24.7 向量的线性运算（第1课时）同步练习

24.7向量的线性运算（第1课时）【夯实基础】一、单选题1．（2019·上海·九年级课时练习）如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设，，那么＝_____．（结果用向量、的式子表示）3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为_____．4．（2021·上海松江·二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________．5．（2021·上海杨浦·九年级期中）如图，将和放置在3×3的正方形网格中，A、B、C、D、P、Q均在格点上，设＝，＝，那么向量＝____（用向量、来表示）．6．（2022·上海市进才中学一模）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC，BA=a，BC=b，那么AD=_________（用向量、来表示）．7．（2022·上海·虹口实验学校九年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，设BAa，BCb，那么向量BF()．8．（2022·上海长宁·二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝_____．9．（2022·上海市进才实验中学九年级期中）如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝_____．10．（2022·上海黄浦·二模）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，，，请用向量、表示向量＝()11．（2022·上海崇明·二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设，那么可用表示为________．12．（2022·上海静安·二模）如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么_______．（用含向量的式子表示）13．（2022·上海普陀·二模）如图，已知梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为___________．三、解答题14．（2021·上海市金山初级中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，D、E在AB边上，且AD＝DE＝EB，CF＝2AF，DF＝1.2．（1）求BC的长．（2）填空：设，，则＝．15．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果，那么用的线性组合表示向量为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____．3．（2022·上海虹口·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，设，，那么向量用向量、表示为______．4．（2022·上海松江·二模）如图，已知梯形中，，，设，，那么可以用，表示为___________．5．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD//BC，BC=2AD，如果设，，那么向量用向量、表示为______．6．（2022·上海浦东新·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，如果，那么用、表示是___________．7．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知平行四边形中，是上一点，，联结交于，若向量，向量，则向量________．8．（2022·上海虹口·九年级期中）如图，已知梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，．设，，则______．（用含、的式子表示）9．（2022·上海市罗星中学模拟预测）如图，在中，中线AD、BE相交于点G，如果，那么_______（用含向量的式子表示）10．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）三、解答题11．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，已知l1l2，点A、G、B、C分别在l1和l2上，AF＝AB．(1)若＝，＝，用向量与表示；(2)在图中作出在、上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）12．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）13．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．(1)如果点E是△ABC的重心，那么＝．（用向量、的式子表示）(2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）14．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．15．（2022·上海徐汇·九年级期末）已知：如图，在梯形中，，，，对角线、相交于点E，过点A作，交对角线BD于点F．(1)求的值；(2)设，，请用向量、表示向量．16．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，．(1)设，用向量表示向量=；=(2)如果求的长．17．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在中，，是边上的一点，．（1）求线段的长；（2）如果设，那么，（含的式子表示）．

24.7向量的线性运算（第1课时）（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2019·上海·九年级课时练习）如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由△ABC中，两条中线AE、CF交于点G可知，，求出的值即可解答.【详解】∵∴∵∴故本题答案选B.【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．二、填空题2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设，，那么＝_____．（结果用向量、的式子表示）【答案】【分析】首先由向量的知识，得到和的值，即可得到的值.【详解】∵在△ABC中，点D在边AC上，且CD=2AD，∴=，又∵∴=-=-故答案为【点睛】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键.3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为_____．【答案】﹣+【分析】利用三角形法则可知：，只要求出即可解决问题．【详解】解：∵M是AB的中点，∴AM＝AB，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识．解题的关键是熟练掌握向量运算的三角形法则．4．（2021·上海松江·二模）如图，已知▱ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为__________________．【答案】【分析】利用三角形中位线的性质得到BC=FC，在ABF中，利用三角形法则求得．【详解】解：在▱ABCD中，CD∥AC．∵E是边CD的中点，∴CE是△ABF的中位线，∴BC＝CF．在四边形ABCD中，AD＝BC，＝，则＝=2．∵＝，∴＝＝+2．故答案是：+2．【点睛】本题主要考查了平面向量，平行四边形的性质，解题的关键是运用三角形法则求得答案．5．（2021·上海杨浦·九年级期中）如图，将和放置在3×3的正方形网格中，A、B、C、D、P、Q均在格点上，设＝，＝，那么向量＝____（用向量、来表示）．【答案】【分析】由题意直接根据平面向量的加减运算法则进行计算即可求出答案．【详解】解：∵.故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平行向量的加减运法则，本题属于基础题型．6．（2022·上海市进才中学一模）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC，BA=a，BC=b，那么AD=_________（用向量、来表示）．【答案】【分析】由已知求得BD与BC的数量关系，进而由向量的线性运算可得到答案．【详解】∵，

∴∵∴∴AD=故答案为：．【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．（2022·上海·虹口实验学校九年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，设BAa，BCb，那么向量BF()．【答案】##【分析】连接CF，由向量共线可得，利用三角形法则：，即可得出答案．【详解】解：连接CF，∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF=2BA，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则．8．（2022·上海长宁·二模）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，试用向量，表示向量，那么＝_____．【答案】【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【详解】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，且＝，点E是AC的中点，＝，＝，∴，∴故答案为：【点睛】此题考查了线性向量的计算，向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．9．（2022·上海市进才实验中学九年级期中）如图，已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC．DE：BC＝2：3，设，试用向量表示向量，＝_____．【答案】；【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥BC，可得△ADE∽△ACB，又由DE：BC=2：3，根据相似三角形的对应边成比例，可求得DA=CD，即可表示，继而求得答案．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DA：CA=DE：BC=2：3，∵CD=DA+CA，∴DA=CD，∵=，∴=，∴=；故答案为：．【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算是解决本题的关键．10．（2022·上海黄浦·二模）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，，，请用向量、表示向量＝()【答案】【分析】先求出，再根据求解即可．【详解】解：∵AB＝2CD，∴CD=AB，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握向量和的线性运算是解题的关键．11．（2022·上海崇明·二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD中点，联结AE交对角线BD于F，设，那么可用表示为________．【答案】【分析】由平行四边形的性质及已知可证明BF：FD=BA：ED=2：1，得BF=BC，然后根据即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，，∵点E是边CD中点，∴，，∵DE∥AB，∴BF：FD=BA：ED=2：1，，∴，故答案为：【点睛】本题考查平面向量的运算，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2022·上海静安·二模）如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么_______．（用含向量的式子表示）【答案】【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例可求出BC，根据中位线的性质即可求出EF．【详解】∵，AC、BD相交于点O，∴∴∵，∴，∴，∵点E、F分别是梯形腰AB、CD的中点，∴EF是梯形的中位线，∴，且，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形和中位线的性质，熟练掌握知识是解题关键．13．（2022·上海普陀·二模）如图，已知梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为___________．【答案】【分析】过点D作交BC于点E，根据平行四边形的判定和性质及向量的三角形法则进行求解即可．【详解】解：如图，过点D作交BC于点E，，四边形是平行四边形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，向量加法的三角形法则，掌握向量加法的三角形法则是解本题的关键．三、解答题14．（2021·上海市金山初级中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，D、E在AB边上，且AD＝DE＝EB，CF＝2AF，DF＝1.2．（1）求BC的长．（2）填空：设，，则＝．【答案】（1）3.6；（2）【分析】（1）先证明△ADF∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求出BC＝3DF，（2）根据向量的三角形法则求出答案．【详解】解：（1）∵AD＝DE＝EB，CF＝2AF，∴，又∵∴△ADF∽△ABC，∴，∴BC＝3DF，∴（2）∵，即3，∴．故填：．【点睛】本题考查了相似三角形及平面向量，主要利用了相似三角形的判定与性质，向量的三角形法则．15．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使，联结AE交DC于点F，设，．(1)用向量、表示；(2)求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【答案】(1)(2)向量、是向量分别在、方向上的分向量．【分析】（1）连接AC，证四边形ACED是平行四边形，得出DE∥AC，根据平行四边形法则求解即可；（2）过点F作FM∥AB交AB于M，根据平行四边形法则即可求得答案．(1)解：连接AC，∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥CB，AD=CB，∵，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE∥AC，；(2)解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为△ABC内一点，点D、E分别在AB、AC上，且；若，，求：用向量，表示．【答案】【分析】根据三角形法则和平行线分线段成比例来求．【详解】解：∵∴∴DE∥BC∴∵∴；【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．【能力提升】一、单选题1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的中点，CE交对角线BD于点F．