2019-2020学年高中数学第三章不等式3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题名师讲义新人教B版必修5

2019-2020学年高中数学第三章不等式3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题名师讲义新人教B版必修5(1)二元一次不等式是如何定义的？(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？eq\a\vs4\al([新知初探])1．二元一次不等式(组)的概念(1)二元一次不等式含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．(2)二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l的并集叫做闭半平面．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.[点睛]二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域()(2)点(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内()(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的()(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式()(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域()解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x＝eq\f(1,2)的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1≥0，,3x＋2<0))也称为二元一次不等式组．(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是()解析：选C原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.3．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的()A．左上方 B．右上方C．左下方 D．右下方解析：选D将(0,0)代入2x－y－6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x－y－6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D.4．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)))))二元一次不等式(组)表示的平面区域[典例]画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x－y－6≥0；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))[解](1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0,0)代入2x－y－6中，∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定．[活学活用]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0，,x－ky＋k≥0))表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k为()A．1 B．－1C．±1 D．±2解析：选C在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0))所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分别为(0,0)，(eq\r(2)＋1,0)，(0，eq\r(2)＋1)，又x－ky＋k＝0表示的是过点(0,1)的直线，则当k>0时，k＝1满足条件(如图1)；当k<0时，k＝－1满足条件(如图2)．故当k＝－1或1时不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y－\r(2)－1≤0，,x－ky＋k≥0))表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选C.二元一次不等式(组)表示平面区域的面积[典例]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋2y≤4，,y≥－2))表示的平面区域的面积为()A.eq\f(50,3) B.eq\f(25,3)C.eq\f(100,3) D.eq\f(10,3)[解析]作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋2y≤4，,y≥－2))表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，所以△ABC的面积是eq\f(1,2)×[8－(－2)]×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－－2))＝eq\f(50,3).[答案]A求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．[活学活用]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面区域的面积等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：选C作出平面区域如图所示为△ABC，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－4＝0，,3x＋y－4＝0，))可得A(1,1)，又B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·|xA|＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,3)))×1＝eq\f(4,3)，故选C.用二元一次不等式组表示实际问题[典例]某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件，月产Q产品最多有1200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14000个，B零件最多12000个．用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋6y≤14000，,2x＋8y≤12000，,0≤x≤2500，x∈N，,0≤y≤1200，y∈N.))用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．用二元一次不等式组表示实际问题的方法(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．[活学活用]某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1h和2h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3h和1h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8h和9h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,3x＋y≤9，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．层级一学业水平达标1．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为()A．10 B．9C．3 D．无数个解析：选A作eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤3，,x，y∈N))的平面区域，如图所示，符合要求的点P的个数为10.2．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是()A．(2,0) B．(－1,2)C．(1,1) D．(－1,1)解析：选D将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≥0，,x＋3y－3≤0))表示的平面区域为()解析：选C取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C表示的阴影中，故选C.4．已知点M(2，－1)，直线l：x－2y－3＝0，则()A．点M与原点在直线l的同侧B．点M与原点在直线l的异侧C．点M与原点在直线l上D．无法判断点M及原点与直线l的位置关系解析：选B因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.5．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x≤2))表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为()A.eq\f(7,2) B.eq\f(7,3)C.eq\f(7,4) D.eq\f(1,2)解析：选C如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，E(0,2)，△CDE为直角三角形．∴S四边形BOCD＝eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(7,4).6．直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－2，,4x＋3y≤20，,x≥0，y≥0))表示的平面区域的公共点有______个．解析：画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－2，,4x＋3y≤20，,x≥0，y≥0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－eq\f(4,3)，故只有一个公共点(5,0)．答案：17．平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y－1≥0，,3x－3y＋4≥0，,x≤2))表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤2))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．答案：[5,7)9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面区域内，求k的取值范围．解：点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2×－2＋1≥0，,－k－2×2＋1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－5，,k≤－3，))解得－5≤k≤－3.