专题11 投影（知识点串讲）（原卷版）

专题11投影

知识网络

________平行投影

《投影中心投影

正投影

重难突破

知识点一平行投影

投影的概念：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线

叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。

平行投影特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长

度.

图1图2

考查题型（物高与影长的关系）

1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方

向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北~东北一东，影长也是由

长变短再变长.

2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：

甲物体的高一甲物体的影长

乙物体的高一乙物体的影长.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

1.（2018•渭南市期末）矩形木框在阳光照射下，在地面上的影子不可能是（)

A.B.

c.D.

2.（2019•宝鸡市期中）如图是王老师展示的他昨天画的一幅写生画，他让四个学生猜测他画这幅画的时间.根

据王老师标出的方向，下列给出的时间比较接近的是（）

味一►东

A.小丽说：“早上8点”

B.小强说:“中午12点”

C.小刚说：“下午3点”

D.小明说：“哪个时间段都行”

3.（2019•四川省安岳实验中学初三期末）给出下列结论正确的有（）

①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的

②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的

③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关

④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2019•山东省济南市汇才学校初三期中）下列四幅图形中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能

是（）

5.（2019•天水市期中）如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m•高的直杆,

量得其影长为0.5m,此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m,落在墙上的影子CD的高为2m,

小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB•的高为（）

C.7mD.8m

6.（2019•昌平区期中）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下（）

A.小莉的影子比小玉的影子长B.小莉的影子比小玉的影子短

C.小莉的影子与小玉的影子一样长D.无法判断谁的影子长

7.（2018・湘乡市期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得

一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影

子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮

她算一下，树高是（）

A.3.25mB.4.25mC.4.45mD.4.75m

8.（2019•平顶山市第四十二中学初三期中）下列说法正确的是（）

A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关

B.小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长.

C.物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化.

D.物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的.

9.（2018•市北区期末）太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（）

A.与窗户全等的矩形B.平行四边形

C.比窗户略小的矩形D.比窗户略大的矩形

10.（2019•营口市期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下,

电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点

（如图），已知8c=5米，长方形广告牌的长族=4米，高HC=3米，OE=4米，则电线杆A3的高度

是（）

C.8.25米D.10.75米

知识点二中心投影

中心投影概念：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

中心投影特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物

体它的影子长.

念

3”/

»1

2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影

子越短，但不会比物体本身的长度还短.

考查题型（求点光源的位置）

点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个

点的位置.

中心投影与平行投影的区别与联系:

区别联系

投影线互相平行，

平行投影都是物体在光线的

形成平行投影照射下，在某个平

面内形成的影子.

投影线集中于一点，

中心投影（即都是投影）

形成中心投影

11.（2019•泉州市期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上

的影子（）

A.逐渐变短B.先变短后变长

C.先变长后变短D.逐渐变长

12.（2018•苏州市期中）圆桌面（桌面中间有一个直径为\m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照

射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影.己知桌面直径为2〃?，桌面离地面1%,若

灯泡离地面2根，则地面圆环形阴影的面积是（）

•••••

*«・••・•♦•♦

?:::\

A.2TT/T?2B.3nn?2C.6n/M2D.12nm2

13.（2019•济南市期中）如图，小明夜晚从路灯下A处走到B处这一过程中，他在路上的影子（）

C.长度不变D.先变短后变长

14.（2019•郑州市期中）两个人的影子在两个相反的方向，这说明（）

A.他们站在阳光下B.他们站在路灯下

C.他们站在路灯的两侧D.他们站在月光下

15.（2019•西安市期中）如图，白炽灯正下方有一个乒乓球，当乒乓球沿竖直方向越来越远离白炽灯时，它在

地面上的影子（）

A.越来越大B.越来越小C.先变大后变小D.先变小后变大

16.（2018•罗湖区期末）如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2,且三

角尺一边长为5cm,则投影三角形的对应边长为（）

A.8cmB.20cmC.3.2cmD.10cm

17.(2019・平顶山市第四十二中学初三期中)小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下

观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影

子最长的时刻为()

