2023年中考数学一轮复习：一次函数

专题08一次函数

题趋势

了解一次函数的概念，掌握一次函数的图像和性质，能正确画出一次函数的图像，并能根据图像探

索一次函数的性质；能根据具体条件求出一次函数的解析式，运用函数的观点，分析、探索实际问题中的

数量关系和变化规律均是中考的热点，运用数形结合的数学思想方法，强化数学的建模意识，培养数学的

建模能力。

只导图

变量与常量

函数的定义

变量与函数

函数的定义域

一函数值

e函数_

解侬

解析法

二函数的三种表示及优缺点图像法

列表法

分支主题

夕正比例由数

分支主题

一次函数

分支主题

T一次函数图像与性质—一次函数

分支主题

待定系数法

k,b符号与直线y=kx+b（kwO）的关系

与一元一次方程的关系

刊一次函数与方程（组）,不等式『与二元一次方程组的关系

与一元一次不等式的关系

••I一次函数的时间与探索

在重辱考向

一、一次函数的图形与性质

正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，kWO）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。

一次函数定义：如果y=kx+b（k,b是常数，kWO）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。

注意：当b=0时，一次函数丫=1«+6变为y=kx,正比例函数是一种特殊的一次函数。

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定

系数法。

待定系数法求函数解析式的一般步骤：

1、设函数解析式2、将已知条件带入到解析式中

2、解方程（组）4、将求出的数值代入到解析式中

正比例函数图像与一次函数图像特征

总结如下：

k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。

k>0,b>0时,函数的图象经过一、二、三象限;（一次函数）

k>0,b<0时,函数的图象经过一、三、四象限;（一次函数）

k>0,b=0时,函数的图象经过一、三象限。（正比例函数）

k<0时，y随x增大而减小，必过二、四象限。

k<0,b〉0时，函数的图象经过一、二、四象限;（一次函数）

k<0,b<0时，函数的图象经过二、三、四象限;（一次函数）

k<0,b=0时，函数的图象经过二、四象限。（正比例函数）

直线y尸kx+b与y2=kx图象的位置关系：

1、当b>0时，将y?=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y「kx+b的图象.

2、当b〈0时，将y?=kx图象向x轴下方平移一b个单位，就得到了yz=kx+b的图象.

k,b符号与直线y=kx+b（kWO）的关系

正比例函数的图像：y=kx（kWO）是经过点（0,0）和（1,k）的一条直线。

一次函数的图象：y=kx+b（kWO）是经过点（0,b）和的一条直线。

1、当-/，，贝妹‘b异号,直线与x轴交与正半轴

2、当=a则b=o,直线过原点

K

3、当则k,b同号，直线与x轴交与负半轴

K

在两个一次函数表达式中：直线L：%=kix+b［与12：y2=k2x+b2的位置关系

k相同，b也相同时,两一次函数图像重合；

k相同，b不相同时,两一次函数图像平行；

k不相同，b不相同时,两一次函数图像相交；

k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0,b）o

特殊位置关系：直线L：y尸kix+瓦与I：y2=k2x+b.

两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。即：怎=左，且b产4

两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为1）。即：七•左,=一1

直线L与坐标原点构成的三角形面积为s==卜詈的

典例到顾

J____>_______I

一、单选题

1.下列函数中y一定是尤的一次函数的是（）

A.y=2x2B.y=—C.y=4x+bD.y=mx-3

x

【答案】C

【分析】利用一次函数的概念判断即可.

【解析】解：A、y=2f不是一次函数，故此选项不符合题意；

B、y=9不是一次函数，故此选项不符合题意；

c、y=4x+z）是一次函数，故此选项符合题意；

D、当加=0时，y=加式-3不是一次函数，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数的概念，依据一次函数的概念进行判断是解题的关键.

2.若点4（-2,。）在函数y=r+3的图象上，则。的值为（）

A.1B.-1C.5D.-5

【答案】C

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出”的值，此题得解.

