数列中的结构不良问题-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）

、知识点梳理

一、数列中的结构不良问题

1.“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且,

在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于｛。,力“｝型数列，其中｛4｝是等差数列，｛2｝是等比数列，利用错位相减法求和;

（3）对于｛4+〃｝型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中｛%｝是公差为2（dW0）的等差数列，利用裂项相消法求和.

^anan+l,

3.常见的裂项公式：

1H1__

⑴〃（n+左）kynn+kJ'

1=1（_J______

⑵（2n-l）（2n+l）~2[2n-l~2n+lJ

]_j_rji

（3）

1-：（-«+J几+3）

（4）

G+《n+k

2〃_11

⑸（2"-l）（2,,+1-l）-2,!-l-2n+1-l'

二、题型精讲精练

【典例1】（2021.全国•统考高考真题）已知数列｛〃”｝的各项均为正数，记S,为｛%｝的前"项和，从下面

①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛%｝是等差数列：②数歹是等差数列；③出=3囚.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【详解】选①②作条件证明③：

［方法一］:待定系数法+%与S“关系式

设6'=加+。(。＞0),则s“=(an+Z?)2,

当〃=1时，4=S］=(a+b)2；

2

当〃22时，an=Sn-=(an+b)-(an-a+b^=a(2an-a+2b)；

因为｛4｝也是等差数列，所以(a+6)2=a(2a-a+26),解得6=0；

所以a*=a(2〃—1),%=a~,故%=3a=3%.

［方法二］:待定系数法

设等差数列｛4｝的公差为d,等差数列｛#；｝的公差为4，

则后=8+(〃一1)4，将S,=叫+四1Jd代入其=M-1)4,

化简得5-2+1%—万,=4"+仅存"-2d；)〃+一&)对于VMeN+恒成立.

d=2d：,

贝(I有＜24=4血4-4"；,解得&=内,＜7=24.所以2=3%.

Jq-d1-0,

选①③作条件证明②：

因为4=3%,｛%｝是等差数列，

所以公差=2%,

所以s®=叫1)~=,即=如",

因为-底="(〃+1)-百，

所以｛后｝是等差数列.

选②③作条件证明①:

［方法一］：定义法

=an+b(a>0),贝!)S”=(々〃+。)2,

当〃=1时，4=S[=(a+0)2；

2

当〃22时，an=Sn-Sn_x=(an+b)-(an-a+b^=a(2cm-a+2b)；

因为g=3%,所以依+26)=3(4+力，解得6=0或6=-争

22

当b=0时，al=a,an=a(2n-l),当时，为一4」=2a?满足等差数列的定义，此时｛%｝为等差数列；

当6=一号时，岗=an+b=an——a,5^^"=—耳＜0不合题意，舍去.

综上可知｛%｝为等差数列.

[方法二]【最优解】：求解通项公式

因为g=3%,所以,其=M+CI2=2弧，因为｛#?｝也为等差数列，所以公差4=6'-店=4,

22

所以7^7=7^"+("-1)4="M,故s“=nat,当"22时，an=s“-S._]=-(«-1)q=(2"-l)q,当"=1

时，满足上式，故｛q｝的通项公式为4=(2〃-1)%,所以a“T=(2〃-3)4,4-%=24，符合题意.

【题型训练-刷模拟】

一、解答题

1.(2023春•四川成都・高三树德中学校考开学考试)已知公差为正数的等差数列｛。"｝的前"项和为S”,6=1,

,请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①$2、尺、4成等比

数列，②〃5%0-"；=2.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

⑵若么=-----,求数列也｝的前〃项和

anan+l

2.(2023春•江苏宿迁•高三江苏省泗阳中学校考阶段练习)设S"为等差数列｛%｝的前〃项和，物,｝是正项等

比数列，且q=4=1,%=3%在①/+4=14,②。也=81,③邑=4星这三个条件中任选一个，回答下列问

题：

⑴求数列｛%,｝和也,｝的通项公式;

(2)如果%="优〃eN*),写出外〃的关系式机=/(«),并求/(D+/(2)+/(3)+…+/(2020)的直

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3.(2023・全国•高三专题练习)在①团是⑷与8的等差中项；②S2,Ss+4,S”成等差数列中任选一个,

补充在下列横线上，并解答.

