河北省2024八年级数学上册第13章轴对称拔高练等腰三角形与动点运动问题课件新版新人教版

第十三章轴对称培优拔高练等腰三角形与动点运动问题等腰三角形的综合探究题1.

[2024天津月考]如图①，点

P

，

Q

分别是边长为4

cm的等

边三角形

ABC

的边

AB

，

BC

上的动点，点

P

从顶点

A

出

发向顶点

B

运动，点

Q

从顶点

B

出发向顶点

C

运动，两点

同时出发，且它们的速度都为1

cm/s.21(1)连接

AQ

，

CP

交于点

M

，则在点

P

，

Q

运

动的过程中，∠

CMQ

的度数变化吗？若变

化，则说明理由，若不变，则求出它的度

数.

211.

[2024天津月考]如图①，点

P

，

Q

分别是边长为4

cm的等

边三角形

ABC

的边

AB

，

BC

上的动点，点

P

从顶点

A

出

发向顶点

B

运动，点

Q

从顶点

B

出发向顶点

C

运动，两点

同时出发，且它们的速度都为1

cm/s.(2)当运动时间为

时，△

PBQ

是直

角三角形.

21

点拨：设运动时间为

t

s时，△

PBQ

是直角三角形，则

AP

＝

BQ

＝

t

cm，

PB

＝(4－

t

)cm.

211.

[2024天津月考]如图①，点

P

，

Q

分别是边长为4

cm的等边三角形

ABC

的边

AB

，

BC

上的动点，点

P

从顶点

A

出发向顶点

B

运动，点

Q

从顶点

B

出发向顶点

C

运动，两点同时出发，且它们的速度都为1

cm/s.(3)如图②，若点

P

，

Q

在运动到终点后继续在射线

AB

，

BC

上运动，直线

AQ

，

CP

的交点为

M

，

则在此运动过程中，∠

CMQ

的度数变化吗？若变化，则说明

理由；若不变，则求出它的度数.21解：(3)∠

CMQ

的度数不变.∵△

ABC

是等边三角形，∴

BC

＝

AC

，∠

ABC

＝∠

ACB

＝60°，∴∠

PBC

＝

∠

ACQ

＝120°.易知

BP

＝

CQ

，∴△

PBC

≌△

QCA

，∴∠

BPC

＝∠

MQC

.

又∵∠

PCB

＝∠

MCQ

，∴∠

CMQ

＝∠

PBC

＝120°，∴在此运动过程中，∠

CMQ

的度数不发生变化，∠

CMQ

＝120°.212.

[2023平顶山期末]已知在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，点

D

是

边

AB

上一点，∠

BCD

＝∠

A

.

(1)如图①，试说明：

CD

＝

CB

.

21解：(1)∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

.

∵∠

BDC

是△

ADC

的一个外角，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ACD

.

∵∠

ACB

＝∠

BCD

＋∠

ACD

，∠

BCD

＝∠

A

，∴∠

BDC

＝∠

ACB

，∴∠

ABC

＝∠

BDC

.

∴

CD

＝

CB

.

212.

[2023平顶山期末]已知在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，点

D

是

边

AB

上一点，∠

BCD

＝∠

A

.

(2)如图②，过点

B

作

BE

⊥

AC

，垂足为点

E

，

BE

与

CD

相交于点

F

.

①试说明：∠

BCD

＝2∠

CBE

；②如果△

BDF

是等腰三角形，求∠

A

的度数.21解：(2)①∵

BE

⊥

AC

，∴∠

BEC

＝90°，∴∠

CBE

＋∠

ACB

＝90°.设∠

CBE

＝α，则∠

ACB

＝90°－α，∴∠

ACB

＝∠

ABC

＝∠

BDC

＝90°－α，∴∠

BCD

＝180°－∠

BDC

－∠

ABC

＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α，∴∠

BCD

＝2∠

CBE

.

21②∵∠

BFD

是△

CBF

的一个外角，∴∠

BFD

＝∠

CBE

＋∠

BCD

＝α＋2α＝3α.分三种情况：当

BD

＝

BF

时，∠

BDC

＝∠

BFD

＝3α.∵∠

ACB

＝∠

ABC

＝∠

BDC

＝90°－α，∴90°－α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠

A

＝∠

BCD

＝2α＝45°.21当

DB

＝

DF

时，∠

DBE

＝∠

BFD

＝3α.∵∠

DBE

＝∠

ABC

－∠

CBE

＝90°－α－α＝

90°－2α，∴90°－2α＝3α，∴α＝18°，∴∠

A

＝∠

BCD

＝2α＝36°.当

FB

＝

FD

时，∠