故k的取值范围是[－5，－3]．10．已知实数x，y满足不等式组Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0，,x－y－1≤0，,x－2y＋2>0，,x＋y－1>0.))(1)画出满足不等式组Ω的平面区域；(2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，,x－2y＋2＝0，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(10,7)))，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6＝0，,x－y－1＝0，))得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(4,5)))，所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S四边形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝eq\f(1,2)×(2＋3)×eq\f(10,7)－eq\f(1,2)×(1＋2)×1－eq\f(1,2)×(3－1)×eq\f(4,5)＝eq\f(89,70).层级二应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0,x＋y≥3,y≥1)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0,x＋y≤3,y≥1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x＋y≤3,y≥1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0,x＋y≥3,y≥1))解析：选B由图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方，故选B.2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．{0,2}C．(0,2) D．[0,2]解析：选C因为原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，所以－a(2－a)<0，即a(a－2)<0，解得0<a<2.3．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,x＋y－5≤0,x≥1)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－5≤0,x≥1))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－5≥0,x≤1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,x＋y－5≤0,x≤1))解析：选A由题意，得所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的左上方，直线x＋y－5＝0的左下方，及直线x－1＝0的右侧，所以所求不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋y－5≤0，,x－1≥0.))4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤5,x，y∈N＋)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x＋40y≤2000,\f(x,y)＝\f(2,3)))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤200,\f(x,y)＝\f(2,3),x，y∈N＋)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y<100,\f(x,y)＝\f(2,3)))解析：选C由题意50x＋40y≤2000，即5x＋4y≤200，eq\f(y,x)＝eq\f(2,3)，x，y∈N＋，故选C.5．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,0≤x≤4，,0≤y≤3))表示的平面区域的面积为______．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面区域的面积为3×4－eq\f(1,2)×2×1＝11.答案：116．设关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x－m<0，,y＋m>0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为斜截式y＝eq\f(1,2)x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<eq\f(m,2)－1，解得m>eq\f(2,3)，故m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))7．已知点M(a，b)在由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤2))表示的平面区域内，求N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积．解：由题意，得a，b满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0，,a＋b≤2，))设n＝a－b，m＝a＋b，则a＝eq\f(n＋m,2)，b＝eq\f(m－n,2)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n＋m,2)≥0，,\f(m－n,2)≥0，,m≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋m≥0，,m－n≥0，,m≤2，))这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB内部(含边界)，其面积为eq\f(1,2)×(2＋2)×2＝4，即点N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积为4.8．已知点P在|x|＋|y|≤1表示的平面区域内，点Q在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≤1，,|y－2|≤1))表示的平面区域内．(1)画出点P和点Q所在的平面区域；(2)求P与Q之间的最大距离和最小距离．解：(1)不等式|x|＋|y|≤1等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，x≥0，y≥0，,x－y≤1，x≥0，y≤0，,x－y≥－1，x≤0，y≥0，,x＋y≥－1，x≤0，y≤0，))不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|≤1，,|y－2|≤1))等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤3，,1≤y≤3，))由此可作出点P和点Q所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD内部(含边界)，四边形EFGH内部(含边界)．(2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值，|ER|为所求的最小值，易求得|AG|＝eq\r(－1－32＋0－32)＝eq\r(42＋32)＝5，|ER|＝eq\f(1,2)|OE|＝eq\f(\r(2),2).3．5.2简单线性规划预习课本P90～94，思考并完成以下问题预习课本P90～94，思考并完成以下问题(1)线性规划中的有关概念有哪些？各自如何定义的？(2)如何求解线性目标函数的最值问题？eq\a\vs4\al([新知初探])线性规划的有关概念名称意义目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式(组)线性约束条件约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题[点睛](1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．eq\a\vs4\al([小试身手])1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)可行域是一个封闭的区域()(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的()(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解()(4)线性规划问题一定存在最优解()解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x－y≤1，,x＋1≥0，))则z＝x＋2y的最小值为()A．3 B．1C．－5 D．－6解析：选C由约束条件作出可行域如图：由z＝x＋2y得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，eq\f(z,2)的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.3．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))则z＝x－y的最大值为()A．－1 B．1C．2 D．－2解析：选B根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y＝0，))得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.4．已知点P(x，y)的坐标满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))点O为坐标原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，最长为eq\r(12＋32)＝eq\r(10).答案：eq\r(2)eq\r(10)求线性目标函数的最大(小)值[典例]设z＝2x＋y，变量x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，))求z的最大值和最小值．[解]作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))得A点坐标为(5,2)，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))得B点坐标为(1,1)，∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.解线性规划问题的基本步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(3)求：通过解方程组求出最优解．(4)答：根据所求得的最优解得出答案．[活学活用]1．