【解析】解：•••点/（-2,。）在函数y=r+3的图象上，

.1.a=-(-2)+3=2+3=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式

是解题的关键.

3.一次函数必〃（加，”是常数）与%=〃尤+加在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【分析】根据函数图象，确定加，〃的正负，看看是否矛盾即可.

【解析】解：A、观察一次函数弘=加尤+〃的图象可得：m<Q,n>0,观察一次函数%=〃尤+加的图象可得:

n<Q,m=Q,矛盾，故本选项不符合题意；

B、观察一次函数必=机1+〃的图象可得：m>0,77<0,观察一次函数%=+的图象可得：根>0,“<0,

相符合，故本选项符合题意；

C、观察一次函数必="比+〃的图象可得：m>Q,n>0,观察一次函数%=+的图象可得：〃<0,切>0,

矛盾，故本选项不符合题意；

D、观察一次函数%=%x+〃的图象可得：m>Q,n>0,观察一次函数刈=〃尤+加的图象可得：机>°，

矛盾，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数>=丘+。（左力0）,当左>0）>0时，一次函数

图象经过第一、二、三象限；当人>0力<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当左<0）>0时，一

次函数图象经过第一、二、四象限；当后<0,6<0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键.

4.下列关于一次函数V=-2x+2的图象的说法中，错误的是（）.

A.函数图象经过第一、二、四象限B.y的值随着x值的增大而减小

C.当x>0时，j<2D.函数图象与x轴的交点坐标为（2,0）

【答案】D

【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题.

【解析】解：A,,：k=-2<0,b=2>0,

函数图象经过第一、二、四象限，说法正确，不符合题意；

D、'：k=-2.<0,

•••»的值随着x值的增大而减小，说法正确，不符合题意；

C、当x>0时，y<2,说法正确，不符合题意；

B、：y=0时，x=l,

二函数图象与x轴的交点坐标为（1,0）,说法错误，符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

5.将函数了=2x-4的图象向左平移3个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为（）.

1

A.-B.1C.2D.4

4

【答案】B

【分析】先求出该函数图象向左平移3个单位长度后的直线解析式，再求得平移后直线与坐标轴的交点坐

标，并求得所求直角三角形的两条直角边的长度，利用直角三角形的面积公式解答.

【解析】解：将函数y=2x-4的图象向左平移3个单位长度，则平移后的解析式为：y=2（x+3）-4,即

y=2x+2.

故该直线与坐标轴的交点坐标分别是（0,2）,（-1,0）.

所以平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为：1x2xl=l.

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关

键.

6.在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，若点（0,a）,（-1,6）,（—3,c）都在直线/上，

则下列判断正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】根据直线/经过一、二、三象限，则V随着X的增大而增大，根据-3<-1<0,可知c<b<a.

【解析】解：•••直线/经过一、二、三象限，

.••V随着x的增大而增大，

V-3<-l<0,

c<b<a,

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握函数了值与x值之间的变化关系式解题的关键.

7.对于一次函数了=-2尤+4,下列结论正确的有（）

①函数的图象不经过第三象限；

②函数的图象与x轴的交点坐标是（2,0）；

③函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象；

④若两点/（1，%）,8（3,%）在该函数图象上，则必<%.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据一次函数的左和6的符号结合一次函数的图象和性质，来判断是否正确.

【解析】解：由了=-2尤+4可知：k=-2<0,b=4>0,

直线经过一、二、四象限，故①正确；

当y=0时，-2x+4=0,解得x=2,

二函数的图象与x轴的交点坐标是（2,0）,故②正确；

函数的图象向下平移4个单位长度得：y=-2x+4-4=-2x,即y=-2x故③正确;

k=-2<0,

・•.y随x的增大而减小，

•,-M＞y2＞故④错误；

故选：C.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象和性质，解题的关键是根据左和6的符号来判断直线经过第几象限,

会求直线与坐标轴的交点.

