立体几何专题球的“外切”和“内切”问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳讲义（人教A版2019）

立体几何专题：球的“外切”和“内切”问题一、正方体的内切球正方体的内切球球心位于其对角线中点处，对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a2二、直棱柱的内切球以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中h三、棱锥的内切球1、方法：一般采用等体积法2、结论：（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥ABCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3V（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为6123、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，设∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD的面积分别为S1，S2，S则VA-BCD即V=13S所以R=【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。特别的：轴截面法对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。以正四棱锥为例推导：设E、F分别为棱AB、CD的中点，则∆PEF的内切圆即为该正四棱锥P-ABCD的内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径：R=r=2四、圆柱的内切球不是所有的圆柱独有内切球，只有当圆柱的高h与圆柱的底面半径r满足h=2r，即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.五、圆锥的内切球圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，则S∆PAB=1所以R=题型一正方体的内切球【例1】已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积.【变式11】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为.【答案】π【解析】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，故其半径为12，故体积为4【变式12】已知正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积与其内切球表面积之比为（）A18:1B.3:1C.33:1D.【答案】D【解析】由正方体性质知，它的外接球的半径为R=32，内切球的半径为∴V球=4∴V题型二棱柱的内切球【例2】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为eq\f(32π,3)，那么这个正三棱柱的体积是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)【答案】D【解析】设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径R＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)a，正三棱柱的高为eq\f(\r(3),3)a.又V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(\r(3)3,63)a3＝eq\f(32π,3).∴a＝4eq\r(3).∴V柱＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×eq\f(\r(3),3)×4eq\r(3)＝48eq\r(3).【变式21】(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB.eq\f(9π,2)C．6πD.eq\f(32π,3)【答案】B【解析】设球的半径为R，∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有eq\f(1,2)(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，此时R＝2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝eq\f(3,2).所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为eq\f(3,2)，故最大体积V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).【变式22】正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵正三棱柱有一个半径为的内切球，则正三棱柱的高为cm，底面正三角形的内切圆的半径为cm，设底面正三角形的边长为cm,则，解得cm，∴正三棱柱的底面面积为cm2，故此正三棱柱的体积V＝cm3．【变式23】在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6πD.【答案】B【解析】由勾股定理可得AC=AB2+设∆ABC的外接圆的半径为r，则r∙AB+BC+AC所以r=4824=2要使得球的体积V最大，此时球与直棱柱的上、下底面都相切，则球的半径最大值为32此时球的体积为43【变式24】已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=6，BC=8，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为（）A.2:5B.4:25C.2:29【答案】D【解析】有题意可得∆ABC的内切圆半径为6+8-102所以要使此三棱柱有内切球，则此三棱柱的高AA所以内切球的半径r=2取AC的中点D，A1C1的中点D1，则DD1的中点M为外接球的球心，所以外接球的半径R=5因此三棱柱的内切球与外接球的表面积的比为4πr题型三棱锥的内切球【例3】四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A．6B．5C.eq\f(9,2)D.eq\f(9,4)【答案】D【解析】过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥P­ABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点．设PH＝h，易知Rt△PMO∽Rt△PHF，所以eq\f(OM,FH)＝eq\f(PO,PF)，即eq\f(1,3)＝eq\f(h－1,\r(h2＋32))，解得h＝eq\f(9,4)(h＝0舍去)，故选D.【变式31】我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在封闭的鳖臑P­ABC内有一个体积为V的球，若PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1，则V的最大值是()A.eq\f(5\r(2)＋3,6)πB.eq\f(5π,3)C.eq\f(5\r(2)－7,6)πD.eq\f(32π,3)【答案】C【解析】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，设此时球的半径为R，则V三棱锥P­ABC＝eq\f(1,3)·R·(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋SPBC)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×R×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×1×\r(2)＋\f(1,2)×1×\r(2)))，解得R＝eq\f(\r(2)－1,2).所以球的体积V的最大值为eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)－1,2)))3＝eq\f(5\r(2)－7,6)π.故选C.【变式32】如图，在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由平面，且，，，得，，所以为等边三角形，为等腰三角形，，三棱锥的表面积为.设内切球半径为，则，即，所以，所以三棱锥的内切球的表面积为【变式33】已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为【答案】2-1【解析】如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．因为AB=23，所以S△ABC=33，DE=1所以S表因为PD=1，所以三棱锥的体积V=1设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r=3【变式34】在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=3，BC=AB=4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R=；内切球的体积V=【答案】412；4【解析】在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面将该“阳马”补形成长方体，则2R2=AB依题意得Rt∆PAB≅Rt∆PAD，则内切球O在侧面PAD的正视图是∆PAD的内切圆，故内切球的半径r=1其体积V=题型四圆柱的内切球【例4】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为A．B．C．D．【答案】C【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为，球的表面积为．∴圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为．【变式41】圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（玻璃球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（）A.203cmB.15cmC.10【答案】B【解析】由题意得玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积，设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为4πr33若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以4πr33【变式42】如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为4π，则球的体积为（）A.323πB.43π【答案】B【解析】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，所以圆柱的侧面积为2πr×2r=4π，所以r=1，所以球的体积为43【变式43】如图，圆柱内有一个内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为43π，则圆柱的侧面积为（A.πB.2πC.4πD.8π【答案】C【解析】设球的半径为r，则43πr所以圆柱的底面半径r=1，母线长为l=2r=2，所以圆柱的侧面积为S=2πrl=2π×1×1=4π.题型五圆锥的内切球【例5】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为．【答案】2π【解析】设内切球的半径为，则利用轴截面，根据等面积可得，，该圆锥内切球的表面积为，【变式51】已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表面积为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图：由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为则：，，解得故，则，故故选【变式52】一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，作出圆锥截面图，如图所示，因为母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，所以圆锥底面半径与高均为，设内切球的半径为，则利用圆锥的轴截面，根据等面积法，可得，解得，所以该圆锥内切球的表面积为，故选B.【变式53】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为R，则有，所以，设圆锥的内切球半径为r，结合圆锥和球的特征，可知：内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥母线长为3，所以，所以有，解得，因此内切球的表面积为.【变式54】求底面半径为10，母线长为26的圆锥的内切球的表面积及体积．【答案】表面积16009π【解析】如图是圆锥的轴截面SAB，设圆锥内切球的半径为R．由题意得：圆锥的高为h=26S△SAB=1所以S表面积=4π题型六球与球的相切问题【例6】底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_____.【答案】cm3【解析】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，四个球心连线组成棱长为1的正四面体，分别为四个球心在底面的射影，则是一个边长为的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为，故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积，＝，故答案为.【变式61】在半径为的球内放入5个球，其中有4个球大小相等，两两相外切且均与大球相内切，另一个小球与这四个球均相外切，则这个小球半径为A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知中四个半径都是r的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，连