在公比为2的等比数列｛劭｝中，为数列微〃｝的前w项和，若.

(1)求数列｛附｝的通项公式；

(2)若a=(〃+l)log2an,求数列\:卜勺前n项和Tn.

4.(2023秋•河南•高三安阳一中校联考阶段练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，4=1,且

7%+i+S“+|=2(〃eN*).

(1)证明：数列｛"5"｝为等差数列；

⑵选取数列⑸｝的第2"(»eN*)项构造一个新的数列也｝,求也｝的前w项和Tn.

5.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨三中校考阶段练习)在①2%-S“=l；②％=1,S0+「2S”=1；③

4>0吗=1,%+「4口用=2%，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列｛%｝

的前n项和为Sn,且满足

⑴求。“与S”；

(2)记bn=(2n-l)a”,求数列｛a｝的前〃项和Tn.

6.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S",且％=5“+%+2,_.请在①/+%=26；

②％,%,为成等比数列；③$2。=420,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若记数列｛7｝的前”项和为北，求证：1<2.

4n

7.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且S,+i=S“+a“+l,.请

在①%+%=13；②为,a3,%成等比数列；③兀=65,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解

答下面问题.

⑴求数列｛叫的通项公式；

⑵若白=an-\,求数列｛2"•,｝的前〃项和T,.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

8.(2023•全国•高三专题练习)设数列｛%｝是等比数列，其前"项和为S”.

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求｛““｝的通项公式；

@Sn=2—an；②S=2a3+1,S3=6g+1；

⑵在(1)的条件下，若超=%1，求数列也｝的前W项和7.

9.(2023•全国•高三专题练习)从①b"二尊竺凸・；②勿=(_1)"(卬出+q)；③〃=2_三个选项中，任选

\an+lan

一个填入下列空白处，并求解.已知数列｛%｝,也｝满足%>。，且4=1,an-an+l=an+lan,,求数

列｛仅｝的前“项和S’.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

10.(2023・四川遂宁•四川省遂宁市第二中学校校考一模)已知数列｛%｝的前"项和为S”,且S用=Sn+an+\,

.请在%+%=13巧4巧成等比数列；兀=65,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并

解答下面问题.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列的前“项和1,求证：q<3.

11.(2023秋•江西宜春•高三江西省宜丰中学校考期末)在①2S,：-(〃2+〃-2)S,-(〃2+〃)=O；②

al+2an-n=2Sn.③»=小，％=1,三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.注：如

果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

已知正项数列｛。,｝的前〃项和为S,,且______,

(1)求数列｛%｝的通项公式；

b-4-1

(2)设2=2。”一1,若数列｛cj满足。"二十k，求证：C1+c2+-+C„<l.

%4+1

12.(2023•全国•高三专题练习)设首项为2的数列｛%｝的前〃项和为S“，前〃项积为，，且满足

条件①：«„+1=—«„+»+1;条件②：S.=.a“；条件③：7；,+1=—

n3n

请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求证：数列［J］的前w项和加“<；.

参考公式：12+22+32+---+H2=4(〃+1)(2"+1).

6

13.(2023秋・湖北•高三湖北省云梦县第一中学校联考期末)已知数列｛见｝的前〃项和为S.，且=5“+%+1,

.请在①4+牝=2。；②出，。5,4成等比数列；③$2。=230,这三个条件中任选一个补充在

上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若a=a„-l,求数列｛2〃闻的前n项和Tn.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..

14.(2023•全国•高三专题练习)在①S“=/+2”；②4=3,a3+a5=18；③q=3,$6=48.这三个条件中

任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.

问题:已知S"为等差数列｛?｝的前"项和，若.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设b„=丁7(〃GN*),求数列也｝的前〃项和副

anT

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2

15.(2023•全国•高三专题练习)在①数列｛%｝的前〃项和=生产；②4+an+2-2。“包=。且％=1,%=3,

这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：

(1)已知数列｛%｝满足,求｛%｝的通项公式；

(2)已知正项等比数列也｝满足a=4，仇+么=8。，求数列一-4一二]的前〃项和

[log2/?„-log2&„+1J

16.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛4｝的首项为1,前〃项和为S,,且满足.

