2024-2025学年重庆市渝中区高高二上期第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市渝中区高高二上期第一次月考数学检测试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A. B. C. D.2.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.“”是“直线与直线垂直”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图所示，在平行六面体中，，，，点是中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A B.C. D.5.已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.曲线C的方程为B.曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10C.曲线C上存在点M，使得D.曲线C上的点到直线的最大距离为96.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.47.广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆C：，直线l.则以下几个命题正确的有（）A.直线恒过定点B.圆被轴截得的弦长为C.直线与圆恒相交D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为10.下列四个命题是真命题的是（）A.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为B.已知，，点为轴上一动点，则的最大值是C.已知，，，过A作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为D.经过两条直线：和：的交点，且与直线平行的直线方程为11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（）A.点G到平面的距离为定值B.若，则的最小值为2C.若，且，则点G到直线的距离为D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是______.13.已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________．14.现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.（1）求圆C的方程；（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．（1）证明：平面．（2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．17.过点作直线分别交轴、轴正半轴于A，B两点.（1）当面积最小时，求直线的方程；（2）当取到最小值时，求直线方程.18.如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你结论；（2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．19.已知圆经过三点．（1）求圆的方程．（2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由？2024-2025学年重庆市渝中区高高二上期第一次月考数学检测试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为A. B. C. D.【正确答案】A【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由直线，则，设直线的倾斜角为，所以，所以.故选：A本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.已知，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：B3.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线垂直的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由，得，所以或，所以是的充分不必要条件．故选：A4.如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解.【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，所以，故选：D.5.已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A.曲线C的方程为B.曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10C.曲线C上存在点M，使得D.曲线C上的点到直线的最大距离为9【正确答案】D【分析】根据两点坐标以及由两点间距离公式即可整理得点P所构成的曲线为C的方程为，即可判断A；利用点到圆上点距离的最大值，即可知在C上不存在点D，即可判断B；设，利用两点间距离公式得到方程和联立，无解，即可判断C；求出C的圆心到直线的距离，可得曲线C上的点到直线的最大距离为9，即可判断D.【详解】对于A，由题意可设点Px,y由A−2,0，B4,0，，得，化简得，即，故A错误；对于B，点到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误；对于C，设，由，得，又，联立方程消去得，得无解，故C错误；对于D，C的圆心到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确.故选：D.6.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】A【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面B1D1EF的法向量后可求点到平面的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，设平面的法向量为，则，取，则，故，故到平面的距离为，故选：A.7.广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】对于A选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误；对于C选项，当时，，即表示圆外部及边界，满足；当时，，即表示圆的内部及边界，满足，故C正确；对于B选项，当时，，即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误；对于D选项，当时，，即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误.故选：C8.在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果.【详解】由，要使最大只需到中点距离最大，又且，令，则，整理得，所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，故，而，故.故选：D关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质求中点的轨迹，再求定点到圆上点距离最值即可.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆C：，直线l.则以下几个命题正确的有（）A.直线恒过定点B.圆被轴截得的弦长为C.直线与圆恒相交D.直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为【正确答案】ABC【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D.【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；选项B中，在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且，∴，则直线方程为，即，D错误.故选：ABC.10.下列四个命题是真命题的是（）A.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为B.已知，，点为轴上一动点，则的最大值是C.已知，，，过A作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为D.经过两条直线：和：的交点，且与直线平行的直线方程为【正确答案】BCD【分析】举反例排除A；利用点关于直线对称的知识，结合三角形两边之和大于第三边判断B；作出图形，数形结合判断C；先联立两直线方程求得交点，再利用直线平行求直线方程判断D，从而得解.【详解】对于A：当直线经过原点时，所求直线为，故A错误；对于B：由已知点关于轴的对称点为，又，直线方程为，令得，所以直线与轴交点为，则，当且仅当是与轴交点时等号成立，故B正确；对于C：因为，，，所以，，则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为，故C正确；对于D：由，得，即与的交点为，设与直线平行的直线方程为，则，所以，则所求直线方程为，故D正确.故选：BCD.11.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（）A.点G到平面的距离为定值B.若，则的最小值为2C.若，且，则点G到直线的距离为D.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【正确答案】ACD【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面垂直的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解.【详解】对于A，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确；对于B，连接，面，是在平面上的射影，要使，则，所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆，所以的最小值为，故B错误；对于C，连接，，，，因为，且，所以A，E，，G四点共面，因为在正方体中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方体中，，，所以四边形是平行四边形，则，则，因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，，，故点G到直线距离，故C正确；对于D，以原点，建立空间直角坐标系，如图，设（），则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，故，设直线与平面所成角为（），则，因为，所以，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确.故选：ACD.方法点睛：（1）向量法求点面距离：求出平面的法向量，则点到平面的距离公式为.（2）向量法求线面所成角的正弦值：求出平面的法向量，则.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.12.已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是______.【正确答案】或2【分析】先由圆的标准方程得到两圆的圆心与半径，再利用两圆内切得到关于的方程，解之即可得解.【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，解得或.故或2.13.已知直线：，：，当时，直线与之间距离是_________．【正确答案】【分析】根据可得，再根据平行直线间的距离公式求解即可.【详解】因为，所以，解得或.当时，与重合，不符合题意；当，直线：,：,即，满足，故直线与之间的距离是.故答案为:.14.现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.【正确答案】##【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】将沿旋转到平面内，如下图所示，设点关于对称的点为，线段与的交点为，此时空间四边形PEFD的周长最小，因为，所以，同理可得：，因为底面ABCD是矩形，所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，，，异面直线PE与DF所成角的余弦值为：，故关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.（1）求圆C的方程；（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.【正确答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即圆心到直线的距离为∴圆C方程为：；（2）当斜率不存在时，的方程为，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；当斜率存在时，设的方程为，则.又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，所以，解得，所以直线的方程为.综上：方程为或.16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．（1）证明：平面．（2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取中点G，连接，根据线面平行的判定定理只需证明,要想证明，也就是要证明四边形为平行四边形，即证且.（2）由已知可得两两垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．【小问1详解】取的中点G，连接，分别为的中点，，又底面ABCD为菱形，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．【小问2详解】连接，平面，平面，，四边形为菱形，，为等边三角形，F为的中点，，，，两两垂直，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由可知，则，设平面的法向量，则，令，得，，所以，设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．17.过点作直线分别交轴、轴正半轴于A，B两点.（1）当面积最小时，求直线的方程；（2）当取到最小值时，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设直线的方程为（），则，，即可，展开后利用基本不等式，当面积最小时，求得值，即可得到直线的方程；（2）由，展开后利用基本不等式，当取到最小值时，求得值，即可得到直线的方程.【小问1详解】过点的直线与轴、轴正半轴相交，所以直线的斜率设直线的方程为（），则，，，当且仅当（）即时取“”成立，则直线的方程为.【小问2详解】由（1），，当且仅当（）即时，取“”成立，则直线的方程为.18.如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析（2）符合题意的点存在且为线段的中点．【分析】（1）证明出平面，进而证明面面垂直；（2）易得当平面时，四棱锥体积最大，再建立空间直角坐标系，设（），利用空间向量和二面角的大小，列出方