《数学实验 第4版》课件 9.2 手机模型

1第九章综合实验实验9.1数学建模简介实验9.2手机模型数学实验实验9.3传染病模型2实验9.2手机模型一、问题描述二、模型准备实验9.2

手机模型三、模型假设四、模型构成与模型求解五、模型的推广3实验目的一、问题描述选购手机时会受到诸多因素约束难以对手机品牌做出抉择，为此建立适当的数学模型，对手机品牌作出综合评判，向准备购买手机的大学生提供一些指导性意见.通过本实验了解如何利用MATLAB通过层次分析法对较为复杂的给定对象进行综合评判.实验9.2

手机模型4二、模型准备1.确定需要的数学工具层次分析法（AHP）是美国著名运筹学专家萨迪（T.L.Saaty）教授于20世纪70年代中期提出的一种将定性分析与定量研究相结合的决策方法.该方法于20世纪80年代初传入我国并迅速得到推广和应用.AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具.实验9.2

手机模型5层次分析法的基本步骤如下：（1）建立层次结构将问题所包含的因素分层，一般分为三个层次：最高层（也叫目标层，可设为T）——表示解决问题的目的，通常只有1个因素（仍设为T）；中间层（也叫准则层、约束层或指标层,可设为I）——表示为实现目标而采取的各种措施、准则或约束条件（可设为

），可以是1个或多个层次；实验9.2

手机模型6最底层（也叫方案层或对象层，可设为P）——表示的是备选方案（可设为）.实验9.2

手机模型上层对下层有支配作用，同层因素互相独立，每层因素一般不要超过9个，否则，将难以抉择.一般用框图形式说明层次的递阶结构与因素的从属关系.7（2）构造成对比较阵从层次结构的第2层开始，考虑同一层的各个因素对上层每个因素的影响.用两两比较的方法把各因素的重要性数量化.萨迪给出了1~9级相对重要性比较尺度表：比如，针对目标因素T，考虑准则层所有因素对T的相对重要性.实验9.2

手机模型8每次取两个因素成对比较，用正数aij表示与的重要性之比相同重要稍微重要明显重要强烈重要绝对重要介于两级之间aij135792,4,6,8实验9.2

手机模型显然9全部比较结果构成矩阵称为成对比较阵（也称正互反矩阵）.同样方法可以考虑方案层实验9.2

手机模型对准则层各因素的相对重要性，得到一系列的成对比较阵.构造成对比矩阵是整个工作的数量依据，是非常重要的一步，可以采用群体判断或者专家给出的方式.10（3）计算权向量并作一致性检验（也称：层次单排序及其一致性检验）满足则称A为一致矩阵，简称一致阵.定义如果一个正互反矩阵实验9.2

手机模型如果决策人对n个因素重要性的比较具有逻辑的绝对一致性，那么我们得到的成对比较阵就是一致阵.11由于客观事物的复杂性以及主观思维的片面性，构造出的成对比较阵通常不是一致阵，需要对它进行一致性检验.根据矩阵理论，一致性检验分以下三步进行：实验9.2

手机模型12上表是萨迪这样得到的：取定1~9中的任一整数n，随机构造100~500个成对比较阵第二步，查找相应的平均随机一致性指标RI（randomindex）实验9.2

手机模型n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51计算这些矩阵的最大特征值的平均值13定义第三步，计算一致性比例CR（consistencyratio）结论：当CR<0.1时，认为A的不一致程度是可以接受的，可以用其特征向量作为权向量（权向量各元素就是

对T的相对重要性的排序权值）；当CR≥0.1时，需要重新进行成对比较，调整A的取值直到一致性可以接受为止.实验9.2

手机模型14求出权向量的这一过程也称为层次单排序.为使用方便，往往需要把权向量归一化处理.这一步骤中计算量比较大，一般需要借助MATLAB软件实现.实验9.2

手机模型（4）计算组合权向量并作一致性检验（也称：层次总排序及其一致性检验，也即求方案的综合得分）以下提到的权向量都是指归一化之后的标准形式.15实验9.2

手机模型16组合权向量也需要进行一致性检验.对准则层的一致性指标为假设方案层相应的平均随机一致性指标为则组合权向量的一致性比例为类似的，当CR′<0.1时，认为组合权向量通过一致性检验，否则需要重新调整各成对比较矩阵的取值.实验9.2

手机模型172.利用网络调查等手段确定目前大学生关注的手机热销品牌以及影响手机购买的因素.3.按1~9级相对重要性比较尺度表通过网络给各因素打分.实验9.2

手机模型18实验9.2

手机模型三、模型假设1.假设大学生所考察的因素中除了价钱，外观，品牌，性能，不考虑其他因素.2.假设4个因素中，性能因素囊括了电池，系统，摄像头，硬件等其他综合因素.3.假设大学生在构建成对比较矩阵时的观点一致.4.假设只考虑市场上份额较大的四个牌子：华为、vivo、苹果、三星.5.假设所有手机的价位都是依据同种品牌的热门机种，不考虑相同牌子的不同机种.19STEP1：建立层次分析结构模型四、模型构成与模型求解实验9.2