8.已知一次函数＞=妙-4加，当14x43时，2＜y＜6,则的值为（）

A.2B.-2C.2或一2D.加的值不存在

【答案】B

【分析】结合一次函数的性质，对加分类讨论，当扭＞0时，一次函数夕随x增大而增大，止匕时x=l,y=2

且x=3,y=6；当加＜0时，一次函数y随X增大而减小，此时x=l,V=6且X=3,歹=2；最后利用待

定系数法求解即可.

【解析】当加＞0时，一次函数y随x增大而增大,

:.当x=l时，y=2且当无=3时，y=6,

2

把x=1,v=2代入y=mx-4m,解得〃z=_§,

x=3,y=6代入y=mx-4m,解得m=-6,

此时加的值不存在，

当加＜0时，一次函数夕随x增大而减小，

x-1,尸6且尤=3,V=2,

把x=l,y=6^Xy=mx-4m,解得机=一2,

把x=3,y=2代入y=加式一4加,解得加=一2,

•*.m=-2符合题意，

，故选：B.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键.

9.在平面直角坐标系中，直线/：y=x-l与x轴交于点4,如图所示，依次作正方形4AC。，正方形

&BCC、，…,正方形4纥C.C,T，使得点4,4，4，…，在直线/上，点G,c2,c3,在y轴正

半轴上，则点5g的坐标为（）

B.(22021,22021)

20202021

D.(2,2+1)

【答案】A

【分析】根据题意，依次得到为(2,3),鸟(4,7),8/8,15),4(16,31),…，得到与(2"-；2"-1),即可得

到答案.

【解析】解：当y=o时，有x-l=O,

解得：X=1,

.♦•点4的坐标为(1,0).

•.•四边形4瓦G。为正方形，

.♦•点A的坐标为(1,1).

同理,可得出:4(2,1),4(4,3),4(8,7),4(16,15),

.•.与(2,3),鸟(4,7),2(8,15),55(16,31),

1

/.J8；!(2--,2"-1)(〃为正整数)，

..•点与⑼的坐标为仁这。？?⑼一1).

故选：A

【点睛】此题考查了点的坐标规律，熟练掌握一次函数的性质和正方形的性质是解题的关键.

10.设。(%,必)，0(%,%)分别是函数G，。2图象上的点，当时，总有-恒成立，则

称函数。2在上是“逼近函数”，为“逼近区间”.则下列结论正确的有()

①函数>=X-5,y=3x+2在1上是“逼近函数”；

②函数y=x—i,y=—1■在0<%«1上是“逼近函数”；

③;WxWl是函数y=2x-l,y=f的“逼近区间”；

④-44x4-3是函数y=x-5,y=3x+2的“逼近区间”；

A.②③B.①④C.①③D.②④

【答案】D

【分析】根据当aWxWb时，总有-1£1恒成立，则称函数G，。2在aWxWb上是“逼近函数”，

为“逼近区间”.逐项进行分析判断即可.

【解析】解：①令弘=x-5,%=3x+2,

必_y2=x-5-6尤+2)=~2x~7,

1<x<2,

-11£y；-_y2£-9,

・・・函数y=x-5,y=3x+2在上不是“逼近函数"；故①不正确，不符合题意；

②令必=%-1,%-5，

_［薄1-11

%一%=厂1-gx--J-X-

0<X<1,

一^4%一%-0，

，函数y=x-i,y=■在04x41上是“逼近函数”，故②正确，符合题意；

2

③令弘=2x-l,y2=-x--,

JV%=2x-1-第一3x—

,?-<x<1,

3

Q

0£%-%£--

i2

§4x41不是函数y=2x-l,y=-x的“逼近区间”，故③不正确，不符合题意；

④令必=x-5,y2=3x+2,

必_y2=x-5~(3x+2)=~lx-7,

-4<x<-3,

T£%一%£1,

.•.-44》4-3是函数^=工-5,y=3x+2的“逼近区间”，故④正确，符合题意；

综上：正确的有②④.

