96三定问题及最值问题（提升）

9.6三定问题及最值问题（提升）1．（2021·上海黄浦·格致中学高三月考）已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；（3）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）0；（3）经过定点，定点坐标．【解析】（1）因为点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，所以，化简得曲线C的方程为：；（2）因为直线的斜率为，且直线不过点，所以设直线l的方程为：，联立方程组，得，又交点为，所以，因为，所以；（3）由（1）得，由题意，直线的斜率存在，设直线PQ的方程为，联立方程组，得，设，所以，则，所以，所以直线经过定点，定点坐标．2．（2021·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高三月考（理））椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由【答案】（1），；（2）存在，或.【解析】（1）由题意，抛物线的标准方程为，∴抛物线焦点坐标为即在椭圆中，，将点代入曲线的方程，得由得，，，则椭圆的方程为则椭圆的离心率（2）存在符合要求的点.直线与椭圆相交于，两点，联立方程，整理得设，两点坐标为，，则，，得∵点满足且，的重心在圆上，，即，，，即，，，令，则，则，或3．（2021·上海闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，（2）求的面积（只与有关，与、无关）；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1），，证明见解析；（2）；（3）能，面积为.【解析】（1）由直线与抛物线，得，，，点设切线方程为，代入抛物线方程可得，得，所以，切点的横坐标为，切线为，所以由于、的横坐标相同，垂直于轴．（2），．．的面积与、无关，只与有关．（3）由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得．记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为，封闭图形的面积4．（2021·广东荔湾·高三月考）已知抛物线：，点M在抛物线C上，点N在x轴的正半轴上，等边的边长为.（1）求C的方程；（2）若平行轴的直线交直线OM于点P，交抛物线C于点，点T满足，，判断直线TM与抛物线C的位置关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）直线与抛物线相切，理由见解析.【解析】（1）等边的边长为，得，代入，解得所以，C的方程为.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程为，.由等边得，直线的方程为不妨设直线的方程为，则，设点，从而，，，由得，由得，，整理得所以由题知.设直线的斜率为，则则直线的方程为，即与抛物线联立得整理得从而所以直线与抛物线相切.5．（2021·河南驻马店·高三月考（理））已知曲线的方程为，过且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为.（1）求曲线的标准方程；（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点，.试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为.【解析】（1）由知，曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的标准方程为，因过且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为，于是有，解得，所以曲线的标准方程为；（2）假定在轴上存在定点满足条件，设点的坐标为，①当直线不与轴重合时，设直线的方程为，，，由消去x得：，则，解得或，且有，，当时，直线与椭圆相切，切点横坐标为，于是得，且，因，则，，因此，直线：，直线：，设，，令，解得，，显然，，，，于是得，，即，②当直线与轴重合时，，解得.综上所述，存在定点，点的坐标为.6．（2021·吉林长春·高三一模（理））已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.（1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由知，在△中，，，解得，所以椭圆；（2）假设存在点满足条件，设直线方程为，设，消去有，，.因为，所以，即，解得.所以存在，使得.7．（2021·三亚华侨学校高三月考）设点是椭圆上的点，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）过定点，定点坐标为．【解析】（1）由于椭圆的离心率，所以，所以椭圆的标准方程为．将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解得，所以，因此，椭圆的标准方程为．（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．由，得，所以，所以，所以，则线段的中心坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为，即，即，此时，线段的垂直平分线过定点．若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点．当时，若直线关于坐标轴对称，则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点．综上所述，线段的垂直平分线过定点．8．（2021·海南高三三模）已知直线与抛物线：在第一象限内交于点，点到的准线的距离为．(Ⅰ)求抛物线的方程(Ⅱ)过点且斜率为负的直线交于点，过点与垂直的直线交于点，且，，不重合，求点B的纵坐标的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)10.【解析】(I)联立方程得，可得，因为点到的准线的距离为，所以，所以，所以抛物线的方程为：．故答案为：．(II)由(I)知，设，则，因为，所以．又因为，所以，从而所在直线方程为：，联立，消去得，由韦达定理可知，，即，令，得，当且仅当，即时等号成立，所以点的纵坐标的最小值为．故答案为：.9．（2021·江苏南通·）已知椭圆经过点，且右焦点为.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，，解得，，故椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.联立，消去，得.因为在椭圆内部，所以，所以，.则，，，，，所以，，则.∴，即.设，是的两根，∴.当直线斜率不存在时，联立，得.不妨设，，则，，.此时为定值，不存在最大值与最小值.综上所述：.10．（2021·江苏海安·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，点M满足|MF1|＋|MF2|＝，记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设l为圆x2＋y2＝4上动点T(横坐标不为0)处的切线，P是l与直线的交点，Q是l与轨迹C的一个交点，且点T在线段PQ上，求证：以PQ为直径的圆过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意可知M的轨迹是以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点，为长轴的椭圆，所以，解得，故C的方程为；（2）当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，当动点时，则切线为，所以，所以圆的方程为，，解得，所以以PQ为直径的圆过定点；接下来证明以PQ为直径的圆过定点.显然切线斜率不为0，故设切线的方程为，则，所以，到切线的距离，因此，设，，所以，，因此，因此，所以，因此以PQ为直径的圆过定点.11．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当的面积最大时，求l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ）由题意知，，，，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）当轴时不合题意，由题意设直线，，．联立，整理得．当，即，且，．从而．又点O到直线MN的距离．所以的面积．设，则，．因为，当且仅当，即时等号成立，且满足．所以，当的面积最大时，直线的方程为或．12．（2021·岳麓·湖南师大附中高三月考）设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设点，因为点M在抛物线C上，则得，即．因为，则．因为，则，即，所以，化简得，解得，所以抛物线C的方程是．（2）设直线l的方程为，代入，得．设点，则．设点则k，直线的方程为．令，得，所以点．同理，点．设以线段为直径的圆与x轴的交点为，则．因为，则，即，得或．故以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点和．13．（2021·全国高三月考（理））已知直线过原点，且与圆交于，两点，，圆与直线相切，与直线垂直，记圆心的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）过直线上任一点作的两条切线，切点分别为，，证明：①直线过定点；②．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析．【解析】（1）解：如图，设，因为圆与直线相切，所以圆Ａ的半径为．由圆的性质可得，即，化简得．因为与不重合，所以，所以的方程为．（2）证明：①由题意可知，与不重合．如图，设，，则，因为，所以切线的斜率为，故，整理得．设，同理可得．所以直线的方程为，所以直线过定点．②因为直线的方程为，由消去得，所以，．又，所以．14．（2021·河南高三开学考试（文））已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由题意，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，可得，即，又由过且垂直于长轴的椭圆的弦长为，可得，联立方程组，可得：，，所以，故椭圆的标准方程为.（2）设的内切圆半径为，可得，又因为，所以，要使的内切圆面积最大，只需的值最大，由题意直线斜率不为，设，，直线，联立方程组，整理得，易得，且，，所以，设，则，设，可得，所以当，即时，的最大值为，此时，所以的内切圆面积最大为.15．（2021·江苏苏州·）椭圆的上顶点A，右焦点F，其