手机模型20Step2：构造成对比较阵实验9.2

手机模型价钱外观品牌性能价钱1321/3外观1/3131/5品牌1/21/311/5性能3551四种指标间的相对重要性比较21实验9.2

手机模型四种手机在价格上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo1273三星1/2171华为1/71/711/7苹果1/317122实验9.2

手机模型四种手机在外观上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo11/31/71/3三星311/51/3华为7515苹果331/5123实验9.2

手机模型四种手机在品牌上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo121/51/5三星1/211/71/4华为5715苹果541/5124实验9.2

手机模型四种手机在性能上的优劣比较vivo三星华为苹果vivo11/51/81/5三星511/51华为8515苹果511/5125实验9.2

手机模型根据以上表格，最终得出以下的成对比较阵：

26实验9.2

手机模型STEP3：计算权向量并作一致性检验借助数学软件MATLAB对每一个成对比较阵计算最大特征根和特征向量，并作一致性检验.若通过，则可认为成对比较阵的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量,否则则应该重新构造成对比较阵.MATLAB实现:27实验9.2

手机模型先编写检验函数文件JianYan.m：functionJianYan(A)[v,d]=eigs(A);%求特征值和特征向量tbmax=max(d(:));%最大特征值[m,n]=size(v);%得到行数和列数sum=0;fori=1:msum=sum+v(i,1);end28实验9.2

手机模型tbvector=v(:,1);fori=1:mtbvector(i,1)=v(i,1)/sum;end%将特征向量标准化disp('最大的特征值为：');tbmaxdisp('最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：');tbvector29实验9.2

手机模型disp('一致性指标CI为：')CI=(tbmax-4)/3disp('一致性比率CR为：')CR=CI/0.9ifCR<0.1disp('CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量')elsedisp('CR大于0.1，没能通过一致性检验，特征向量不为权向量');end30实验9.2

手机模型然后对五个矩阵分别进行一致性检验，结果如下：>>A=[1,3,2,1/3;1/3,1,3,1/5;1/2,1/3,1,1/5;3,5,5,1];JianYan(A)↙最大的特征值为：tbmax=4.2489最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.23210.13470.08340.549931一致性指标CI为：CI=0.0830一致性比率CR为：CR=0.0922CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型32实验9.2

手机模型>>B=[1,2,7,3;1/2,1,7,1;1/7,1/7,1,1/7;1/3,1,7,1];JianYan(B)↙最大的特征值为：tbmax=4.1179最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.47840.24860.04380.229233一致性指标CI为：CI=0.0393一致性比率CR为：CR=0.0437CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型34实验9.2

手机模型>>C=[1,1/3,1/7,1/3;3,1,1/5,1/3;7,5,1,5;3,3,1/5,1];JianYan(C)↙最大的特征值为：tbmax=4.2281最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.06030.11550.62230.201935一致性指标CI为：CI=0.0760一致性比率CR为：CR=0.0845CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型36实验9.2

手机模型>>D=[1,2,1/5,1/3;1/2,1,1/7,1/4;5,7,1,5;3,4,1/5,1];JianYan(D)↙最大的特征值为：tbmax=4.1660最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.10030.06090.62720.211637一致性指标CI为：CI=0.0553一致性比率CR为：CR=0.0615CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量实验9.2

手机模型38实验9.2

手机模型>>E=[1,1/5,1/8,1/5;5,1,1/5,1;8,5,1,5;5,1,1/5,1];JianYan(E)↙最大的特征值为：tbmax=4.1665最大的特征值对应的特征向量为（标准化后的）：tbvector=0.04540.16280.62890.162839实验9.2

手机模型一致性指标CI为：CI=0.0555一致性比率CR为：CR=0.0617CR小于0.1，通过一致性检验，特征向量为权向量40把STEP3中计算结果融合并用EXCEL进行处理，计算最终的组合权向量：实验9.2

手机模型STEP4：计算组合权向量并作一致性检验价钱外观品牌性能组合权向量准则层相对目标层权重0.23210.13470.08340.5499Vivo权重0.47840.06030.10030.04540.1525三星权重0.24860.11550.06090.16280.1679华为权重0.04380.62230.62720.62890.4921苹果权重0.22920.20190.21160.16280.1876B~E的最大特征值λ4.11794.22814.1664.1665B~E的一致性指标CI0.03930.07600.05530.