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某

个范围内的最大、最小值.

二、填空题

11.已知>=加尤川-2,"+1+］是一次函数，则机=.

【答案】2

【分析】利用一次函数定义可得--2%+1=1,且%，0,进而可得m的值.

【解析】解：由题意得：m2-2m+\=1»且加大0,

解得:m=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的求解，一次函数的定义，系数不为0是本题的易错点.

12.已知一次函数/=(〃?+4)x+m+2的图像不经过第二象限，则用的范围.

【答案】-4<m<-2##-2>m>-4

【分析】由一次函数不经过第二象限，得到加+2＜。,求出解集即可得到答案•

【解析】解：：一次函数、=（〃，+4）X+7〃+2的图像不经过第二象限,

m+4>0

m+2<0

*,•-4＜加＜—2,

故答案为：-4＜加＜-2.

【点睛】此题考查了一次函数的性质：当左＞0,6＞0时，图象过第一、二、三象限，y随x的增大而增大;

当左＞0,6＜0时，图象过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当先＜0、6＞0时，图象过一、二、四

象限，y随x的增大而减小；当上＜0,b＜0时，图象过二、三、四象限，y随x的增大而减小.

13.若点42,-3）,5（4,3）,C（T,°）在同一条直线上，则〃的值.

【答案】-12

【分析】设出函数解析式，转化为求函数值问题计算即可.

【解析】设直线的解析式为歹=履+6,根据题意，得

2k+b=-3

4斤+6=3

解得

直线解析式为了=3x-9,

当x=-1时，

a=3x(-l)-9--12,

故答案为：-12.

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式求函数值，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

14.若点尸（。，方）在一次函数＞=3x+4的图像上，则代数式1-6a+26=.

【答案】9

【分析】将点尸坐标代入一次函数解析式可得。与6的关系，进而求解.

【解析】解：将尸（。，6）代入y=3x+4,得6=3。+4,

b—3。=4,

・・.l-6〃+26=1+2伍-3。）=1+8=9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，通过整体思想

求解.

15.若函数＞=区2一7》-7的图象与x轴有交点，则左的取值范围是.

7

【答案】kN二

4

【分析】两种情况：①当上W0时，求出A20的解集即可；②当左=0时，得到一次函数>=-7x-7,与x轴

有交点；即可得到答案.

【解析】解：①当上N0时，

•.•函数y=/2-7x-7的图象与x轴有交点,

，一元二次方程区?-7尤-7=0有实数根，

A>0,

49+28/c>0,

7

4

•・•左w0,

7

k>—且左wO,

4

②当上=0时，得到一次函数歹=-7x-7,与x轴有交点；

7

综上，k>---,

4

_,7

故答案为：k>--

4

【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能

进行分类求出每种情况的k的范围是解此题的关键.

16.函数尸幻cT的图像过点（3,-7）及点伍，兀）和优,为），则当网<工2时，乂y2（填

或“<”）

【答案】>

【分析】首先把点（3,-7）代入解析式，即可求得左的值，再根据一次函数的性质，即可解答.

【解析】解：把点（3,-7）代入解析式，得

3k—\=—7,确牟得k=—2,

该函数的解析式为：y=-2x-lf

'：k=-2<0,

•.•歹随x的增大而减小，

*/Xx<X2,

必>歹2，

故答案为：>.

【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题

的关键.

17.若一次函数图象与直线>平行，且过点（0,2）,则此一次函数的解析式是.

33

【答案】y=--x+2##y=2--x

3

【分析】设一次函数的解析式是y+b，根据两直线平行求出仁-5，把点的坐标代入函数解析式,

求出b即可.

【解析】解：设一次函数的解析式是歹=履+心

一3

•・,一次函数图象与直线y=-5%平行，

：.k=--,

2

3

即y=_/X+Z)9

•・•一次函数的图象过点(0,2),

・••代入得：2=6,

解得：6=2,

3

即y-——x+2,

3

故答案为：y=--x+2.