①/=2,an+2—cin=2；②2S“=("+1)%；③7此+]=(〃+2)S”.

从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：

⑴求。“；

(2)求数列—的前n项和7；.

1卯.+2J

17.(2023春•江西•高三校联考阶段练习)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，邑=5生，%=2%+L

⑴求。“与S"；

(2)在下列两个条件中选一个，求数列论,｝的前30项和.

①〃=丁9；②％=㈤•

Un+5Un+6

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(2023春・江苏盐城•高三校考阶段练习)已知数列｛%｝的前九项和为S”,％=2,S“=a”「2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵令〃=log2%.①%=，•%;②g=4，i；③％=(T)"(年)2,从上面三个条件中任选一个，求数列｛%｝的

前〃项和。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.(2023・全国・高三专题练习)已知等差数列｛%｝的前n项和为S“，若的=。，且______.在①57=«4+12,

②4+%+%=6这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答.

(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分)

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设a=an+2*,求｛2｝的前n项和T„.

20.(2023春・广东惠州•高三校考阶段练习)在①S“=1+2”；②%=7,%+/=18；③%=3,=35这三个

条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

问题：已知等差数列｛叫,5.为其前w项和，若.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵设“"T-HeN)求证：数列例｝的前“项和

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

21.(2023•全国•高三专题练习)已知数列｛风｝满足q=1,g=3,数列｛2｝为等比数列且公比夕＞。，满足

2

bn(an+1-an)=bn+2.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

■»r

)为A数，求数列匕｝的前2〃项和七.

在①邑+1=：邑，②4，2%-1,&成等差数列，③£=254这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，

并对其求解.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22.（2023春・四川•高三校联考阶段练习）在①&=23,②片-屋=5这两个条件中选一个合适的补充在下

面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.

问题：在各项均为整数的等差数列｛g｝中，的=5,公差为d,且______.

⑴求｛〃“｝的通项公式；

n

⑵若bn=and,求数列出｝的前〃项和Sn.

23.（2023・全国•高三专题练习）设等差数列｛4｝的前"项和为S"，已知$5=30,a4=8.

（1）求数列｛%｝的通项公式及S“；

⑵若，求数列低｝的前〃项和7“.

22

在①b"=2"”a,；②。=一③2=（-1）"q这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

24.（2023•全国•模拟预测）记公差为1的等差数列｛4｝的前〃项和为S",.从下面①②③三个条件

中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答.

①。3+2%+孙=28；②。15=&；③1+1,。9，a28T成等比数列.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设么=（—1）”-（2%-1>2%,求数列色｝的前〃项和B”.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

25.（2023•河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测）已知｛”“｝是首项为1的等差数列，公差d>0,｛〃｝是首项

为2的等比数列，a4=b2,as=b3.

⑴求｛%｝，也｝的通项公式；

⑵若数列｛2｝的第加项第，满足（在①②中任选一个条件），左eN*,则将其去掉，数列他,｝剩

余的各项按原顺序组成一个新的数列｛1｝,求｛1｝的前20项和邑。.

①1%粼=七②k=3%+1.

26.（2023•全国•高三专题练习）已知公差为正数的等差数列｛%｝中，%,%，%+12构成等比数列，S“是

其前几项和，满足邑=15.

（1）求数列｛«„｝的通项公式及前«项和S.；

⑵若,求数列也｝的前〃项和Tn.

在①"=2+2"",②4=不，③么=（。“-1）27这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.

n%

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

27.（2023・陕西汉中•高三西乡县第一中学校考阶段练习）已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，%=1且出,

生，%成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列｛〃,｝的前〃项和为S",在①S“=2"-1,〃eN*；②S.=26“-1,〃eN*;③S,+i=2S“+1,〃eN*；

这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若4=1,且______,求数

列｛%+6“｝的前”项和

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）

28.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝,也｝满足：«i+2^=l,啧=£“-*,2be=2半・

⑴求证：数歹!]｛。“+2包｝是等比数列；

⑵若（从下列三个条件中任选一个），求数列｛%｝的前"项和①伪=1；②4=-：;③

O

a2-2b2=1.