中考数学专项复习：位似

27.3位似

【考点1位似图形的识别】

【考点2求两个位似图形的相似比】

【考点3在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】

【考点4位似图形的点坐标】

【考点5判定位似中心】

【考点6画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】

知识点1位似图形的概念

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形

叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

【考点1位似图形的识别】

【典例1】下图所示的四种画法中，能使得△4BC与△DEF是位似图形的有（）

A.①②③④B.①③④C.①②D.③④

【答案】A

【分析】本题考查位似图形，根据"两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位

于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，"进行判断即可.

【详解】解：图①对应点的连线相交于点/,对应边DEII8C,对应边AD与4B在同一条直线上，FE与4C

在同一条直线上，是位似图形；

图②，对应边ABIDE,ACWDF,对应边EF和8c在同一条直线上，对应点的连线交于一点（2。的延长线

于BC的交点），是位似图形；

图③，对应点的连线交于点。，对应边4BIIDE,ACWDF,BCWEF,是位似图形;

图④，对应点法连线交于点。对应边4BIIDE,ACWDF,BC\\EF,是位似图形,

故选：A.

【变式1-1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（）

【答案】B

【分析】根据位似图形的定义判断即可.

【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A,B,D中的两个图形是位似

图形，C中的两个图形不是位似图形.

故选B.

【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过

同一点的两个相似多边形叫做位似图形.

【变式1-2】下列图形中，不是位似图形的是（）

【答案】D

【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.

【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；

D中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形.

故选D.

【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全

相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.

【变式1-3】下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（）

A.AvBOOc.OoD.OD

【答案】B

【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案.

【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.

据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；

而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.

故选B.

【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于掌握位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形

状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.

知识点2位似图形的性质

(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

注意：

(1)位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未

必能构成位似图形.

(2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相

似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

【考点2求两个位似图形的相似比】

【典例2】如图，△4BC与△DEF位似，点。为位似中心，已知0AAD=l:2,则=

【答案】1*

【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果.

【详解】解：

.'.OA,.OD=1:3,

••・△ZBC与△DEF位似，点。为位似中心，

.'.AC-.DF=OA-.OD=1:3；

故答案为：1:3.

【变式2-1］如图，将△以点O为位似中心放大后得到△。4",若44=240,则△。48与△。4

B'的相似比为（）

A.1:2B.1:3C.2:1D.2:3

【答案】B

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

根据位似图形的性质，即可求解.

【详解】解：•・・△02B以点。为位似中心放大后得到△04B',

△0ABOA'B',

△04B与△04B'的相似比为04:04=04（04+44'）=0A-.30A=1:3.

故选：B.

【变式2-2］如图，△ABC与△DEF是以点0为位似中心的位似图形，尸=2:3,若。C=8,贝|CF的

长为（）

A.12B.8C.6D.4

【答案】D

【分析】本题考查了位似图形的知识，掌握位似比等于相似比是解题的关键，根据AC:DF=2:3可知相似

nr9

比，根据黑可求出。尸，由此即可求解CF的值.

Ura

【详解】解：•・・△ZBC与△DEF关于点。成位似图形,

••.△ABC〜ADEF,

・•噂=g即位似比为3

UrDj

喘4且。。=8,

=30£=3X8=12)

,-.CF=OF-OC=12-8=4,

故选：D.

【变式2-3］如图，△ZBC与位似，点。为位似中心，若。FMC=1:3,则。=

【答案】1：3/|

【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶

点的连线平行或共线.△48。与4。”位似，贝！JDFIIZC,EF||BCf先证明△04C〜△。。尸,

OE-.OB=OF-.OC,进一步可求。E:08=D尸:/C=l:3,据止匕可得答案.

