解密04三角函数（讲义）-2021年高考数学二轮复习讲义分层训练

解密04三角函数考点热度★★★★★内容索引核心考点1任意角、弧度制及任意角的三角函数核心考点2同角三角函数的基本关系与诱导公式核心考点3三角函数的图像与性质核心考点4函数的图像和三角函数模型的简单应用特别微专题三角函数新定义考点由高考知核心知识点预测三角函数热点预测与趋势分析三角函数的考查比例较高。今后高考的命题趋势：以填空和选择为主，也有解答题，但相对较少。核心考点一任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角相同的角的集合为(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是④若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值角度函数030456090120135150180270360角a的弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22πsina01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/2010cosa1√3/2√2/21/201/2√2/2√3/2101tana0√3/31√3√31√3/300考法任意角、弧度制及任意角的三角函数（题型预测：选择题、填空题）1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2021年北京市高考数学试题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．【答案】（满足即可）【解析】【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.【详解】与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.1．（2021·广西·模拟预测（文））《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛【答案】C【解析】【分析】根据锥体的体积公式结合给定条件计算作答.【详解】依题意，令锥体底面半圆半径为r，半圆弧长l，则有，即，圆锥体底面面积为，而尺，圆锥体的高尺，于是得圆锥体体积为(立方尺)，由得大豆有(斛)，所以堆放的大豆大约有(斛).故选：C2．（2021·天津·南开中学高三阶段练习）“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据正切函数与余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得，所以充分性不成立；当时，可得，此时，即必要性成立，所以是的必要不充分条件.故选：B.3．（2022·北京东城·高三期末）在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由终边上的点知，，进而可得，即可求.【详解】由角的终边过点，知：，，∴，故.故选：A.4．（2017·上海市宜川中学模拟预测（文））若，，则所在的象限是（）A．第一､二象限 B．第一､三象限C．第二､四象限 D．第三､四象限【答案】B【解析】【分析】分k为奇数、偶数讨论即可求解.【详解】由题意知，，当，，，在第三象限，当，，，在第一象限，∴是第一或第三象限的角，故选：B核心考点二同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.（3）倒数关系：2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α，．公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.诱导公式可概括为k·eq\f(π,2)±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·eq\f(π,2)±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ=sin＝taneq\f(π,4)（4）齐次式化切法：已知，则考法同角三角函数的基本关系与诱导公式（题型预测：选择题、填空题）1．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））tan255°=A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2．（2020年北京市高考数学试卷）已知，则“存在使得”是“”的（）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.1．（2022·新疆·一模（理））已知，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的正弦公式得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据诱导公式计算可得；【详解】解：∵，∴，又，∴，，∴.故选：A2．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室一模（文））已知，，若，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由求解.【详解】因为，，所以，又，则，，又，所以，所以，，故选：D3（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（）A．点在前轮的左下位置，距离地面约为B．点在前轮的右下位置，距离地面约为C．点在前轮的左上位置，距离地面约为D．点在前轮的右上位置，距离地面约为【答案】D【解析】【分析】计算出点转过的弧度数，结合诱导公式即可得出结论.【详解】自行车在向右行进的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转，点转过的弧度数为，而弧度为第一象限角，故点在前轮的右上位置，距离地面约为.故选：D.11．（2021·上海松江·一模）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及诱导公式即可求解.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以故选：B核心考点三三角函数的图像与性质函数函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴考法正弦、余弦、正切函数的图像和性质（题型预测：选择题、填空题）1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数f(x)=sinx+，则（）A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.2．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.1．（2022·广西玉林·模拟预测（文））满足的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先将不等式变为，由三角恒等变换将化为，即求解，由正弦函数的图形性质可得答案.【详解】，当时，结合选项可知：是所求区间的一个子集.故选：B2．（2021·上海浦东新·一模）函数，零点的个数不可能是（）A．12个 B．13个 C．14个 D．15个【答案】D【解析】【分析】的零点个数，即为的图象与直线的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间上总有两个交点，然后考虑，40减去6个周期后，在区间中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．【详解】的零点个数，即为的图象与直线的交点个数，易知在上它们有两个交点，而，因此我们主要研究它们在区间中的交点个数，当时，它们在区间上无交点，当时，它们在区间上有1个交点，当时，它们在区间上有2个交点，因此交点个数可能为，不可能是15．故选：D．3．（2021·吉林省实验模拟预测（文））已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（）A．0 B．4 C．8 D．12【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，的图象关于对称，设关于点对称的坐标为，，则，，同理可得：，，即可得到答案.【详解】由得的图象关于对称，同时函数，则，即的图象也关于对称，则函数与图象的交点关于对称，则不妨设关于点对称的坐标为，，则，，则，，同理可得：，，即.故选：．4（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令和求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分在区间有个零点且在区间没有零点，在区间有个零点且在区间有个零点和在区间有个零点且在区间有个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令，则，当时，在区间有个零点，当时，，，在区间有个零点，综上所述，在区间内有个零点，符合题意，排除A､C.令，则，当时，在区间有个零点，当时，，，在区间有个零点，综上所述，在区间内有个零点，符合题意，排除B，故选D.法二（分类讨论）：①当在区间有个零点且在区间没有零点时，满足，无解；②当在区间有个零点且在区间有个零点时，满足，解得；③当在区间有个零点且在区间有个零点时，满足，解得，综上所述，的取值范围是，故选：D.核心考点四函数的图像和三角函数模型的简单应用几个物理量：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③频率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定.函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．3、函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象yy=sinxy=sinxXXXxxx横坐标伸（缩）倍左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍y=sinx左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸（缩）倍左（右）平移横坐标伸（缩）倍横坐标伸（缩）倍纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸(缩)倍纵坐标伸（缩）A倍左（右）平移左（右）平移纵坐标伸（缩）A倍5、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的。函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：[A,A]（3）周期性：①和的最小正周期都是。②的最小正周期都是。（4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的单调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得；单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。考法正弦、余弦、正切函数的图像和性质（题型预测：选择题、填空题）1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则_______________.【答案】【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.2．（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】当时故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当时，，∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若f（x）在单调递增，则，即，∵，故③正确．故选D．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．1．（2022·新疆·一模（理））已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.所得图象关于y轴对称，则___________.【答案】##1.5【解析】【分析】先通过平移变换得到函数，再根据为偶函数，求得，进而得到求解.【详解】由题意得平移后的函数为，且为偶函数，所以，因为，所以，所以，所以.故答案为：2．（2021·云南红河·模拟预测（理））红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】先设出高度h与时间t的函数解析式为，利用三角函数的性质及特殊点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案..【详解】设点P距离地面高度h与时间t的函数解析式为，由题意，得，，，所以，又因为，所以，所以，令，即，故，即在摩天轮转动的一圈内，有分钟会有这种最佳视觉效果.故选：C.3．（2021·云南·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位得到函数，且在内没有零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题知，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意得，在内没有零点，满足，所以，即故选：B．4（2021·河北衡水中学模拟预测）（多选）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系列式作答.【详解】依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.故选：AB微专题三角函数新概念1.（2020年北京市高考数学试卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得