2025年河南省郑州市九年级中考一模数学试题 （原卷版+解析版）

郑州市2025年中招第一次适应性测试数学试题卷注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（）A2.5 B.0.7 C.+3.2 D.+0.82.图①是古代必备粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（）图①图②A.主视图与俯视图 B.左视图与主视图C.左视图与俯视图 D.左视图、主视图、俯视图均相同3.截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．数据“亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是()A. B. C. D.5.如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（）A. B. C. D.6.某中学为了解七年级学生一分钟仰卧起坐的成绩，对随机选取的30名七年级学生进行了测试．将完成的次数x按照，，，分组，如图所示．已知该校七年级共有600名学生，则其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是（）A.100 B.240 C.260 D.3407.如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.8.硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.当温度为时，硫酸钠在水中不溶解B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大C.时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同D.要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在9.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（）A.点 B.点 C.点 D.点10.已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共15分）11.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．12.如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______．13.如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为______．14.分解因式______；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是______．15.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）计算：；（2）化简：．17.小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示．小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示．型号平均数（）中位数（）众数（）方差（）A20020020537.5B216215220315C227.5227.522528.75小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议．18.如图，在四边形中，，，相交于点O，．（1）找出图中与相等的角，并说明理由．（2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）．19.如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求与的函数关系式；（3）随着增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由．20.如图，，，，是上的四个点，，交于点，，．（1）求的长；（2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程．21.小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？22.综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．（1）求证：．（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．23.如图1，在矩形中，，连接与重合，将绕点顺时针方向旋转，连接，．（1）旋转过程中一定是等腰三角形的三角形有______，的值为______．（2）如图2，当点落在对角线上时，求的长．（3）连接，试探究能否构成以为直角边，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．

郑州市2025年中招第一次适应性测试数学试题卷注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，下列数据更接近标准的是（）A.2.5 B.0.7 C.+3.2 D.+0.8【答案】B【解析】【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．【详解】解：∵0.7＜0.8＜2.5＜3.2，∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为-0.7的．故选B．【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2.图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（）图①图②A.主视图与俯视图 B.左视图与主视图C.左视图与俯视图 D.左视图、主视图、俯视图均相同【答案】B【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可．【详解】解：该几何体的三视图如图所示：由三视图可知，左视图与主视图相同，故选：B．3.截至2025年2月26日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》累计票房超过亿元人民币，跃居全球动画票房榜首．数据“亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“把一个大于的数表示成的形式（其中大于或等于且小于，是正整数）”是解题关键．按照科学记数法的定义即可求解．【详解】解：亿．故选：C．4.下列计算正确的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法和除法法则，幂的乘方运算法则逐项进行判断即可．【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂乘法和除法法则，幂的乘方运算法则．5.如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，点是边上的中点，∴，∵，∴，故选：C．6.某中学为了解七年级学生一分钟仰卧起坐的成绩，对随机选取的30名七年级学生进行了测试．将完成的次数x按照，，，分组，如图所示．已知该校七年级共有600名学生，则其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是（）A.100 B.240 C.260 D.340【答案】D【解析】【分析】本题考查了条形统计图，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．用校七年级学生人数乘以样本中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数所占百分比，即可求解．【详解】解：（人），即其中一分钟仰卧起坐的次数超过40的人数大约是340，故选：D．7.如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键．根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解．【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意；B、，，，，该选项正确，但不符合题意；C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意；D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意．故选：C．8.硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.当温度为时，硫酸钠在水中不溶解B.硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大C.时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同D.要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．【详解】解：．从图中可以看到，当温度为时，溶解度曲线对应的y值不为0，说明硫酸钠在时在水中是溶解的，故该选项不符合题意；．观察溶解度曲线，在时，硫酸钠的溶解度随着温度升高而增大，在时，溶解度随着温度升高而减小，并非一直增大，故该选项不符合题意；．在时，溶解度曲线不是一条直线，这表明温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同，故该选项符合题意；．从图中可知，当温度接近时，硫酸钠溶解度就达到了，并且在之间溶解度都不低于，而不是只控制在，故该选项不符合题意；故选：C．9.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过（）A.点 B.点 C.点 D.点【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出时，，即得出点的坐标是解决问题的关键．根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，时E点的位置即可．【详解】解：连接，作，的垂直平分线，交格点于点，则点就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：，∵只有时，与圆相切，此时，，且，∴，∴，则点的坐标为：，延长，可知过点，，∴点与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：，，．故选：C．10.已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，得出离对称轴越远，函数值越大，结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，，得出，则点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可．【详解】解：∵抛物线经过点，，∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为，当或当时，，∴离对称轴越远，函数值越大，∵，∴点离对称轴要比点离对称轴远，，∴，∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，∴，解得：，综上所述，，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11.关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是_____（写出一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，，