【详解】解：•・・△ABC与△。前位似,

：.DF||AC,EF||BC

△OACODF,OE-.OB=OF-.OC

：.OF:OC=DF-.AC

：DF-.AC=V.3

：.OE:OB=DF:AC=1:3,

故答案为：1:3

【考点3在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】

【典例3】如图，△4BC和△4/©是以点。为位似中心的位似图形，点/在线段。①上，若04:441=1:2,

则△ABC和的面积之比为（）

A.1:4B.4:1C.1:9D.9:1

【答案】C

【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比

等于相似比的平方，由此可解.

【详解】解：•••04:441=1:2,

•••。4。&=1:3,

△ABC和△4/1的的相似比为1:3,

△48C和的面积之比为仔田=1:9,

故选C.

【变式3-1］如图，在平面直角坐标系中，AOAB和△。。。是以原点。为位似中心的位似图形.若

0B=20D,△OCD的周长为3,则△04B的周长为

【答案】6

【分析】本题考查坐标与位似.根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果.

【详解】解：•••△0aB和△0CD是以原点O为位似中心的位似图形，OB=20D,

二△0AB和△0CD的相似比为：2:1,

△0AB和△0CD的周长比为：2:1,

・・•△0CD的周长为3,

.•.△04B的周长为6；

故答案为：6.

【变式3-2］如图，△48C和是以点。为位似中心的位似图形.若。C£F=2:3,则△ABC与△DEF

的面积比是.

【答案】L

【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解

题的关键.根据位似图形的概念得到△力BCs^DEF,AB||DE,证明△力。BDOE,根据相似三角

形的性质求出器，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案.

Cr

【详解】解：vOC:CF=2:3,

OC,.OF=2:5,

•・•△ABC^W△DEF是以点。为位似中心的位似图形，

:.AABCFDEF,AB||DE,

••.△AOB~AD0E,

AB_0C_2

DEOF5

2

.•.△ABC与△DEF的面积比为：（I7）=-4,

故答案为：击

【变式3-3］如图，以点。为位似中心，将△OAB放大后得到△0C。，若。4=3,AC=5,贝ij△（MB

与△OCD的面积比为（）

D

A.3:5B.3:8

【答案】C

【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对

应边平行（或共线）.

利用位似性质得到△OABOCD,然后根据相似三角形的性质求解.

【详解】解：；以点。为位似中心，将△O4B放大后得到△OCD,

.•.AOABOCD,

产、232_9

S^OCDI0C）I3+5J64*

即△0aB与△OCD的面积比为9:64.

故选：C.

【考点4位似图形的点坐标】

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，△048与△"£）的位似比是2:1,若点4（—3,2），B（—2,—2），则

点B的对应点。的坐标为（）

A.(-1-1)B.(—4,—4)

C.(一1,一1)或(1,1)D.(—4,—4)或(—1,—1)

【答案】C

【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进

行讨论.

【详解】解：••・△Q4B与△OCD的位似比是2:1,

当点。在第三象限时，D(-l-l),

当点。在第一象限时，0(1,1),

故点。的坐标为(一1,一1)或(1,1),

故选：C.

【变式3-1］如图，在平面直角坐标系中，△力BC与△DEF是以点。为位似中心的位似图形，若

0B:0E=l:2,点B的坐标是(5,4)，则点E的横坐标是()

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形

对应点坐标之间的关系是解题的关键.根据△力与以原点为位似中心，相似比是k,AABC1.

一点的坐标是(x,y),则在△DEF中，它的对应点的坐标是(kx,ky)或(-依，-ky)，进而求出点E的横坐标

即可.

【详解】解：；△ABC与△DEF是以原点。为位似中心的位似图形，

0BC0EF,

OB1

"'OE~2,

△ABC与△DEF位彳以比为1:2,

,.1点8的坐标是(5,4)，点E在第一象限，

•・•点E的坐标是(2x5,2x4)，即穴10,8)，

.••点E的横坐标是10.

故选：D.