A.上午8时B.上午9时30分C.上午10时D.上午12时

18.(2019•广东红岭中学初三期中)一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，--棵小树和一根电线杆在窗口灯

光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是()

QD

CEQ

i

ffl

A.1号窗口B.2号窗口C.3号窗口D.4号窗口

19.(2019・温江中学实验学校初三期中)小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小

明在后，两人之间的距离始终与小阳的影长相等.在这种情况下，他们两人之间的距离()

A.始终不变B.越来越远C.时近时远D.越来越近

20.(2019•沙雅县英买力镇中学初三期中)小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为()

A.从路灯下走开，离路灯越来越远B.走到路灯下，离路灯越来越近

C.人与路灯的距离与影子长短无关D.路灯的灯光越来越亮

知识点三正投影

正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平

行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这

种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(1)(2)(3)

1.线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AiBi，与线段AB的长相等；、

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长；

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图

形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类

似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

3.立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图

形的最大截面全等.

如图，把一个正方体纸盒P（记为正方体ABCDEFGH）放在两个个不同位置.

（1）纸盒的一个平面ABCD平行于投影面：

A.大于1.5mB.小于1.5/M

C.等于1.5mD.小于或等于1.5小

22.（2018•芜湖市期末）下列说法正确的是（）

A.三角形的正投影一定是三角形B.长方体的正投影一定是长方形

C.球的正投影一定是圆D.圆锥的正投影一定是三角形

230.（2018•通州区期末）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）

0

24.一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形投影面；一个长方形

的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形投影面.

25.（2018•梅州市期末）如图所示，这些图形的正投影图形分别是.

26.下图右边是一个三棱柱，它的正投影是下图中的（填序号）.

ADD0

①②③④

27.有两根大小、形状完全相同的铁丝，甲铁丝与投影面的夹角是45。，乙铁丝与投影面的夹角是30。，那

么两根铁丝在投影面的正投影的长度的大小关系是：甲―乙（填“>”“〈”或

28.已知I,如图所示，木棒AB在投影面P上的正投影为AIBI,且AB=20cm,ZBAAi=120°,则投影长

A[B[=cm.

29.如图所示，正三棱柱的面EFDC〃平面R且AE=EF=AF=2,AB=6,正三棱柱在平面R的正投影是

,正投影的面积为

30.下列投影中，正投影是（只填序号）.

巩固训练

一、解答题（共10小题）

1.（2018•安康市期末）如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品,

并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》.小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具

和所学的儿何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进

行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直

立一根木棒CD,并测得此时木棒的影长DE=2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F,使得A、C、

F三点在同一直线上，并测得DF=2.5米.已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD=1.72米，AB1BF,

CD±BF,试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.

2.（2019•深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学初三期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段

A3所示，他在地面上的影子如图中线段4c所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段OE

上.

（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.

（2）如果小明的身高AB=1.6〃?，他的影子长AC=1.4〃?，且他到路灯的距离AO=2.1m,求灯泡的高.

E

BG

CAD

3.（2018•深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时,

测得影子CD的长为1米,当她继续向正东走到D处时,测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°,

已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？

4.(2018•南通市启秀中学初三期中)如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子

如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段OE上.

E

G

CAD尸

(1)请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子；

(2)如果小明的身高4B=1.8〃i,他的影子长4C=L6m,且他到路灯的距离40=24力求灯泡的高.

5.(2018•青岛市期末)如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前

走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？

H

BCDEF

6.（2019•合肥市期中）（1）如图①，BE,DF,MN是三根直立于地面的木杆在同一灯光下的影子，请画出第三

根木杆，（画出示意图，不用写画法）

（2）如图②，小明在阳光下利用标杆AB测量校园内一棵小树CD的高度