《案例分析》知识清单

《案例分析》知识清单以下是关于苏教版（2019）必修第二册专题数学建模与数学探究中案例分析的知识清单：##一、数学建模1.**概念理解**-数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。在高中阶段，它要求学生能够从现实生活、工程技术、科学研究等情境中抽象出数学结构。例如，在分析物体运动问题时，把物体的位移、速度、加速度等物理量用数学变量表示，建立起函数关系，这就是一种简单的数学建模。-对于苏教版教材中的案例，要明确每个案例所涉及的实际背景，像经济问题中的成本、利润、产量关系，或者生态问题中的种群数量变化等。2.**建模步骤**-问题提出：这是建模的起始点。要从实际现象中发现问题，如在研究传染病传播模型时，问题可能是预测传染病在一定时间内的感染人数。-模型假设：为了简化实际问题，需要做出一些合理假设。例如在上述传染病模型中，假设人口总数不变（忽略出生、死亡、迁入、迁出等因素在短期内的影响），传染病的传播速率在一定阶段是恒定的等。-模型建立：根据假设，运用合适的数学知识建立模型。对于传染病传播，可能会建立微分方程模型。在苏教版教材的案例分析中，不同的案例会运用到函数（如线性函数、二次函数等）、方程（线性方程、方程组）、概率统计等知识来建立模型。-模型求解：利用数学方法求解所建立的模型。这可能涉及到代数运算、求导、积分等知识。例如求解上述传染病模型的微分方程，得到感染人数随时间变化的函数表达式。-模型检验：将模型的解与实际数据进行比较。如果在传染病模型中，用历史的传染病数据来验证模型预测的准确性。如果模型结果与实际相差较大，就需要重新检查假设或者调整模型。-模型应用：如果模型通过检验，就可以用于预测、优化等。比如利用传染病模型预测未来传染病的发展趋势，为防控措施提供依据。##二、数学探究1.**探究目标**-在案例分析中，数学探究旨在培养学生的自主探索能力和创新思维。例如，探究不同数学模型在特定问题中的适用性，像在资源分配问题中，探究线性规划模型和非线性模型哪一个更能有效解决资源的最优分配。-学生要学会从给定的案例中提出自己的研究问题，如在几何图形的案例中，探究不同形状的几何图形在相同周长下面积的最大值问题，进一步挖掘数学知识之间的内在联系。2.**探究过程**-观察与思考：仔细观察案例中的现象或数据，思考其中可能存在的数学规律。例如在数列案例中，观察数列的各项数值，思考其通项公式的可能形式。-提出猜想：根据观察和思考，提出自己的猜想。比如在研究多边形内角和时，根据三角形、四边形内角和的已知结果，猜想多边形内角和与边数的关系。-论证猜想：运用数学推理和证明方法来验证猜想。对于多边形内角和的猜想，可以用数学归纳法等方法进行证明。-拓展应用：将探究得到的结果应用到其他类似问题或者进行进一步的拓展。如将多边形内角和的结论应用到立体几何中的多面体角度问题的研究中。##三、案例分析的具体内容相关1.**经济类案例**-成本函数与利润函数：理解如何建立成本与产量、利润与产量之间的函数关系。例如，成本包括固定成本（如厂房租金、设备购置等）和可变成本（如原材料、劳动力等），通过分析这些成本与产量的关系建立成本函数C(x)=C_f+C_v(x)，其中C_f为固定成本，C_v(x)为可变成本函数，x为产量。利润函数则是收入函数减去成本函数，即L(x)=R(x)-C(x)，其中R(x)为收入函数。-最优生产决策：利用数学模型来确定在什么产量下利润最大或者成本最小。这可能涉及到求函数的极值问题，如对利润函数求导，令导数为0，求出极值点，再判断是极大值还是极小值。2.**科学类案例**-物理中的运动模型：例如自由落体运动，建立高度h与时间t的关系模型h=1/2gt²，其中g为重力加速度。在案例分析中，要理解这个模型是如何通过物理定律（牛顿第二定律）和数学推导得出的，以及如何应用这个模型来解决实际问题，如计算物体下落一定高度所需的时间。-生物种群增长模型：如马尔萨斯人口增长模型P(t)=P_0e^(rt)，其中P(t)为t时刻的人口数量，P_0为初始人口数量，r为人口增长率。要分析这个模型的假设条件（如无限的资源供应等），以及与实际情况的差异，并且在案例中可能会探讨如何改进这个模型以更接近真实的生物种群增长情况。3.**工程类案例**-工程结构中的力学模型：例如在桥梁设计中，分析桥梁的受力情况，建立力学平衡方程。如果把桥梁简化为梁模型，根据梁的受力（如重力、车辆荷载等），利用静力学原理建立弯矩方程、剪力方程等，来确定梁的尺寸、材料等参数，以确保桥梁的安全性和稳定性。-电路设计中的数学模型：在电路中，根据欧姆定律（I=V/R）以