∠EFB，即可证明EB=EF；

(2)根据题意可得AD=CD，则∠DBA=∠DBC，再证明∠ABE=∠ECB，即可证明AE=BE；

(3)过B作BH⊥CE于点H，连接AE，AC，利用等弧所对的圆周角相等证明21.【答案】解：(1)根据题意，由抛物线的对称性可知顶点C(3,2.8)，

设抛物线解析式为y=a(x−3)2+2.8，

把点A(0,1)代入y=a(x−3)2+2.8中，

解得a=−0.2，

∴绳子所对应的抛物线表达式为y=−0.2(x−3)2+2.8；

(2)当y=1.55时，1.55=−0.2(x−3)2+2.8，

整理得(x−3)2=6.25，

解得：x1=0.5，x2=5.5，【解析】(1)由抛物线的对称性确定顶点C(3,2.8)，设抛物线解析式为y=a(x−3)2+2.8，利用待定系数法求解即可；

(2)令y=1.55，可得1.55=−0.2(x−3)2+2.822.【答案】(1)解：BE=CD，证明如下：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60∘，

∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，

即∠BAE=∠DAC.

在△ABE和△ADC中，

AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，

∴△ABE≌△ADC(SAS)，

∴BE=CD；

(2)证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N.

∵由(1)知：△ABE≌△ADC，

∴S△ABE=S△ADC，

∴12⋅BE⋅AM=12⋅DC⋅AN，

∴AM=AN，

∴点A在∠DOE的平分线上，

即OA平分∠DOE；

(3)DE=2AM，且AM⊥DE，证明如下：

延长AM到N，使MN=AM，连接BN，延长MA交DE于I，如图：

∵点M是BC的中点，

∴CM=BM，

∵∠AMC=∠NMB，AM=MN，

在△AMC和△NMB中，

CM=BM∠AMC=∠NMBAM=NM，

∴△AMC≌△NMB(SAS)，

∴BN=AC，∠N=∠CAM，

∴AC//BN，

∴∠NBA+∠BAC=180∘，

∵∠BAD=∠CAE=90∘，

∴∠DAE+∠BAC=180∘，

∴∠NBA=∠DAE，

∵AC=AE，

∴BN=AE，

∵AB=AD，

∴△NBA≌△EAD(SAS)，

∴AN=DE，【解析】(1)根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60∘，求出∠BAE=∠DAC.根据SAS证△ABE≌△ADC即可；

(2)过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N.根据三角形的面积公式求出AN=AM，根据角平分线性质求出即可；

(