【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题

的关键.

3

18.在平面直角坐标系中，直线＞+6与％轴，丁轴分别交于点4,B,在％轴的负半轴上存在点尸，使

尸是等腰三角形，则点P的坐标为.

【答案】(-18,0)或

【分析】先计算N8的长，分=尸/和为底边两种情况求解即可.

【解析】因为直线y=(x+6与X轴，y轴分别交于点n,B,

所以/(-8,0),3(0,6),

所以/8=、62+82=10；

当48=PA=10时，OP=尸/+OA=8+10=18,

因为点P在x轴的负半轴上，

所以P(-18,0)；

当为底边时，作N8的垂直平分线尸。，交x轴于点尸，根据线段垂直平分线的性质，得到尸/=设

PO=t,则尸/=必=8一，根据勾股定理，得(8­)2=产+62,

解得看二7，

4

因为点尸在x轴的负半轴上,

所以［（,0

故答案为：（-18,0）或［-；01.

【点睛】本题考查了一次函数背景下的等腰三角形存在性问题，熟练掌握够勾股定理，等腰三角形的分类,

线段垂直平分线的性质是解题的关键.

19.当x=2时,不论左取任何实数，函数y=曲》-2）+3的值为3,所以直线y=以尤-2）+3一定经过定点（2,3）；

同样，直线N=（左-2）尤+4左一定经过的定点为.

【答案】（-4,8）

【分析】先将夕=（左-2）x+4左化为y=（x+4）左-2x,可得当》=-4时，不论左取何实数，函数了=（尤+4）左-2尤

的值为8,即可得到直线y=（k-2）x+4k一定经过的定点为（-4,8）,

【解析】解:根据题意，＞=（左-2）x+4才可化为了=（尤+4）左一2尤，

.•.当x=-4时，不论左取何实数，函数了=（无+4）左-2尤的值为8,

直线y=（"2）x+4k一定经过的定点为（-4,8）,

故答案为（-4,8）.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式＞6.

20.如图，一次函数?=玄+6的图象与x轴的交点坐标为（-2,0）,则下列说法：

①y随x的增大而减小；

②6＞0;

③关于x的方程依+6=0的解为x=-2；

④当》=-3时，y＞0.其中不正确的是.（请你将不正确序号填在横线上）

【答案】①④##④①

【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解.

【解析】解：由图可知：

①y随x的增大而增大，故错误；

②方＞0,故正确；

③关于X的方程fcr+6=0的解为x=-2,故正确；

④当x=-3时，了＜0,故错误；

故答案为：①④；

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形

结合是求解的关键.

21.已知，一次函数＞=（切-l）x+3-2"（/为常数，且加一）.当加变化时，下列结论正确的有

（把正确的序号填上）.①当皿=2时，图像经过一、三、四象限；②当加>0时，夕随x的增大而减小；③

点（2,1）肯定在函数图像上；④当加=§时，一次函数变为正比例函数.

【答案】①③##③①

【分析】根据一次函数的解析式，性质，图像过点的意义等计算判断填空即可.

［解析］当〃?=2时，y—（m—\^x+3—2m—x—1,

所以图像经过一、三、四象限；

所以①正确；

当m-1<0时，夕随x的增大而减小；

所以②错误；

当x=2时，y=（〃z-l）x2+3-2加=2〃7-2+3-2〃Z=1,

所以点（2,1）肯定在函数图像上;

所以③正确；

212

当加=§时，不是正比例函数，

所以④错误.

故答案为：①③.

【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，增减性，图像过点，熟练掌握图像分布，性质是解题的关键.

22.已知a,b,c分别是的三条边长，c为斜边长，NC=90。，我们把关于x的形如y=+的

CC

一次函数称为“勾股一次函数若点尸（-1，注）在“勾股一次函数''的图象上，且用△/2C的面积是2，

22

则c的值是.