【变式3-2］如图，△ABC中，&、B两个顶点在久轴的上方，点C的坐标是(1,0),以点C为位似中心，在

x轴的下方作△ABC的位似图形若aABC与△4B'C的位似比是1:2,设点B的横坐标是3,则

点8的对应点*的横坐标是()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】B

【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，过点B作BDlx轴于点D,B'ELx轴于点

凡根据相似三角形的性质得到秣二普;黑岩，利用相似比即可求解，

正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键.

【详解】过点B作8D1%轴于点0,BE1%轴于点E,

则BDIEM

△BCD〜△B'CE,

CDBCBD1

•‘CE-B'C~B'E~2"

•・,点C的坐标是(1,0),

.-.oc=1,

,・•点B的横坐标是3,

...CD=3-1=2,

，CE=2CD=2x2=4,

.•・。£=4-1=3,

・•・点夕的横坐标是一3,

故选：B.

【变式3-3］如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点。为位似中心的位似图形，位似比

是1:3,若点8的坐标为(3,1)，则点£的坐标是

【答案】(9,3)

【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形

对应点坐标之间的关系是解题的关键.根据△4BC与△£)£1?以原点为位似中心，相似比是k,△ABC上

一点的坐标是(x,y),则在△DEF中，它的对应点的坐标是或(-2-例/)，进而求出坐标即可.

【详解】解：•••△ABC与aOEF是以原点。为位似中心的位似图形，位似比是1:3,

•••ABWDE,

OACODF,

DE0E3

•____——_—J

''AB~OB~9

,•,点8的坐标为(3,1)，点E在第一象限，

•••点E的坐标是(9,3)，

故答案为：(9,3>

知识点3作位似图形的步骤

第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心;

第二步：作位似中心与各关键点连线；

第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

第四步：顺次连接各对应点.

注意：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

(1)

c

【考点5判定位似中心】

【典例4】如图，在正方形网格图中，△4BC与△48£'是位似图形，则位似中心是（）

A.点RB.点尸C.点。D.点。

【答案】D

【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键.

根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.

【详解】连接4A,CC,交于点0,

二点。是位似中心，

故答案为：D.

【变式4-1］如图，正方形网格图中的△ABC与△48'。位似，则位似中心是（）

A.点。B.点、EC.点尸D.点G

【答案】A

【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可.

【详解】根据题意，得位似中心为点D,

故选A.

【变式4-2】如图，点。是等边三角形PQR的中心，P'、QQR分别是OP、OQ、OR的中点，则△PQR

与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是()

1

A.2、点PB.5、点P5点。

【答案】D

【分析】根据三角形中位线定理得到PQ=#Q，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答.

【详解】•.•点。是等边三角形PQR的中心，P'、Q'、R'分别是。P、OQ、OR的中点,

各对应点的连线交于点。，FQ—PQ

位似中心是点。,

PQR与△PQR是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比,

・•.△P'Q'R'与△PQR位似比是器=1

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键.

【变式4-3］如图，在平面直角坐标系中，△力BC的顶点坐标分别为4(0,1),B(3,0)，C(2,2)>(每个方

格的边长均为1个单位长度).

⑴作aABC关于y轴的轴对称图形aZB2c2，请在平面直角坐标系中画出并填写B2，C?的

坐标.点与的坐标为(，);点。2的坐标为(，).

⑵△4道也1的顶点坐标分别为&(0,3)，BI(6,1)，G(4,5)，若△ABC与△&8传1是位似图形，则位似

中心的坐标为(，)

【答案】⑴—3；0；—2；2

(2)0；-1

【分析】本题考查作图-轴对称变换、位似变换;

(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

(2)连接441，BB],eg,相交于点M,则点M即为位似中心，即可得出答案.

【详解】(1)如图，ZiAB2c2即为所求.

点%的坐标为(一3,0),点的坐标为(-2,2).

故答案为：一3；0；-2；2.

(2)如图，作射线力通，BQCQ相交于点M,

则点”为△ABC与△4名的的位似中心，

•・•点M的坐标为(0,-1).

故答案为：0；—1.

