大学物理学（第二版）课件：机械振动

机械振动扬声器开启后产生声波使颜料滴高速上下振动，声波穿过颜料滴产生意想不到的情景。本章内容11.1简谐振动11.

2旋转矢量法11.

3简谐振动的能量11.

4一维简谐振动的合成拍现象定义：任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.物体围绕一固定位置来回往复运动称为机械振动.其运动形式有直线、平面和空间振动.

简谐运动：最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解11.1简谐振动振动发声的乐器11.1.1简谐振动的特征把弹簧振子置于光滑的水平面上。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。(1)

以弹簧振动系统为例弹性力F的方向始终指向平衡位置，称为回复力。(2)

动力学特征上式是简谐振动的动力学方程。令，则(3)

简谐振动的运动方程简谐振动的动力学方程的解为简谐振动的运动方程(4)简谐运动速度、加速度取(5)振动曲线图图图从受力角度来看——动力学特征从加速度角度来看——动力学特征从位移角度来看——运动学特征要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可。(6)总结简谐运动的特点例1：试从能量角度证明单摆在小角度情况下作简谐振动。解：由于单摆运动过程中机械能守恒，即：两边取时间的微分：此式满足谐振动的运动学特征，则单摆的小角度运动为简谐振动。当θ很小时定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振幅。11.1.2简谐振动的描述(1)

振幅(2)

周期、频率与角频率定义：物体作一次完全振动所经历的时间为周期T。定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数称为振动的频率ν。因为每经过一个周期，振动状态就完全重复一次，所以有由上式得到即定义：ω表示物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，称为振动的角频率。对于弹簧振子对于单摆周期和频率也完全决定于振动系统本身的性质，因此常称之为固有周期和固有频率。动物的心跳（次/分）

昆虫翅膀振动的频率（Hz）单摆的周期和频率分别为弹簧振子的周期和频率分别为(3)

相位和初相简谐振动：可见，当振幅

A

和角频率ω

给定时，物体在

t

时刻的位置和速度完全由ωt+φ来确定。定义：ωt+φ是确定简谐运动状态的物理量，称为相位。在t=0时，相位为φ，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。

tyOA-A

=2

相位概念的重要性体现在相位能充分体现简谐振动的周期性。tyvω

t+φ0A00T/40-ωAπ/2T/2-A0πTA02π振动过程中物体的状态与相位关系在一次全振动中，不同的运动状态都对应着一个在0～2π

内的相位值。设有两个简谐振动相位差(4)

相位差

tyOA1-A1A2-A2y1y2，y2比y1早

达到正最大,称第二个简谐振动比第一个简谐振动超前。同理，则称第二个简谐振动比第一个简谐振动落后。可见，相位概念的重要性还在于比较两个简谐振动之间在“步调”上的差异。两个简谐振动同相两个简谐振动反向tyoA1-A1A2-A2y1y2T同相y2TyoA1-A1A2-A2y1t反相-A1(5)振幅和初相的确定初相:φ所在的象限可以由y0和v0的方向来决定:φ取值在第Ⅰ象限φ取值在第Ⅱ象限φ取值在第Ⅲ象限φ取值在第Ⅳ象限比较简谐振动的位移、速度、加速度的位相关系？讨论：当

，例1一物体沿y轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。t=0时，位移为0.06m，且向y轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设t1时刻为物体第一次运动到y

=

-

0.06m处，试求物体从t1时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：由于振子在做简谐振动，因此确定运动方程的具体表达式由题意知必须确定其中A、ω及φ。又因为所以振动方程(2)由题意，在t1时刻，此时因为t1时刻为物体第一次运动到y=-0.06m处，所以t1<T,即ωt1<ωT=2π，可得解得设t2时刻为物体从

t1时刻运动后首次到达平衡位置，有所以，因为t1时刻为物体首次运动到平衡位置，所以t1<T,即ωt1<ωT=2π解得11.2旋转矢量法11.2.1旋转矢量图示法自Oy轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oyz

平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度ω与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.

11.2.2旋转矢量与简谐运动的关系M点运动在y轴投影，为简谐振动的运动方程。M点速度在y轴投影，为简谐振动的速度。M点加速度在y轴投影，为简谐振动的加速度。结论：这种以一个匀速旋转的矢量A，在oy轴上的投影来表示简谐振动的方法，称为旋转矢量法。旋转矢量法确定初位相ⅠⅢⅣⅡ

在第Ⅰ象限

在第Ⅳ象限

在第Ⅱ象限

在第Ⅲ象限几种特殊位置初位相。oyotyaπ/4a

bω

T/8b

cc

•d•d

ee

•T/2•••9T/8••T旋转矢量法的优点把变速直线运动转化为匀速圆周运动利用该方法可方便地画出y-t,v-t,a-t图可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位方便地进行两个振动的合成例1试画出y=Acos(ωt+π/4)的y-t

图线例2：简谐振动的y-t曲线如右图所示，求振动方程。解:设振动方程为由振动曲线知：用旋转矢量法：11.3简谐振动的能量(1)

动能(以弹簧振子为例)O

y

Y11.3.1简谐振动的能量(2)

势能(3)

机械能简谐振动的能量与振幅的二次方成正比，这一点对于任一简谐运动系统都是成立的。振幅不仅描述了简谐振动的振动范围，也表征了振动系统总能量的大小。11.3.2简谐运动能量曲线4T2T43T能量简谐运动能量守恒，振幅不变从势能曲线上看出,势能曲线为一抛物线；系统的总能量守恒，为一水平直线；系统的动能为总能量与势能之差。能量守恒简谐运动方程推导(3)

应用例1：如图,弹簧的倔强系数k=25N/m，物块m1=0.6kg，物块m2=0.4kg，m1与m2间最大静摩擦系数为μ=0.5，m1与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，任其自由振动，使在振动中m2不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：若m2不从m1上滑落，则m1与m2要具有相同的加速度。其最大加速度可表示为amax=Aω2(1)同时m2不从m1上落下应满足由上式可得最大加速度应为

amax=gμ(2)联立(1)及(2)两式，可得把A代入简谐振动能量表达式11.4.1

同方向同频率谐振动的合成(1)

解析法分振动:合振动:结论：合振动y仍是简谐振动演示11.4

一维简谐振动的合成拍现象(2)

旋转矢量合成法讨论:则A=A1+A2,两分振动相互加强，当A1=A2时,A=2A1则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=0若两分振动同相,即

2

1=

2k

(k=0,1,2,…)若两分振动反相,即

2

1=

(2k+1)

(k=0,1,2,…)演示若两分振动同相，即当A1=A2

时,A=2A1(3)

讨论:若两分振动反相当A1=A2时,A=0加强减弱小结例1：两个同方向的简谐振动曲线如图所示。求合振动的振动方程。解:设合振动方程为：由图可知两个分振动反相，则由于，则演示分振动11.4.2同方向不同频率简谐振动的合成拍合振动

合矢量A的大小也随时间而变化，并且以不恒定的角速度旋转，所以合矢量A在y轴上的投影y=y1+y2不是做简谐运动.为了简化起见，假定且两个简谐振动的频率相差很小令

则随

t缓变随t快变其中，结论：合振动y可看