解上式得．∴的任意实数．∴a的值可以是1（答案不唯一）．故答案为：1（答案不唯一）．12.如图，某地铁站的进站口共有3个检票闸机，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票进站，则甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键；先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人从相邻闸机检票进站的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：设三个闸口分别用A、B、C表示，列表格如下：ABCABC由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的结果有4种，甲、乙两人从相邻的闸机检票进站的概率为，故答案为：．13.如图，直线l经过正方形的中心O，分别与和相交于点E和点F，交的延长线于点G，正方形的面积是16，若，则的面积为______．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。如图：连接，根据正方形的性质以及已知条件可证明可得，进而得到,再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：连接，∵正方形的中心O，面积是16，∴，，∴，∵,∴，∴，∴∵，∴，∴，即,解得：，∴的面积为.故答案为：1.14.分解因式______；若a是整数，则一定能被整数k（k是一位整数）整除，整数k的最大值是______．【答案】①.②.6【解析】【分析】此题考查了因式分解以及应用，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，然后得到，，是三个连续的整数，进而求解即可．【详解】解：；∵a是整数，∴，，是三个连续的整数∴能被，，，整除∴整数k的最大值是6．故答案为：，6．15.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，当线段取最大值时，的长度为______，点的坐标为______．【答案】①.##②.【解析】【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解题的关键．以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，证明，则有，由，当三点共线时，有最大值，即的长度最大值为，过轴于点，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标．【详解】解：如图，以为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接，由题意得：，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，由，∴当三点共线时，有最大值，即的长度最大值为，如图，过轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，∴点的坐标为，故答案为：，．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答即可．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则，分式的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键．17.小明家安排家庭旅行，计划从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为，该公司有A，B，C三种型号的电动汽车，每辆车每天的费用分别为360元、450元、600元．小明为了选择合适型号的汽车，进行网络调查，获得了这三种型号汽车充满电后行驶里程的数据，如图所示．小明对数据进行分析，得到三种型号汽车的续航里程的统计量如下表所示．型号平均数（）中位数（）众数（）方差（）A20020020537.5B21621522031.5C227.5227.522528.75小明既想尽可能的避免行程中充电耽误时间，又想减少租车费用，应租借哪种型号的电动汽车？请结合统计图、统计量等信息综合分析，并给出合理的建议．【答案】选择B型号汽车，见解析【解析】【分析】本题主要考查了调查与统计的相关知识，掌握平均数，中位数，众数，方差的计算及意义是解题的关键．根据平均数，中位数，众数，方差进行决策即可．【详解】解：A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中B型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．18.如图，在四边形中，，，相交于点O，．（1）找出图中与相等角，并说明理由．（2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1），见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）结合平行线的性质，全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形为平行四边形，从而可得结论．（2）作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可．【小问1详解】证明：．理由如下：，，在与中，，∴，∴四边形为平行四边形，，；【小问2详解】如图，菱形即所求．∵四边形为平行四边形，∴，∵垂直平分，∴，且经过点，则，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形，则四边形即为所求．19.如图，点在反比例函数的图象上，当时，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点；过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点，，交于点，四边形的面积为．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求与的函数关系式；（3）随着的增大，四边形的面积如何变化？请简要说明理由．【答案】（1）（2）（3）S逐渐增大，见解析【解析】【分析】本题主要考查反比例函数图象与几何图形的综合，矩形的判定和性质，掌握反比例函数图象的性质是关键．（1）点在反比例函数图象上，运用待定系数法即可求解；（2）根据题意得到，四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，由代入计算即可求解；（3）根据，结合反比例函数图象的性质判定即可．小问1详解】解：∵点在反比例函数图象上，代入解析式得，，∴，∴反比例函数解析式为．【小问2详解】解：根据题意，轴，轴，轴，轴，∴四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，∵，则，∴，∴．【小问3详解】解：S逐渐增大，理由如下：∵，，∴随着m增大，减小，则S逐渐增大．20.如图，，，，是上的四个点，，交于点，，．（1）求的长；（2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程．【答案】（1）；（2）选择条件：，见解析．【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．（）先由等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得，故有，证明，再通过相似三角形的性质即可求解；（）条件：：，由，则，根据等腰三角形的性质得出，则，从而求解；选择条件：是的直径，由圆周角定理得，证明，通过相似三角形的性质和勾股定理则求出，从而求解；选择条件：，要使，则需是的直径，题意没有说明．【小问1详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】选择条件：，证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；选择条件：是的直径，如图，由圆周角定理得，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；选择条件：，如图，∵，∴，∴，∴是的直径，要使，则需是的直径，题意没有说明，故选择条件：不能证明．21.小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？【答案】（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量（2）100个【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式，一次函数求最值，理解数量关系，正确列式求解是关键．（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由此列式求解即可；（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数求最值的计算方法即可求解．【小问1详解】解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意得：，解得：，答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．【小问2详解】解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，解得：，设消耗的热量为W千卡，则，∵，∴W随a的增大而减小，∴当时，即取得最大值为：，答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．22.综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接．（1）求证：．（2）如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围．②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）①，②【解析】【分析】（1）根据正方形，等边三角形的性质证明，即可求解；（2）①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，由含30度角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，由此即可求解；②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，则，结合二次函数求最值的计算方法即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形为正方形∴，∵为等边三角