24.4 相似三角形判定（第2课时）同步练习

24.4相似三角形判定（第2课时）【夯实基础】一、选择题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（）A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD二、填空题3．在与中，，，，，，，则与是否相似？______，理由是______．4．（2021·上海九年级专题练习）如图，点D在的边上，当______时，与相似．三、解答题5.如图，点是的边上的一点，且．求证：．6．如图，已知，，与相似吗，为什么？7．如图，，，．当与、之间满足怎样的解析式时，∽？8．已知：如下图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？9．如图，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.【能力提升】1.如图，是内一点，是外一点，，， 求证：．2.已知，在中，、是的两条高，、交于点．求证：（1）；（2）．3.如图，点是的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结交 的延长线于点，联结交的延长线于点，联结．求证：．4.如图，，点、分别对应点、．求证：．5.如图，在中，，是边上的高，点在线段上，，，垂足分别为、．求证：（1）；（2）．

24.4相似三角形判定（第2课时）（解析版）【夯实基础】一、选择题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．2．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是（）A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOCC．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．【详解】解：∵四边形的对角线相交于点，∴∠AOB=∠COD，在△AOB和△COD中，∴△AOB∽△COD．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题3．在与中，，，，，，，则与是否相似？______，理由是______．【答案】

相似

两个三角形两边对应成比例且夹角相等，则这两三角形相似【分析】根据相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案.【详解】解：∵，，，，，∴∴故答案为；.相似；两个三角形两边对应成比例且夹角相等，则这两三角形相似【点睛】本题是相似三角形的判定的基础题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.4．（2021·上海九年级专题练习）如图，点D在的边上，当______时，与相似．【答案】【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要满足即可．【详解】由∠BAC=∠CAD共用，当时，∽．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形判定问题，关键是掌握相似三角形的判定定理．三、解答题5.如图，点是的边上的一点，且．求证：．【解析】证明：， ， ， ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．6．如图，已知，，与相似吗，为什么？【答案】相似，理由见解析.【分析】将进行变形，再根据相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案.【详解】相似，理由如下：∵，∴．又，∴．∴∽．【点睛】考查相似三角形的判断方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解题的关键.7．如图，，，．当与、之间满足怎样的解析式时，∽？【答案】【分析】要想证明△ACB∽△CBD，由于已知∠ACB=∠CBD=90°，所以只需要这两个角的夹边对应成比例即可，也就是，由此可得解.【详解】∵∠ACB=∠CBD=90°，∴当时，即当时，△ACB∽△CBD，∴．因此当时，△ACB∽△CBD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8．已知：如下图所示，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？【答案】∽【分析】根据正方形的性质可得∠C=∠90°，AD=AB=BC=CD，由BP=3PC可得BC=4PC，由Q是CD的中点可得DQ=CQ=CD=2PC，即可得到，从而得到结果.【详解】在正方形ABCD中，∠C=∠90°，AD=AB=BC=CD∵BP=3PC∴BC=4PC∴AD=AB=BC=DC=4PC∵Q是CD的中点∴DQ=CQ=CD=2PC∵，即∴∽.9．如图，在

△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请证明你写出的两对相似三角形.【分析】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE．【详解】（1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）①证△ABC∽△ADE，∵∠BAD=∠CAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．

②证△ABD∽△ACE，∵△ABC∽△ADE，∴．又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质．【能力提升】1.如图，是内一点，是外一点，，， 求证：．【解析】证明：，， ，． ， 即， ，．【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化．2.已知，在中，、是的两条高，、交于点．求证：（1）；（2）．【解析】证明：（1），， ，，即．（2），，． ，即，又， ，．【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形．3.如图，点是的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结交 的延长线于点，联结交的延长线于点，联结．求证：．【解析】证明：是的垂心， ． ， ， ， 即． ， ．【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换．4.如图，，点、分别对应点、．求证：．【解析】证明：， ， ， ．【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形．5.如图，在中，，是边上的高，点在