若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,y－1≤0，,x＋2y－a≥0，))目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)t在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(a－2,2)))处取得最大值，即tmax＝2－2×eq\f(a－2,2)＝4－a＝2，得a＝2，故选C.2．已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤1，,2x＋y≤4，,x≥1，))则目标函数z＝x＋3y的最大值为_____．解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：由z＝x＋3y，得y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)，平移直线x＋3y＝0可知，当直线y＝－eq\f(1,3)x＋eq\f(z,3)经过A点时z取最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,x＝1，))得A(1,2)，所以zmax＝1＋2×3＝7.答案：7求非线性目标函数的最值题点一：距离型最值1．设x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))求u＝x2＋y2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.题点二：斜率型最值2．在“题点一”的条件下，求v＝eq\f(y,x－5)的最大值与最小值．解：v＝eq\f(y,x－5)表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝eq\f(－3,3－5)＝eq\f(3,2)，vmin＝eq\f(8,3－5)＝－4.非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①eq\r(x2＋y2)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；eq\r(x－a2＋y－b2)表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②eq\f(y,x)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；eq\f(y－b,x－a)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．线性规划的实际应用[典例]某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品质量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？[解]设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x＋30y≤300，,10x＋5y≤110，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤30，,2x＋y≤22，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝30，,2x＋y＝22，))得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．(2)寻找整点最优解的两个方法①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．[活学活用]一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件解析：选D设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋7y≤50，,x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，))作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－eq\f(5,9)x＋eq\f(5z,9)，斜率为－eq\f(5,9)>－eq\f(4,7)，所以，由图可知直线过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(50,7)))时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.层级一学业水平达标1．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－y＋3≥0，,2x＋y－3≤0，))则目标函数z＝x＋6y的最大值为()A．3B．4C．18D．40解析：选C由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝20x＋40yB.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥10，,2x＋y≥10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝20x＋40yC.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6))z＝20x＋40yD.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N))z＝40x＋20y解析：选A由题意知A正确．3．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≤0，,x≥1，,x＋y－7≤0，))则eq\f(y,x)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，6)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,5)))∪[6，＋∞)C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]解析：选A作出可行域，如图中阴影部分所示，eq\f(y,x)可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(9,2)))，A(1,6)，故eq\f(y,x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，6)).4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为()A．2,4 B．3,3C．4,2 D．不确定解析：选B设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100x＋160y≤800，,x≥1，,y≥1，,x，y∈N＋.))求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．5．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0，))若z＝ax＋y的最小值是2，则a的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示，又z＝ax＋y的最小值为2，若a>－2，则(1,0)为最优解，所以a＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a＝－eq\f(2,3)，舍去，故a＝2.6．若点P(m，n)在由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－2y＋5≤0，,2x－y＋1≥0，))所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3.答案：37．已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y＋1≤0，,2x－y－2≤0，))则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据eq\r(x2＋y2)表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－y＋1＝0，))得A(1,2)，所以|AO|2＝5.答案：58．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y≥1.9，,x＋0.5y≤2，,x≥0，,y≥0.))目标函数z＝3x＋6y.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x＋0.7y＝1.9，,x＋0.5y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))记P(1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目标函数z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.∴z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－eq\f(a,2)<2，解得－4<a<2.故所求a的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥5，,x＋2y≥4，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，∴最优解为x＝2，y＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．层级二应试能力达标1．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))C．[－1,6] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))解析：选A作出可行域如图所示．目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－eq\f(3,2)，在B点处z取最大值为6.2．已知实数x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≤1，,2x－2y＋1≤0，))若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：选A作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x，y满足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x<2，,x＋y－1≥0，))z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5)) B．[0,5]C．