【答案】6

【分析】由点P（-l,巫）在“勾股一次函数”的图象上将尸点坐标代入计算可得0,6,c之间的关系

2

a2-2ab+b2=^c2,再根据RtA43c的面积是2,可求解必=9,再结合勾股定理计算可求解.

22

【解析】解：・・•点尸（-1,也）在“勾股一次函数”的图象上，

2

・V2_ab

2cc

即6-a=c，

2

（6一4）2=J/,

二.—+/——c?

2

9

•・・RtA45c的面积是—，

2

:・_ab=一,

22

ab=9,

：.a2-lS+b2=-c2,

2

*.*a2+b2=c2,

C2-18=-C2,

2

解得c=6(舍去负值)，

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上

点的特征，求解a,b,c之间的关系式解题的关键.

三、解答题

23.如图，己知直线/：y=kx+b(3—0)过点/(-2,0),£)(-4,-1).

(1)求直线/的解析式

(2)若直线y=-x+4与x轴交于点3,且与直线/交于点C.

①求”3C的面积；

②在直线y=-x+4上是否存在点P,使“AP的面积是“3C面积的2倍，如果存在，求出点尸的坐标；如

果不存在，请说明理由.

【答案】⑴尸;x+1

(2)06；②存在,尸(4,0)或(一4,8)

【分析】(1)将N(-2,0),。(一4,-1)代入y=h+b,待定系数法求解析式即可求解；

\」x+]

(2)①根据丁=-尤+4,令y=0求得点B的坐标，联立5、求得点C的坐标，进而即可求得SJBC；

y=-x+4

②设在直线V=-x+4上存在点尸（加,-巾+4）,使的面积是“8C面积的2倍，根据题意列出一元一次

方程，解方程即可求解.

【解析】（1）解：将/（一2,0）,。（一4,一1）代入y=b+b,得，

-2k+b=0

-4左+b=-1

1

解得："2,

b=l

.♦•直线/的解析式为：y=；x+i；

（2）①..•直线y=-x+4与X轴交于点8,且与直线/交于点C,

令＞=°，解得：％=4，

.•.5(0,4),

1।

y=—x+1

2

y=-x+4

x=2

解得:

»二2

，C（2,2）,

・•・S.ABC=X卜。|=6x2=6,

②设在直线V=r+4上存在点尸（见-勿+4），使的面积是“8C面积的2倍,

解得:加=0或加=8,

..-m+4=4或-4,

...尸（4,0）或（一4,8）.

【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，求两直线围成的三角形面积，数形

结合是解题的关键.

24.已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线y=2x+2,与x轴、y轴分别交于/、3两点，且点C的

坐标为（3,2）,连结/C,与y轴交于点D

（1）求线段48的长度；

（2）求点D的坐标；

⑶联结BC,求证：ZACB=AABO.

【答案】⑴石

⑵。*）

（3）见解析

【分析】（1）分别求出A、3点坐标，再求48的长即可；（2）用待定系数法求出直线/C的解析式，直线

与V轴的交点即为。点；（3）根据8、C点的坐标特点，可判断轴，再分别求出tan//C3与

IwZABO,即可证明.

【解析】（1）如图：

令x=0,贝!]y=2,

3(0,2),

/.OB=2,

令y=0,则x=-l,

.­.A-1,0),

/.CM=1,

AB=y/5;

(2)设直线ZC的解析式为歹=丘+6,

[~k+b=0

'[3k+b=2'

k=-

解得。

令x=0,则kg,

£>(0,-)；

2

⑶证明：8(0,2),C(3,2),

，8C_Ly轴，BC=3,

Z)(0,-),

BD=-

/…BD1

tanN^/CB-----——

BC2

-：AO=1,30=2,

401

tanN^A.BO—-----——

BO2

/.ZACB=ZABO.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平面中点的坐标特点，直角

三角形三角函数值的求法是解题的关键.

