2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理素养作业提技能含解析新人教A版选择性必修第一册

PAGE第一章1.2请同学们仔细完成练案[3]A组·素养自测一、选择题1．(多选题)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(ABD)A．{a,2b,3c} B．{a＋b，b＋c，c＋aC．{a＋2b,2b＋3c,3a－9c} D．{a＋b＋c，b[解析]由于a，b，c不共面，易推断A，B，D中三个向量也不共面，可以作为一组基向量．对于C，有3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝3(a2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是(C)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c．3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则不能与a，b构成空间的一个基底的是(C)A．eq\o(OA,\s\up6(→)) B．eq\o(OB,\s\up6(→))C．eq\o(OC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))[解析]∵a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))与向量a，b共面，∴eq\o(OC,\s\up6(→))，a，b不能构成空间的一个基底．4．(2024·四川广元高二期中)已知O为空间随意一点，A，B，C，P满意随意三点不共线，但四点共面，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则m的值为(C)A．－1 B．2C．－2 D．－3[解析]∵O为空间随意一点，eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))．∵A，B，C，P满意随意三点不共线，但四点共面，∴m＋2＋1＝1，解得m＝－2．5．(2024·陕西咸阳高二期末)如图，在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上，且满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))，点G是线段MN的中点，用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))应为(A)A．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→)) B．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→)) D．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))．二、填空题6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于eq\o(AC1,\s\up6(→))的表达式中：①eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；④eq\f(1,2)(eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(CD1,\s\up6(→)))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))．正确的个数有__3__个．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB1,\s\up6(→))≠eq\o(AC1,\s\up6(→))，②不正确；eq\f(1,2)(eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(CD1,\s\up6(→)))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA1,\s\up6(→)))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))，④正确；①③明显正确．7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝__1__，y＝__－1__．[解析]因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D,\s\up6(→))＝0(λ∈R)，则λ＝__－eq\f(1,2)__．[解析]如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2)．三、解答题9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．[解析](1)如图，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1．10．如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解析](1)设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，依据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．所以eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a．所以eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，所以eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)因为eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，所以|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，因为eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，所以cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10)．所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10)．B组·素养提升一、选择题1．(2024·陕西西安高二期末)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝(B)A．1 B．eq\f(7,6)C．eq\f(5,6) D．eq\f(2,3)[解析]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→))，与eq\o(AC1,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up6(→))比较可得x＝1,2y＝1，－1＝3z，则x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)．2．(2024·浙江杭州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(BM,\s\up6(→))可表示为(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示．∵M为A1C1的中点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＋c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．3．在四面体O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))[解析]如图所示，连接AG1交BC于点E，则E为BC中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(AG1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．因为eq\o(OG,\s\up6(→))＝3eq\o(GG1,\s\up6(→))＝3(eq\o(OG1,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→)))，所以OG＝eq\f(3,4)OG1．则eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))．4．(多选题)关于空间向量，以下说法正确的是(ABC)A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量肯定共面B．若对空间中随意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底D．若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角[解析]依据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量肯定共面，所以A正确；若对空间中随意一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，则依据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点肯定共面，所以B正确；由{a，b，c}是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，可得向量a＋b，b＋c，c＋a也不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，所以C正确；若a·b＜0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以D错误．故选ABC．二、填空题5．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝__3__．[解析]由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3．6．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋υe3＝0，则λ2＋μ2＋υ2＝__0__．[解析]∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面对量．又∵λe1＋μe2＋υe3＝0，∴λ＝μ＝υ＝0，∴λ2＋μ2＋υ2＝0．7．如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝__－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))__．[解析]连接AG交BC于点M，连接AE，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))．三、解答题8．如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，求证：GH∥OA．[证明]设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c．因为H为△OBC的重心，D为BC的中点，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))，从而eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(b＋c)．又eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．因为eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq\f(1,3)a＝－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(GH,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，即GH∥OA．9．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝O