24.5 相似三角形的性质（第4课时）同步练习

24.5相似三角形的性质（第4课时）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．162．（2019·全国·九年级单元测试）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为()A．60mm B．mm C．20mm D．mm3．（2021·上海市洛川学校九年级期中）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：34．（2022·上海杨浦·九年级期末）如图，在梯形中，ADBC，过对角线交点的直线与两底分别交于点，下列结论中，错误的是（

）A． B． C． D．5．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，已知是边上的一点，如果，那么下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（2020·上海·九年级阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC＝24，点M为AB的中点，，MD与AC交于点K，则CK的长为_____．7．（2018·上海·格致中学九年级阶段练习）如图，在中，于点若，则________________．8．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．9．（2022·上海·一模）如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，△FGH的面积是4，则△ADE的面积是______．10．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么_________三、解答题11．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．(1)求证：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．12．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在△ABC中，BC＝20，BA＝10，点D是边BC上的一点，且CD＝3BD，联结AD，过点B作BE∥AD，交CA的延长线于点E．(1)求证：∠EBA＝∠C；(2)如果∠DAC＝90°，求△BAE的面积．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）已知：点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG＝FC．14．（2021·上海宝山·九年级期末）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．(1)求证：AB2＝DE•BF；(2)如果OE＝1，EF＝2，求的长．【能力提升】一、填空题1．（2022·上海长宁·二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝_____．2．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．二、解答题3．（2022·上海宝山·九年级期末）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，连结DE，求DE的长．4．（2022·上海闵行·二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．5．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）如图1，在中，点E在的延长线上，且(1)求证：；(2)如图2，D在上且，延长交于F，若，求的值．6．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知在梯形中，，对角线、交于，平分，点在底边上，连结交对角线于，．(1)求证：四边形是菱形；(2)连结，求证：．7．（2022·上海理工大学附属初级中学一模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作交ED的延长线于点F，联结AE，CF．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形：(2)．8．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）已知四边形是正方形，点是边的中点，点在边上．联结、、．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，求证：．9．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．(1)求证:ME=MF；(2)联结DF，如果AB2=EB·BD，求证:四边形DECF是正方形．10．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．11．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？12．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．(1)联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；(2)若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．13．（2021·上海市洛川学校九年级期中）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．(1)求证：DE∥BC；(2)设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．14．（2022·上海虹口·二模）如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．(1)求的长；(2)当平行四边形是矩形时，求的长；(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．15．（2022·上海宝山·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．求证：(1)；(2)FD⊥DG．16．（2020·上海民办建平远翔学校九年级阶段练习）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且，设、两点的距离为，的面积为．(1)求证：；(2)求关于的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当与相似时，求的面积．

24.5相似三角形的性质（第4课时）（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝4，EF＝3，那么CD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．16【答案】A【分析】根据相似三角形的判定和性质两次相似，然后找中间量等量代换即可求解．【详解】解：AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABE，∠CDE＝∠A，∴△ABE∽△DCE，∴，AB＝4，∴BE•CD＝4EC∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，EF＝3，∴BE•CD＝3BC＝3（BE+EC），∴4EC＝3BE+3EC，∴EC＝3BE，∴BC＝4BE，，∴CD＝12．答：CD的长为12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．2．（2019·全国·九年级单元测试）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为()A．60mm B．mm C．20mm D．mm【答案】A【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】如图，设AD交PN于点K，∵PM：PQ=3：2，∴可以假设MP=3k，PQ=2k，∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴，∴，解得k=20mm，∴PM=3k=60mm，故选A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．（2021·上海市洛川学校九年级期中）如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果AD＝1，BC＝4，那么GE：BC等于（）A．3：8 B．1：4 C．3：5 D．2：3【答案】A【分析】根据题意由AD∥BC，GE∥BC，可证得△AOD∽△COB，△OGE∽△OBC，又由AD=1，BC=4，点G是BD的中点，设OD=x，OB=4x，则BD=5x，可求得OG=1.5x，由GE：BC=OG：OB即可得到答案．【详解】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵AD=1，BC=4，∴OD：OB=AD：BC=1：4，∴设OD=x，OB=4x，则BD=5x，∵点G是BD的中点，∴BG=BD=2.5x，∴OG=OB-BG=4x-2.5x=1.5x，∵GE∥BC，∴△OGE∽△OBC，∴GE：BC=OG：OB=1.5x：4x=3：8．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解决此题的关键是设未知数将OG、OB表示出来．4．（2022·上海杨浦·九年级期末）如图，在梯形中，ADBC，过对角线交点的直线与两底分别交于点，下列结论中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据ADBC，可得△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，再利用相似三角形的性质逐项判断即可求解．【详解】解：∵ADBC，∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，△DOE∽△BOF，∴，故A正确，不符合题意；∵ADBC，∴△DOE∽△BOF，∴，∴，∴，故B错误，符合题意；∵ADBC，∴△AOD∽△COB，∴，∴，故C正确，不符合题意；∴，∴，故D正确，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．5．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，已知是边上的一点，如果，那么下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知条件：，，可判定，再根据相似三角形的性质进行判断即可．【详解】∵，，∴，∴，即．故选：B．【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，能够发现隐含条件公共角是解答此题的关键．二、填空题6．（2020·上海·九年级阶段练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC＝24，点M为AB的中点，，MD与AC交于点K，则CK的长为_____．【答案】15．【分析】延长DM交CB的延长线于N，根据平行线的性质得到∠N＝∠ADM，根据全等三角形的性质得到BN＝AD，求得＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：延长DM交CB的延长线于N，∵AD∥BC，∴∠N＝∠ADM，在△ADM与△BNM中，，∴△ADM≌△BNM（AAS），∴BN＝AD，∵，∴＝，∵CN∥AD，∴△CNK∽△ADK，∴＝＝，∴＝，∵AC＝24，∴CK＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2018·上海·格致中学九年级阶段练习）如图，在中，于点若，则________________．【答案】【分析】△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【详解】∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．∴△ACD∽△ABC，∴，∵AD=1，BD=4，∴AB=5，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形斜边上的高线把这个直角三角形分成的两个三角形与原三角形相似是解题的关键．8．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，BC边上的高是6，那么这个正方形的边长是____．【答案】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵BC边上的高是6，即设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=6-x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．9．（2022·上海·一模）如图，△ABC，△FGH中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG：GH：HC=4：6：5，△FGH的面积是4，则△ADE的面积是______．【答案】9【分析】只要证明△ADE∽△FGH，可得，由此即可解决问题．【详解】解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设BG=4k，GH=6k，HC=5k，∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，∴四边形BGFD是平行四边形，四边形EFHC是平行四边形，∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED，∴△ADE∽△FGH，∴．∵△FGH的面积是4，∴△ADE的面积是9，故答案为：9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．（2022·上海黄浦·九年级期末）如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么_________【答案】【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出则可求出答案．【详解】解：∵是边长为3的等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题11．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．(1)求证：∠APD＝∠C；(2)如果AB＝6，DC＝4，求AP的长．【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，由外角性质可得结论；（2）通过证明△APC∽△ADP，可得，即可求解．（1）证明：∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP＝∠DPC＝90°，设＝＝k，∴AP＝k•PD，BP＝k•CD，∴AB＝，PC＝，∴＝k＝＝，∴Rt△ABP∽Rt△PCD，∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，∵∠DPB＝∠C＋∠CDP＝∠APB＋∠APD，∴∠APD＝∠C；（2）解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝6，∵CD＝4，∴AD＝2，∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴，∴AP2＝2×6＝12，∴AP＝2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2021·上海闵行·九年级期中）如图，在△ABC中，BC＝20，BA＝10，点D是边BC上的一点，且CD＝3BD，联结AD，过点B作BE∥AD，交CA的延长线于点E．(1)求证：∠EBA＝∠C；(2)如果∠DAC＝90°，求△BAE的面积．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据已知条件证明，可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得证；（2）设，勾股定理求得，进而求得，由可得，，代入数值，求得，根据三角形的面积公式求解即可．(1)∵，，∴，，∵，∴，，∴在与中，∴∴∵，∴，∴(2)∵，∴，设，∵，在中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．13．（2021·上海市南汇第一中学九年级阶段练习）已知：点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG＝FC．【分析】利用平行线证明△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，利用比例式证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，DC∥AB，AD∥BC，∵FG∥BC，∴FG∥AD，∴△GFE∽△DAE，△EFC∽△EAB，∴＝，＝，∴＝，∴FG＝FC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解题关键是根据平行得出三角形相似，利用比例式证明线段相等．14．（2021·上海宝山·九年级期末）如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．(1)求证：AB2＝DE•BF；(2)如果OE＝1，EF＝2，求的长．【答案】(1)见解析(2)＝【分析】（1）根据菱形的性质，可得AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，从而得到△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，进而得到，即可求证；（2）根据△CEF∽△BAF，△ADO∽△FBO，可得＝，＝，从而得到AO＝，即可求解．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；(2)解：∵△CEF∽△BAF，△ADO∽△FBO，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO＝，∴＝＝．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【能力提升】一、填空题1．（2022·上海长宁·二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝_____．【答案】【分析】由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF∥AB，得出结论．【详解】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∴GF∥AB，△EGF∽△EAB∴，是边上的中线，故答案为．【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．也考查了相似三角形的判定与性质．2．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果＝，那么＝________________．【答案】【分析】由DE∥AB可得，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，∴，∴，又∵＝，∴＝，又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE，∴AE＝DE，∴＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．二、解答题3．（2022·上海宝山·九年级期末）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．(1)如果AB=2AC，求证：四边形ADFE是菱形；(2)如果，且BC=，连结DE，求DE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）因为BD=2AD，AE=2EC，DF//AC，所以可以得出EF//AB，四边形ADFE是平行四边形，由于AB=2AC，可以推出EF=DF，故四边形ADFE是菱形；（2）利用两边对应成比例且夹角相等证明△ADE∽△ACB，再用比例式求出DE的长．(1)证：∵BD=2AD，AE=2EC，∴，

∵DF//AC，∴，∴，∴EF//AB，

∴四边形ADFE是平行四边形．

∴EF=AD=，DF=AE=．∵AB=2AC，∴EF=，

∴EF=DF，∴四边形ADFE是菱形．(2)如图：∵BD=2AD，AE=2EC，∴AD=，AE=，∴，∵，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∴DE=．【点睛】本题考查菱形的判定，相似三角形的判定与性质，利用平行线分线段成比例的性质证明平行是解答本题的关键．4．（2022·上海闵行·二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG；（2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)证明：连接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB•EM=EC•AE，∵AB•DM=EC•AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．5．（2022·上海市杨浦民办凯慧初级中学一模）如图1，在中，点E在的延长线上，且(1)求证：；(2)如图2，D在上且，延长交于F，若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）判断出△BAE∽△CAB，即可得出结论；（2）设CD＝m，则BD＝3m，BC＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，进而得出，BE＝6m，过点E作EHBC交AF的延长线于H，再判断出△ACD∽△AEH，求出EH＝m，再判断出△BDF∽△EHF，得出，进而求出EF，即可求出答案；(1)证明：∵∠E＝∠ABC，∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴∴AB2＝AC•AE；(2)解：如图3，设CD＝m，则BD＝3CD＝3m，∴BC＝CD+BD＝4m，由（1）知，△BAE∽△CAB，∴∵，∴∴，BE＝6m，过点E作EHBC交AF的延长线于H，∴∠ACD＝∠AEH，∠ADC＝∠AHE∴△ACD∽△AEH，∴，∴∴EH＝m，∵EHBC，∴∠BDF＝∠EHF，∠DBF＝∠HEF∴△BDF∽△EHF，∴，∴∴，∵BE＝EF+BF＝EF+EF＝EF，∴EF＝，∴；【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．6．（2022·上海市青浦区教育局二模）如图，已知在梯形中，，对角线、交于，平分，点在底边上，连结交对角线于，．(1)求证：四边形是菱形；(2)连结，求证：．【分析】（1）由平行线的性质可得，然后可得，则有，由角平分线及平行线的性质可得，进而问题可求证；（2）由（1）可知，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可求证．(1)证明：∵，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；(2)证明：由（1）可知，∵DE=DE，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．（2022·上海理工大学附属初级中学一模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作交ED的延长线于点F，联结AE，CF．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形：(2)．【分析】（1）根据已知首先证明△ADF≌△EDC，再利用AF=CE，AF∥BC得出即可；（2）利用已知得出△AFG∽△BEA，进而得出比例式，再利用平行四边形的性质求出即可．(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFD=∠DEC，∵D是AC的中点，∴AD=CD，在△ADF和△EDC中，∴△ADF≌△EDC，∴AF=CE，∵AF∥BC，∴四边形AFCE是平行四边形；(2)证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，∵AF∥BC，∴∠FAB=∠ABE，∴△AFG∽△BEA，∴，∴FG•BE=AF•AE，∴FG•BE=CE•AE．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键8．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）已知四边形是正方形，点是边的中点，点在边上．联结、、．(1)如图1，如果，求证：；(2)如图2，如果，求证：．【分析】（1）设CF=x，则DF=3x，CD=4x，BE=CE=2x，勾股定理求出AE2，EF2，AF2，证得△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，利用线段比例得到，证得△ABE∽△AEF，即可得到结论；（2）过点A作AH⊥EF于H，则∠AHE=∠B=90°，证明△ABE≌△AHE（AAS），得到AH=AB，BE=HE，设BE=a，则CE=BE=a，BC=2BE=2a，AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，由此得到Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），得到DF=HF，设DF=HF=m，则CF=2a-m，在Rt△CEF中，勾股定理得到CE2+CF2=EF2，求出DF=，即可得到结论．(1)解：∵四边形是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，∵DF=3CF，∴设CF=x，则DF=3x，CD=4x，∵点是边的中点，∴BE=CE=2x，∵，，，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°=∠B，∵，，∴，∴△ABE∽△AEF，∴；(2)过点A作AH⊥EF于H，则∠AHE=∠B=90°，∵，AE=AE，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AH=AB，BE=HE，设BE=a，∵点E是BC的中点，∴CE=BE=a，BC=2BE=2a，∴AB=AD=CD=BC=2a，AH=AB=2a，∵∠AHF=∠D=90°，AF=AF，AH=AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF=HF，设DF=HF=m，则CF=2a-m，在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴a2+（2a-m）2=（a+m）2，解得m=，即DF=，∴．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握正方形的性质设未知数表示线段的长度，由此利用全等和相似进行证明是解题的关键．9．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）已知:如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．(1)求证:ME=MF；(2)联结DF，如果AB2=EB·BD，求证:四边形DECF是正方形．【分析】（1）根据菱形的性质，可得，根据已知条件以及中位线的性质可得，根据三角形的外角以及角平分线的性质可得，进而可得，即可证明（2）根据已知恒等式可证明，进而可得，则四边形是正方形，根据正方形的性质可得，由（1）可得出四边形DECF是矩形，根据邻边相等，即可证明四边形DECF是正方形．(1)四边形是菱形对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，，是的外角，是∠DCN的角平分线，又(2)AB2=EB·BD，又四边形是菱形四边形是正方形由（1）可知四边形是矩形四边形是正方形【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．10．（2021·上海市民办上宝中学九年级期中）将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AB′C′D'，连接BD．(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′MAC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．【分析】（1）如图1，设AB=1，BC=x，则，，，然后证明，得到，即解得或（舍去），则，即可得到点B是线段的黄金分割点；（2）如图2所示，连接，连接AM，先证明，然后证明，得到，则；推出，得到，即可证明，得到，即可推出，得到NA=NM，证明△ANP∽△DNA，得到，则，．（1）解：如图1，设AB=1，BC=x，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形，∴点A、B、三点共线，∴，，∴，∵点恰好在DB延长线上，∴，又∵，∴，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，∴点B是线段的黄金分割点；（2）解：如图2所示，连接，连接AM，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在△ADM和中，，∴，∴，∵，，∴，∴NA=NM，∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，∴△ANP∽△DNA，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．11．（2018·上海·九年级阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？【答案】这个正方形零件的边长为．【分析】先根正方形对边平行可得BC//EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”证得，可得；设正方形的边长为，则，然后列分式方程解答即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，∵AD⊥BC∴设正方形的边长为，则，∴

，整理得：，解得．答：这个正方形零件的边长为．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的应用，解一元一次方程等知识点，证得和灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．12．（2021·上海市蒙山中学九年级期中）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点．(1)联结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．求证：PC2＝PE•PF；(2)若AB2＝BD•DP，求证：∠BPC＝90°．【分析】（1）由正方形的性质得出DC∥AB，BC∥AD，证明△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，由相似三角形的性质得出，，则可得出结论；（2）证明△CDP∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DCP＝∠BDC，证出∠DPC＝90°，则可得出结论．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，BC∥AD，∴△DCP∽△BFP，△DEP∽△BCP，∴，，∴，，∴PC2＝PE•PF；(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠DCB＝90°，∵∴DC2＝BD•DP，∴，又∵∠CDP＝∠BDC，∴△CDP∽△BDC，∴∠DCP＝∠BDC，∴∠DCP+∠CDP＝∠CDP+∠DBC＝90°，∴∠DPC＝90°，∴∠BPC＝90°．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．13．（2021·上海市洛川学校九年级期中）如图，已知MN∥BC，A是MN上一点，AM＝AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE．(1)求证：DE∥BC；(2)设MC与BN的交点为点G，如果DE＝1，BC＝4，求的值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）由题意根据相似三角形的判定定理得到△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，进而即可得到结论；（2）由题意根据相似三角形的性质得到，求得AN=，得到MN=，推出△MGN∽△CGB，进而即可得到结论．(1)解：证明：∵MN∥BC，∴△ADM∽△BDC，△ANE∽△CBE，∴，∵AM=AN，∴，∴DE∥BC；(2)解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∵MN∥BC，∴△BDE∽△BAN，∴，∴AN=，∴MN=，∵DE∥MN，DE∥BC，∴MN∥BC，∴△MGN∽△CGB，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．14．（2022·上海虹口·二模）如图，在中，，，，平分交于点．点、分别在线段、上，且，联结，以、为邻边作平行四边形．(1)求的长；(2)当平行四边形是矩形时，求的长；(3)过点作平行于的直线，分别交、、于点、、．当时，求的长．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）由，平分，可知，利用等角对等边，