2024-2025学年广东省江门市高三上学期10月月考数学调研检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省江门市高三上学期10月月考数学调研检测试题本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B.C. D.2.设，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件3.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.，则D.若，则4.已知函数则（）A. B. C. D.5.下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.6.在正方形中，与交于点，则（）A. B. C. D.7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（）（结果保留一位小数，）A. B. C. D.8.已知各项都为正数的数列an满足，，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数在处取得极大值，则（）A.，或B.的解集为C当时，D.10.在中，，，，点在边上，为的角平分线，点为中点，则（）A.的面积为 B.C. D.11.已知，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递减区间为______．13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________.14.已知，且，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值.16.已知数列前项和为，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.17.已知的三个内角所对的边分别为，且，记的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为.（1）若，求；（2）记，证明：；（3）求的取值范围：18设函数.（1）求在处的切线方程；（2）证明：：（3）若方程有两个实根，求实数的取值范围，19.如果定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）对任意的，总有；（2）；（3）当，且时，恒成立.则称为“友谊函数”.请解答下列问题：（1）已知为“友谊函数”，求的值；（2）判断函数是否为“友谊函数”？并说明理由；（3）已知为“友谊函数”，存在，使得，且，证明.2024-2025学年广东省江门市高三上学期10月月考数学调研检测试题本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据题意求集合，集合交集运算求解.【详解】由题意可得：，，所以.故选：D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.【详解】由，又，所以，故“”是“”的充分条件；又若，如，，此时不成立，所以“”是“”的不必要条件.综上：“”是“”充分不必要条件.故选：A3.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.，则D.若，则【正确答案】D【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.【详解】对于A，，因，所以，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，又，所以，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：D.4.已知函数则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.【详解】因为所以，又因为，所以.故选：B.5.下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．【详解】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B：，其最小正周期为，故错误；对于C：满足，以为周期，当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误；对于D，满足，以为周期，当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确；故选:D6.在正方形中，与交于点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.【详解】建立平面直角坐标系，设正方形棱长为，因为，则，，，，所以，，所以.故选：C7.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（）（结果保留一位小数，）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果.【详解】由题可得，两式相除可得，则，，∵，解得，设天后金针菇失去的新鲜度为，则，又，∴，，，，则，故选：B.8.已知各项都为正数数列an满足，，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由得，由题意，，根据递推公式可验证B，通过对赋值，可验证ACD.【详解】由，得，因为数列an所以，故，即，所以，对于A，设，则，设，则，设，则，设，则，设，则，则可以为，故A错误；对于B，，，，，，，，，，，，，，，，，，故B正确；对于C，若，由于，则，故C错误；对于D，若，由于，则，故D错误；故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数在处取得极大值，则（）A.，或B.的解集为C.当时，D.【正确答案】BCD【分析】A选项，由题可得，据此得的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，可得表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合，大小关系可判断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.【详解】A选项，由题，则，因在处取得极大值，则或.当时，，令；.则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，不合题意；当时，，令；.则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，满足题意；则，故A错误；B选项，由A可知，，则.故B正确；C选项，当，则，则，由A分析，在0,1上单调递增，则，故C正确；D选项，令，由A可知，.则，又，则，故D正确.故选：BCD10.在中，，，，点在边上，为的角平分线，点为中点，则（）A.的面积为 B.C. D.【正确答案】ACD【分析】根据余弦定理可得，进而可得面积判断A，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.【详解】如图所示，由余弦定理可知，而为三角形内角，故，，所以面积，A选项正确；，B选项错误；由点为中点，则，所以，则，C选项正确；由为的角平分线，则，所以，即，则，D选项正确；故选：ACD.11.已知，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.【正确答案】ACD【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；利用导数法可判断D选项的正误.【详解】，所以的最小正周期为，故A正确；令，可得,所以的图象关于点对称，故B错误；对于C：，所以函数的图象关于直线对称，C对；对于D:，因为，所以，函数为周期函数，且是函数的一个周期，只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，，则，当时，，因为且，则，故，此时f′x>0，所以，函数在上单调递增，当时，，因为且，则，故，此时f′x<0，所以，函数在上单调递减，所以，当时，，又因为，则，因此，函数的值域为，D对.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递减区间为______．【正确答案】##【分析】利用导数求得的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，∵，令得，∴函数的单调递减区间是．故13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________.【正确答案】【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.【详解】因为当时，，所以当时，则，所以，又函数是定义在上的偶函数，所以.故答案为.14.已知，且，则的最小值为__________.【正确答案】.【分析】先将所求式子化简，再根据基本不等式得到的最小值，则可判断当，求得最小值.【详解】根据题意：，若，则，若，则，因为，则，,当且仅当即时取等号;则当时，的最小值是，当且仅当时取等号.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角满足，求的值.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；（2）利用角的变换，再结合两角差的余弦公式，即可求解.【小问1详解】由题意可知，，则，则，，；【小问2详解】，所以，所以，当，所以，当，所以，综上可知，的值为或16.已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用退一相减法可得及，即可得证；（2）根据等差数列求和公式可得，则，利用裂项相消法可得，解不等式即可.【小问1详解】由已知，当时，，即；当时，，则，即，又时，满足，所以，设，，即数列bn为等差数列，即数列为以为首项2为公差的等差数列；【小问2详解】由等差数列可知，则，所以，即，，解得，即满足条件的最大整数.17.已知的三个内角所对的边分别为，且，记的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为.（1）若，求；（2）记，证明：；（3）求取值范围：【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得.（2）根据三角形的面积公式证得结论成立.（3）用表示，然后利用导数求得的取值范围.【小问1详解】∵,,,由余弦定理，得，∵,.【小问2详解】∵的面积为,内切圆半径为，∴,又∵,∴，∴.【小问3详解】由正弦定理得,得,因为,，由（2）得，又因为，所以,所以,由,解得,令，，则在上单调递增,所以,故的取值范围为.18.设函数.（1）求在处的切线方程；（2）证明：：（3）若方程有两个实根，求实数的取值范围，【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.（2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（3）利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】，则.在处的切线方程为，即.【小问2详解】令.令，解得.；.在上单调递减，在上单调递增.，即.【小问3详解】令，问题转化为在上有两个零点..①当时，，在递减，至多只有一个零点，不符合要求.②当时，令，解得当时，，递减；当时，，递增.所以.当时，，只有一个零点，不合题意.令，当时，，所以在递增，.由于，，，使得，故满足条件.当时，，所以在递减，.由于