[0,5) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5))解析：选C作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u＝2x－2y－1，当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，经过点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))时，u＝－eq\f(5,3)，则－eq\f(5,3)≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.4．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,2y－x＋2≥0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1 B．1或－eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示．由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.当2a＝2或2a＝－1，即a＝1或a＝－eq\f(1,2)时，z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t＝x＋2y，则y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(t,2)，当x＝0，y＝0时，t最小＝0.z＝3x＋2y的最小值为1.答案：16．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,0.4x＋0.1y≤8，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,4x＋y≤80，,x≥0，,y≥0.))投资者获得的利润设为z，则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,4x＋y＝80，))得B(10,40)．所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．答案：10407．某运输公司每天至少要运送180t货物，公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，x∈N,0≤y≤4，y∈N,x＋y≤10，,24x＋30y≥180，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤8，x∈N,0≤y≤4，y∈N,x＋y≤10，,4x＋5y≥30，))目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分)，目标函数z＝x＋ay取得最小值时的最优解有无数个，求eq\f(y,x－a)的最大值．解：由题意，知当直线y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(z,a)与直线AC重合时，z取得最小值时的最优解有无数个，∴－eq\f(1,a)＝eq\f(2－1,4－1)，∴a＝－3，∴eq\f(y,x－a)＝eq\f(y,x＋3)＝kPD≤kDC＝eq\f(2,4－－3)＝eq\f(2,7)(其中D(－3，0)，P(x，y)为可行域中任意一点)，∴eq\f(y,x－a)的最大值为eq\f(2,7).(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B或A>B D．A>B解析：选B∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，∴A≥B.2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ>0)) B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ>0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))解析：选D结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．不等式(x－1)eq\r(x＋2)≥0的解集是()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}解析：选C当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．4．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y＋1>0))所表示的平面区域是()解析：选D不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.5．已知a<b<|a|，则()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ab<1C.eq\f(a,b)>1 D．a2>b2解析：选D由a<b<|a|，可知0≤|b|<|a|，由不等式的性质可知|b|2<|a|2，所以a2>b2，故选D.6．若－4<x<1，则f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,x－1)()A．有最小值2 B．有最大值2C．有最小值－2 D．有最大值－2解析：选Df(x)＝eq\f(x2－2x＋2,x－1)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.∴f(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x－1＋\f(1,－x－1)))≤－2.当且仅当x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0时等号成立．7．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5解析：选C∵a＋b＝2，∴eq\f(a＋b,2)＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))·eq\f(a＋b,2)＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq\f(5,2)＋2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(2a,b)＝\f(b,2a)，即b＝2a＝\f(4,3)时，等号成立)).故y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值为eq\f(9,2).8．设变量x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m，))若目标函数z＝x－y＋1的最小值为0，则m的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝x－y＋1，得y＝x＋1－z，这是斜率为1，截距为1－z的一族平行直线，当直线过点A时，截距最大，此时z最小且最小值为0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2x－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即A(2,3)，点A在直线x＋y＝m上，代入得m＝2＋3＝5，故选B.9．已知0<a<1，且ab>1，记M＝logaeq\f(1,b)，N＝logab，P＝logbeq\f(1,b)，则M，N，P的大小关系为()A．P<N<M B．N<P<MC．N<M<P D．P<M<N解析：选B∵0<a<1，ab>1，∴a>eq\f(1,b)>0，b>eq\f(1,a)>0，∴M＝logaeq\f(1,b)>logaa＝1，N＝logab<logaeq\f(1,a)＝－1，又∵P＝logbeq\f(1,b)＝－1，∴N<P<M.10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C求得函数式为y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润eq\f(y,x)＝eq\f(－x－62＋11,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－2eq\r(25)＝2，此时x＝eq\f(25,x)，解得x＝5.11．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)解析：选A令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<g(x)max，又g(x)max＝g(4)＝－2，所以a<－2.12．已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析：选C作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a<－eq\f(1,2)，即a>eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．点(a,1)在直线x－2y＋4＝0的右下方，则a的取值范围是________．解析：由题意，可得a－2＋4>0，即a>－2.答案：(－2，＋∞)14．若a＜b＜0，则eq\f(1,a－b)与eq\f(1,a)的大小关系为________．解析：∵eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,aa－b)＝eq\f(b,aa－b)＜0，∴eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a).答案：eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)15．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是__________．解析：ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，所以(eq\r(ab)－3)(eq\r(ab)＋1)≥0，所以eq\r(ab)≥3，所以ab≥9.答案：[9，＋∞)16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0.))解得m≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)解下列不等式(组)：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x2<1；))(2)6－2x≤x2－3x<18.解：(1)原不等式组可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－1<x<1，))即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．(2)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－2x≤x2－3x，,x2－3x<18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≥0，,x2－3x－18<0，))因式分解，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3x＋2≥