微积分 第3版 课件 4第三节 单调性及其应用

定理4.5设函数单调递增;单调递减.4.3.1函数的单调性在(a,b)内可导.证(1)由拉格朗日定理在[a,b]上在[a,b]上4.3

单调性及其应用证明定义域为注1:

定理4.5对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4.18证明函数在上单调递增.

解例4.19讨论函数的单调性.

定义域为解定义域为导数不存在.例4.20

讨论函数的单调性.

函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间解定义域为例4.21

讨论函数的单调性.

解定义域为练习

讨论函数的单调性.

导数不存在;单调性是证明函数不等式的一个有效方法.证例4.22证明当所以在区间单调递增.

因此当时,

得证.练习

证明当证则即即(1)式成立.证练习证明不等式原不等式等价于设4.3.2函数的极值定义4.1

的一个极大值(或极小值),

如果在x0的

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数设在x0

附近有定义,某个空心邻域内,恒有注意:

极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉取得极值的点x0称为极值点.及函数在一点附近的性质.定理4.6

(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点,例如,但驻点不一定是极值点.则必有设在点处可导,且在处取得极值,

的驻点.另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,设函数在x0

处连续,定理4.7(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则(1)如果有而有则在处取得极大值;(2)如果有而有则在处取得极小值;(3)如果当及时,符号相同,则在处无极值.是极值点情形不是极值点情形求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.的点和的点;(2)对(1)中求得的每个点,根据

在其左、

如果是极值点,进一步确定是极大值点还是(1)求出

的所有可能的极值点,即的不可导右是否变号,确定该点是否为极值点.

极小值点;例4.23求函数的极值.解极大值极小值函数在其定义域内连续.导数不存在;不存在无极值不存在定理4.8(极值的第二充分条件)

注意:则设

在

处具有二阶导数,且(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.此时仍需用定理4.7.极大值极小值解定义域为练习求函数的极值.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标4.3.3函数的最值是最小值;比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就种思想求取应用问题的最值.函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这例4.24求函数在[-1,4]上的最大解计算值与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值例4.25欲建造一个粮仓,粮仓内部的下半部分为圆柱规定粮仓储藏量为,问如何选取圆柱形的尺寸

能使造价最低.形,顶部为半球形,设用于建造圆柱形部分的材料的单价为,用于建造半球形部分的材料的单价为.如果粮食只能储存在圆柱形部分，且解设圆柱的高和半径分别为则粮仓的内表面积为材料的总价为代入上式得求导得又因为故令,

得驻点.

所求问题最小值一定存在,故唯一驻点唯一驻点,

就是最小值点,

故时造价最低.例4.26铁路线上段的距离为工厂距处为垂直于(见图).为了运输需要,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路上每公里货运的费用与公路上每公里的费用之比为3:5.为了使货物从供应站运到工厂的运费最少,问点应选在何处？则解则设铁路上每公里货运的费用为,公路上每公里的费用,从点到点的总运费为,故时,求导得令得唯一驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,总运费最少.