专题10立体几何平行归类（原卷版）

专题10立体几何平行归类目录TOC\o"11"\h\u【题型一】线线平行：中位线法 2【题型二】线线平行：平行四边形法 3【题型三】“等分线法”证明线面平行 4【题型四】平行四边形法证线面平行 5【题型五】无交线证明平行 6【题型六】存在型：线面平行 7【题型七】存在型：面面平行 7【题型八】翻折中的平行 8【题型九】平行应用：异面直线所成的角 9培优第一阶——基础过关练 10培优第二阶——能力提升练 11培优第三阶——培优拔尖练 12结束 13综述：一、平行关系的判定及性质定理：(1)线∥面的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，a⊂α，l⊄α∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b∴l∥b(2)面∥面的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α∴α∥β性质定理两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行(简记为“面面平行⇒线线平行”)∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b∴a∥b注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”)二、平行构造的常用方法： ①三角形中位线法； ②平行四边形线法； ③比例线段法.注意：平行构造主要用于：①异面直线求夹角； ②平行关系的判定.三、异面直线平行线法求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．【题型一】线线平行：中位线法【典例分析】如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．【变式训练】1.如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.图1

图22.如图，P是△ABC所在平面外一点，D、E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE//AC，.【题型二】线线平行：平行四边形法【典例分析】如图，在正方体中，，分别是棱和的中点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求证：．【变式训练】1.如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，，，G、H分别是FA、FD的中点．（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、E、F四点是否共面？为什么？2.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.【题型三】“等分线法”证明线面平行【典例分析】如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．(1)证明：平面(2)过三点的一个平面，截三棱柱得到一个截面，画出截面图，说明理由并求截面面积．【变式训练】如图，四棱台的上底面和下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱上的一点E满足．(1)证明：平面；(2)若，且在平面ABCD的正投影落在线段CD上，求四棱台的体积．【题型四】平行四边形法证线面平行【典例分析】如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．(1)当点M在何位置时，平面?(2)若平面，求与所成的角的余弦值．【变式训练】1.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．(1)求证：BC∥AD；(2)求证：CE∥平面PAB．2.如图，分别是圆台上、下底的圆心，为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点为圆台的母线，．(1)证明：//平面；(2)若，求C到平面的距离．【题型五】无交线证明平行【典例分析】如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．设平面平面，证明：；【变式训练】1.如图，在三棱锥中，是正三角形，平面分别为，上的点，且．已知．(1)设平面平面，证明：平面；(2)求五面体的体积．2.如图，四棱锥中，，，点为上一点，为，且平面.(1)若平面与平面的交线为，求证：平面；(2)求证：.【题型六】存在型：线面平行【典例分析】如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.(1)求证：；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【变式训练】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．(1)求证：平面；(2)求证：F为的中点；(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【题型七】存在型：面面平行【典例分析】如图，四棱锥中，，，为的中点．(1)求证：平面.(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．【变式训练】在长方体中，，P为的中点．已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；【题型八】翻折中的平行【典例分析】如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点．(1)求证：平面；(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明．【变式训练】如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．(1)求证：平面平面BCD；(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.【题型九】平行应用：异面直线所成的角【典例分析】如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，又为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求直线与所成角的余弦值；【变式训练】已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；(2)求证：FG平面ADC．分阶培优分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；(2)求证：BC∥l．2．如图，在正方体中，为中点，与平面交于点．(1)求证：面；(2)求证：为的中点．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．(1)求证：QN∥平面PAD；(2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．培优第二阶——能力提升练1．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求证：平面；(2)若与所成的角为，求多面体的体积．2．（1）如图，在三棱柱中，是的中点．求证：平面；（2）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，点在上，且．求证：平面．3．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；(2)求多面体的体积；(3)求证：平面平面AB1D．培优第三阶——培优拔尖练1．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形