【考点6画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】

【典例5】如图，在平面直角坐标系中，己知△4BC三个顶点的坐标分别为4(0,2),B(-2,4)，C(-l,6).

⑴画出△ABC绕点。顺时针旋转90。后得到的△&%的；

⑵在网格内以点名为位似中心，画△42%。2使它与的位似比为2：L

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】

本题考查了作图-位似变换和旋转变换.

(1)利用网格特点和旋转的旋转画出点“、B、c的对应点从而得到△a/iG；

(2)延长4B1到4使8遇2=24/1，则点①为点41的对应点，同样方法作出Q的对应点。2，从而得到

【详解】(1)解：△&B1G，如图所示,

(2)解：△4B1C2如图所示，

【变式5-1］如图，在6x8网格图中，每个小正方形边长均为1,点。和△4BC的顶点均在小正方形的

顶点.

（1）以。为位似中心，在网格图中作△4BC和△4BC位似，且位似比为1:2；

⑵连接（1）中的A4',求四边形A4CC的周长.（结果保留根号）

【答案】（1）见解析

（2）672+4

【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理，

（1）根据位似的性质作图即可.

（2）利用勾股定理求出4。和4c的长，进而可得出答案.

【详解】（1）解：如图，△4B'C'即为所求.

(2)解：•.24=2,A'C=V22+22=2V2-C'C=2,AC=742+42=^<2,

,・四边形44££的周长为2+2丘+2+4丘=6&+4.

【变式5-2］在如图所示的平面直角坐标系中，aABC的顶点都在格点上，以原点。为位似中心，将aABC

放大至IJ2倍得至（j△DEF.

AN

⑴在现有网格图中画出△DEF；

(2)记线段BC的中点为求放大后点M的对应点的坐标.

【答案】⑴见解析

(2)点M在△DEF上对应点的坐标为(4,3)

【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键.

(1)先根据位似的性质找到对应点。、E、F,然后顺次连接即可;

(2)由题意可知，先求出BC的中点坐标，再求出对应边EF的中点坐标即可.

【详解】(1)解：如图:

(2)解：由题意得，PC=PO,OC=AB,

-BC中点M的坐标为(2,1,5)，

•­•△ABC放大至I」2倍得至U△DEF,

.•.点〃在△DE尸上对应点的坐标为(4,3>

【变式5-3］如图，已知△ABC,以点。为位似中心画一个△DEF,使它和△ABC位似，且位似比为

2.

O.

【答案】作图见解析

【分析】本题主要考查了利用位似作图，可以根据位似的定义，结合图形的做法即可解答

【详解】解：连接。4延长到。，使。4=力£),连接。B延长到£,使OB=BE,连接。C延长到R使

OC=CF,△DEF如图所示:

喑达标测试

1.如

图，△AOB与△&0B1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:3,点2的坐标为(-1,2),则点名

的坐标为()

【答案】C

【分析】本题考查了位似的性质和位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于k或者-/c.根据位似变换的性质，即可解题.

【详解】解：与△&0B1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:3,点3的坐标为

(T，2)，

••・点名在第四象限，

•••点当的坐标为(1x3,-2x3)即(3,-6)，

故选：C.

-1

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(一3,6)、6(-9,-3).以原点。为位似中心，相似比为把△45。

缩小，则点/的对应点4的坐标为()

A.(-9,18)

C.(1,-2)D.(-1,2)或(1,一2)

【答案】D

【分析】本题考查位似变换，利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为左，那么位似图形对应点的

坐标的比等于左或-/c进行求解.

【详解】解：•••点4（—3,6），以原点O为位似中心，相似比为，把△AB。缩小,

・,•点4的对应点4的坐标为（一1,2）或（1,一2），

故选D.

3.如图，在平面直角坐标中，正方形ZBCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为

1

，点4,B,£在x轴上，若正方形BEFG的边长为12,则C点坐标为（）

*G

6

_

oABEx

A.(4,4)B.(5,4)U(6,4)D.(8,4)

【答案】C

【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出4。的长是解题关键.直接利

用位似图形的性质结合相似比得出4。的长，进而得出△。力DS^OBG,进而得出4。的长，即可得出答

案.