如果，那么用的线性组合表示向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作AQ//EC交BD于点P，证四边形AQCE是平行四边形，再通过三角形法则进行求解即可；【详解】解：过点A作AQ//EC交BD于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//QC，又∵AQ//EC，∴四边形AQCE是平行四边形，∵E是边AD的中点，∴F为边PD的中点，同理，P是边BF的中点，∴∵∴∵∴∴故选：A．【点睛】本题主要考查向量的加减，掌握向量的运算法则是解题的关键．二、填空题2．（2022·上海·中考真题）如图所示，在口ABCD中，AC，BD交于点O，则=_____．【答案】【分析】利用向量相减平行四边形法则：向量相减时，起点相同，差向量即从后者终点指向前者终点即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，又，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，向量相减平行四边形法则，解题的关键是熟练掌握向量相减平行四边形法则．3．（2022·上海虹口·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，设，，那么向量用向量、表示为______．【答案】【分析】根据平行四边形性质可得，再用向量进行表示即可．【详解】∵平行四边形∴，，∵∴∴故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是注意向量的方向，属于中考常考题型．4．（2022·上海松江·二模）如图，已知梯形中，，，设，，那么可以用，表示为___________．【答案】【分析】根据，，，，确定，代入计算即可．【详解】∵，，，∴，∵，∴=，故答案为：．【点睛】本题考查了向量的计算，平行向量，熟练掌握向量的计算方法是解题的关键．5．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，AD//BC，BC=2AD，如果设，，那么向量用向量、表示为______．【答案】##【分析】由四边形ABCD是梯形，ADBC，BC＝2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，由求得，再由即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是梯形，ADBC，BC＝2AD，，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2022·上海浦东新·二模）如图，在中，对角线与相交于点O，如果，那么用、表示是___________．【答案】【分析】根据平行四边形法则，求解即可；【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形法则，掌握平行四边形法则是解题的关键．7．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知平行四边形中，是上一点，，联结交于，若向量，向量，则向量________．【答案】【分析】先求出，再根据△AEF∽CBF，得出与的关系即可．【详解】解：∵，，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽CBF，∴，∵，∴BC=AD=3AE，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了向量的计算，平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算法则是解答本题的关键．8．（2022·上海虹口·九年级期中）如图，已知梯形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，．设，，则______．（用含、的式子表示）【答案】【分析】根据平面向量计算即可表示．【详解】解：∵∴∠OAD＝∠OCB，∠ADO＝∠CBO∴△AOD∽△BOC∵∴＝，∴，∴，即，∵，，与同向，∴，∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．9．（2022·上海市罗星中学模拟预测）如图，在中，中线AD、BE相交于点G，如果，那么_______（用含向量的式子表示）【答案】【分析】由AD、BE分别是边BC、AC上的中线，可求得AE=EC，BD=DC，然后利用△DEG∽△∽ABG，求得结果．【详解】解：连接DE∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴AE=EC，BD=DC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∴△DEG∽△∽ABG，∴，∴AG=2DG，BG=2EG，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握相似三角形判定的应用，注意掌握数形结合思想的应用．10．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，点是的边上的点，．设，，则____．（用含有和的式子表示）【答案】【分析】由已知条件求得，根据三角形法则求得；然后在△ABD中，利用三角形法则求解即可．【详解】解：∵CD=2BD，，∴．∵，，∴．∴．故答案是：．【点睛】本题主要考查了平面向量和列代数式，解题的关键是掌握三角形法则．三、解答题11．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）如图，已知l1l2，点A、G、B、C分别在l1和l2上，AF＝AB．(1)若＝，＝，用向量与表示；(2)在图中作出在、上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）先求出，然后证明△AFG∽△BFC，得到，由AF＝AB，得到，由此即可得到答案；（2）根据分向量的作图方法求解即可．(1)解：∵＝，＝，∴，∵l1l2，∴△AFG∽△BFC，∴，∵AF＝AB，∴，∴，∴；(2)解如图所示，分别过点F作FN∥AC，过点C作CM∥AB，交FN与点P，则，分别是在、上的分向量．【点睛】本题主要考查了向量的计算和分向量的作图，相似三角形的性质与判定条件，熟知向量的相关知识是解题的关键．12．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【答案】，见解析【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【详解】如图，即为所求．【点睛】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，三角形法则，属于中考常考题型．13．（2022·上海市建平实验中学九年级期末）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设＝，＝．(1)如果点E是△ABC的重心，那么＝．（用向量、的式子表示）(2)求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由是边上的中线，得出，点E是△ABC的重心，得，即可求得；（2）利用平行四边形法则，即可求得在，方向上的分向量．(1)解：是边上的中线，，点E是△ABC的重心，，；(2)解：如图，过点作，，则、分别是在，方向上的分向量．【点睛】此题考查了平面向量的知识，重心、解题的关键是注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．(1)设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．(2)如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可；（2）由可得AF//BC、，先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．(1)解：∵，∴∵∴∴．故答案为：，(2)∵∴AF//BC、∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性