25.如图，在平面直角系中，直线48：了=+2分别交x轴、〉轴于/、5两点，点C（L0）是x轴上

的一点，连接8C.

(1)求证：AABOs^BCO；

⑵求tan//8C的值；

(3)点。在y轴上，且使与△BCD相似，求点。的坐标.

【答案】(1)见解析

3

(2)tanZ.ABC=—；

41

(3)。点坐标为(0,--)或(0,-).

【分析】(1)分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可；

(2)过点C作CF/48交于9点，分别求出CF,8尸的长，即可求tan/NBC；

(3)先判断出=,再分两种情况讨论：当=时，CO〃N8,根据平行线分线段

13OC14

成比例可求。(0，—)；当/助C=NABC时，由tanNODC=—=——=——,可求。(0,—一).

2D3

【解析】(1)证明：令x=0,则V=2,

・・・5(0,2),

令V=0,则x=4,

••A(4,0),

/.AB=275,50=2,40=4,

•••点c(i，o),

/.BC=45,

.ABBOAO

•,正一而一而一‘

AABOsABCO；

(2)解：过点C作CF1/8交于尸点，

1

VsinZBAO=

・CF_1

"CA~45

VG4=3,

:・CF=：

・・.AF=*

・・.BF=—

3

・•.tan=3

BF4V|4

(3)I?：V0C=\,BO=2,

tanZOBC=—,

2

*：OA=4,

tanABAO=—,

2

：./BAC=/OBC,

当4c0=45。时，CD//AB,

当/BDC=ZA8C时,

3PC1

tanZODC=-

4OD~OD

OD=—,

3

4

・・・D(0,--)；

4i

综上所述：D点坐标为（0，-§）或（0，少.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质,

直角三角形的性质是解题的关键.

26.如图，在平面直角坐标系中，点4-3,0）、点8（0,3）,过原点的直线。尸交直线A8于点P.

k

66-

55-

44-

33-

22-

11-

11iiii11111rl

-6-54-3-2-IO,i234567x-6-5-4-3-2-1012345671

-1

-2-2-

-3-3-

-4-4-

-5-5-

（备用图）

（1）当直线。尸的解析式为y=时，求点p的坐标和4BOP的面积；

S1

（2）当登也=时，求直线OP的解析式；

^/\AOP乙

（3）当台t=〃（"为正整数）时，那么直线o尸的解析式是_____________.

3△40尸

【答案】⑴尸（-6,3）,S△…9；

⑵y=2x或y=-2x；

⑶y=」x或y=L.

nn

【分析】(1)求出直线48的解析式，与v=联立方程组，即可得出点尸的坐标；03边上的高线为：6,

03=3,即可得出△B。尸的面积；

(2)分为点尸在A4上和A4的延长线上，当点尸在48上时，作尸C_LCM于C,作尸D_LO8于。，可推出

PC=2PD,代入V=x+3求得；当点尸在A4的延长线上时，作P£_LGU于E,作尸尸_LOB于R求得

PE=2PF,进而求得结果.

(3)由沁=〃("为正整数)，得出沁分两种情况作答即可.

)△AOP、/\BOP〃

【解析】⑴解：

设直线48的解析式为：y=kx+b,

•.•点4(一3,0)、点即),3),

1-3左+6=0

[6=3

k=l

解得:

6=3

二直线48的解析式为：v=x+3,

•••直线OP的解析式为V=gx,

y=x+3

1,解得:

y=­x

2

.•.点尸的坐标为:(-6,-3),

.♦.△BOP中，03边上的高线为：6,

•.•直线的解析式为：>=尤+3,

OB=3,

••S4BOP~~x3x6=9

(2)解：分两种情况：

①设点尸(。/),

当点尸在上时，

作尸C_LCM于C,作尸Z)J_08于£),

V1

・・.△■8。尸_

.二一2'

,,1，

-xOAxPC'