【详解】解：•••正方形4BCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为:

受号,ADWBG,

■■■BG=12,

AD=BC=4,

•・•ADWBG,

・•.△OADOBG,

.。4_i

"'OB~39

0A_1

"4+0A~3*

解得：071=2,

OB=6,

・•.c点坐标为：（6,4），

故选：C.

4.如图所示，矩形A8CD与矩形是位似图形，点2是位似中心，矩形4BCD的周长是24,BB'=4,

。。=2,则4B和力。的长分别是（）

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据矩形的性质得到4。=12-48,根据位似变换的性质得到

CDWCD'.BCWB'C,根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案.熟练掌握位似图形的

任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关

键.也考查了平行线分线段成比例定理.

【详解】解：•••矩形力BCD的周长是24,

+AD=12,

：.AD=12-AB,

・•,BB'=4,DD'=2,

.-.AB'=AB+4Mo=12-AB+2=14-AB,

•・•矩形/BCD与矩形AB'C'O是位似图形，

,,,

-CD\\CD'fBC\\BC,

AD_ACAB_AC

''AD'-AC'"AB'-AC'1

ADAB12-AB_AB

''AD'-AB，'14-AB-AB+4

解得，AB=8,

贝|］力。=12—4B=4,

故选：B.

5.如图，在直角坐标系中，矩形。ABC的顶点。在坐标原点，边。4在x轴上，。。在y轴上，如果矩形。

)

D.(一2,3)或(2,-3)

【答案】D

【分析】此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用;

1

由矩形04B'C'与矩形0aBe关于点。位似，矩形与矩形04BC的位似比为a又由点B的坐标为

(-4,6),即可求得答案.

【详解】解：矩形。4B'C'与矩形04BC关于点。位似，位似比为，

「点B的坐标为(一4,6)，

•1■点B'的坐标为：(一2,3)或(2,-3)

故选：D.

6.如图，△A8C和△DEF是以点。为位似中心的位似图形.若△ABC和△DEF的周长之比为1:3,则

OC:OF=

【答案】1：3

【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质.根据位似图形的概念得到△ABO△DEF,BC||EF,

得至U△BOO△EOF,根据相似三角形的性质得到%=荒，根据相似三角形的周长比等于相似比求出

Urr,r

.塞,即可求解.

c,rD

【详解】解：•・・△/BC和△DEF是以点。为位似中心的位似图形，

/XABCs4DEF,BC||EF,

・•.△BOC〜AEOF,

OCBC

OFEF'

•••△ABC和△DEF的周长之比为1:3,

BC_1

一而一§，

..OC'.OF=1:3,

故答案为：1:3.

7.如图，将△4。8以坐标原点。为位似中心放大，得到△OCD,已知4(1,2)、B(3,0)、。(4,0)，则点C的

坐标为.

【答案】(鸿)

【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标.注意根据题意求得其位似比是关键.

由将aAOB以坐标原点。为位似中心扩大到△OCD,8(3,0)、。(4,0)，即可求得其位似比，继而求得答

案.

【详解】解：:8(3,0)、0(4,0).

.,QB:0D=3:4,

•・•将△AOB以坐标原点。为位似中心扩大到△OCD,

・•・位似比为：3:4,

"(1,2)，

.••点c的坐标为：(K),

故答案为：(工).

8.如图，已知△ABC和△4B'C是以点C(—1,0)为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点B的对应点8,的

横坐标为a,则点B的横坐标为.

【答案】-写

【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出，=9是解题

a+1

的关键.

设B点横坐标为X,过B作轴于点M,过*作B'Nlx轴于点N,根据平行线分线段成比例定理得到

霁=荒，根据相似三角形的性质求出=1,计算即可.

a+1

【详解】设B点横坐标为％,如图，过B作轴于点M