2

*.•0A=OB,

.PD_1

••二一，

PC2

・•・PC=2PD,

b=-2a

又：6=a+3,

a=—\,b=2,

：.尸(-1,2),

②设点尸("/),

当点P在4B的延长线上时，

作尸于£,作尸尸_L0B于尸,

V1

・・*4B0P_2_

.一一5'

-xOBxPF

2

12

-xOAxPE2

2

OA=OB,

PF_1

PE~2

：.PE=2PF,

b=2a

又：Z）=Q+3,

:・a=3,6=6,

•.P（3,6）,

,.直线OP的解析式是：y=gx；

综上，直线0P的解析式是：

(3)•.•2^="(〃为正整数)，

分两种情况:

①如图，过P作PCJ_。/于C,

..S—OP_j_

S/\BOPn

・S—OP_1

S/\AOB〃+1

,PC1

OBn+1

•：OB=3,

3

PC=——,

〃+1

才巴y=PC=2代入y=x+3,得：y=±_3=W，

Z?+177+1n+1

直线OP的解析式是：y=--x；

n

②如图，过P作P£_L。/于E,

把y=PC==代入y=x+3,得：y==一3==

n-1n-1n-1

：.P

直线。尸的解析式是：j=-x

n;

综上，直线0P的解析式是：>>=-工工或>=’》.

nn

【点睛】本题考查了一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组的关系，解决问题的关键是熟练

掌握一次函数等基础知识.

t

0重生考向

二、一次函数与方程(组)、不等式

一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以X为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=O(kWO)

的形式.求方程kx+b=O(kWO)的解，就是求函数y=kx+b(k/O)函数值为0时，自变量x的值.

一次函数与二元一次方程组的关系：一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b

(kWO,k,b为常数)的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个

点的坐标(x,y),都是这个二元一次方程的解。

由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，

于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值

相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。

因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解

一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或

ax+b<0(aWO)的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax可函数值大于或小于0时，自变量x的取值

范围。

一、单选题

1.在直角坐标平面内，一次函数>=ax+6的图像如图所示，那么下列说法正确的是()

A.当x<0时，-2<y<0B.方程办+6=0的解是x=-2

C.当>>-2时，%>0D.不等式ox+b<0的解集是x<0

【答案】C

【分析】根据函数的图象直接进行解答即可.

【解析】解：由函数>=办+6的图象可知，

当x<0时，y<-2,A选项错误，不符合题意；

方程办+6=0的解是x=l,B选项错误，不符合题意；

当>>-2时，x>0,故C正确，符合题意；

不等式办+6<0的解集是x<l,故D错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键.

2.如图所示，一次函数了=履+从人力是常数，左w0）与正比例函数y=是常数，机片0）的图象相交于

点”（1,2）,下列判断错误的是（）

B.关于尤的不等式加x+6的解集是x>1

C.当x<0时，函数》=履+6的值比函数>=皿尤的值大

\y-mx=0[x=1

D.关于羽v的方程组,-的解是c

[y-kx=b[>=2

【答案】B

【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可.

【解析】解：.•・一次函数了=履+仪左,6是常数，左中0）与正比例函数>=加尤（%是常数，机40）的图象相交于

点W（l,2）,

，关于尤的方程加为=丘+6的解是x=l,选项A判断正确，不符合题意；

关于尤的不等式机x2辰+6的解集是xZl,选项B判断错误，符合题意；

当x<0时，函数、=辰+方的值比函数〉=加工的值大，选项C判断正确，不符合题意；

\y—mx=0[x=1

关于尤J的方程组.,八的解是、，选项D判断正确，不符合题意；

[y-kx=b（y=2

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道

方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键.

3.如图，点/的坐标为（-1,0）,直线>=x-2与x轴交于点。，与y轴交于点。，点3在直线夕=》-2上运

动.当线段最短时，求点8的坐标（）

A.!3B.(1,-1)C.!_2D.(0,-2)

3532，-2

【答案】C

【分析】当线段45最短时，AB1BC,判定出是等腰直角三角形，得出4B=CB,作。于