中考数学专项复习：勾股数模型

专题1.1勾股数模型

1.如图，在RtABOD中，分别以3D,0D,80为直径向外作三个半圆，其面积分别为每，

S2,S3,若E=40,星=18，贝!I邑=()

C.22D.24

【解答】解：•.•/0。8=90。，

BO2+DO2=DB2,

2

1BD2兀■BD

•・・S]=一•»(—y=—

1228

1OD27tOD-

2228

v_1(OB.71-OB-

3228

222

S2+S3=-(OD+BO)=-BD=S3,

88

即s2+s3=st.

•.•S]=40,$3=18,

=40-18=22,

故选；C.

2.如图①，在AA8C中，ZACB=90°,AC:BC=4:3,这个直角三角形三边上分别有一

个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，

再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形，图③是

2次操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有

正方形的面积和为（

A.225B.250C.275D.300

【解答】解：设NC=4x,则5C=3x,

由勾股定理得：AB=ylAC2+BC2=5X,

•・•A45C的周长为12,

3x+4x+5x=12,

解得：x=1,

:.AC=4,BC=3,AB=5,

第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52=25x2+50,

第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：

32+42+32+42+32+42+32+42+52=25x3+50,

第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25x10+50=300,

故选：D.

3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S4=20,邑=16,

%=12,%=6,贝IJS=()

B

A

C.48D.36

根据勾股定理的几何意义，可知:

s=sF+sG

=sA+sB^sc^sD

=20+16+12+6=54；

即S=54；

故选：A.

4.如图，以RtAABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=«,则图中阴

影部分的面积为（）

A.3B.-C.372D.375

2

【解答】解：由勾股定理得：BC°+AC?=AB。=(后=3,

贝U$阴影部分=+^AC2+＞炉=1(^C2+AC2+AB2)=3,

故选：A.

5.如图，RtAABC中，ZCAB=90°,以/C、为边分别作等边三角形ZUCE、AABF,

AACE、zUAF的面积分别为E、S2，若3c2=8。，那么5+邑=()

A.2GB.473C.6D.12

【解答】解：过点尸作ED,48,如图，

VA48厂是等边三角形，

AD=-AB,AF=AB,

2

DF=^AF2-AD2=^AB2-(^AB)2=^AB,

■：AABF的面积为S2,

-ABDF=S,,

22

整理得：AB2=—S,,

3

同理可求/。2=述$

3

VNCAB=90°,BC2=873,

AB2+AC2=BC2,

/.—S+—^=873,

3231

解得：£+邑=6.

故选：c.

6.有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，

其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果

继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中

所有正方形的面积之和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【解答】解：由题意得，正方形N的面积为1,

由勾股定理得，正方形8的面积+正方形C的面积=1,

...“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023.

故选：D.

7.如图是一棵勾股树,它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形/、2、C、。的边

长分别是4、5、3、4,则最大正方形E的面积是()

B.16C.32D.23

根据勾股定理的几何意义，可得4、8的面积和为C、。的面积和为邑,

22

4=42+52,52=3+4,

于是邑=H+其，

即可得$3=16+25+9+16=66.

故选：A.

8.如图，在四边形48c。中，NDAB=/BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四

个正方形，若E+S4=135,S3=49,贝IS?=()

S3\C

SiS2

Si

A.184B.86C.119D.81

222

【解答】解：由题意可知：H=4g2,S2^BC,S3=CD,S4=AD,

连接8D,在直角A48。和A5CD中，

BD2=AD2+AB2=CD2+BC2,

即4+$4=&+S，

因此星=135-49=86，

故选：B.

9.如图，RtAABC中，ZBAC=90°,分别以边48,CA,8C向外作正方形，正方形田

的面积为25,正方形8DEC的面积为169,则正方形NCFG的面积是（)

144C.122D.110

【解答】解：在RtAABC中,ABAC=90°,

AB1+AC2=BC1,

•/正方形ABIH的面积为25,正方形8DEC的面积为169,

AB1=25,SC2=169,

AC2=BC2-AB2=169-25=144,

正方形ACFG的面积=AC2=144,

故选：B.

10.如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积,则正方形/的面

积为（）

A.36B.64C.28D.100

【解答】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为64和36的正方形的边

长是8和6；

解图中直角三角形得/正方形的边长：A/62+82=10,所以《正方形的面积为100.

故选：D.

11.如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7,则正方形N、

B、C、D的面积之和为49.

【解答】解：如图，设正方形/,B,C,D,E,尸的边长分别为a,b,c,d,e,

f，

•.•该图形是由直角三角形和正方形构成,

.•.由勾股定理可得/+/=e2,c2+d2=f2,e2+f2=l2,

a2+b2+c2+d2=I2=49,

二.正方形/、B、C、。的面积之和为49,

故答案为：49.

12.如图，以正方形488的边/D为直径作一个半圆，点M是半圆上一个动点，分别以

线段NM、。河为边各自向外作一个正方形，其面积分别为H和邑，若正方形的面积为10,

C.等于10D.不确定

【解答】解：•・•/5为半圆的直径,

/AMD=90°,

AM-+DM2=AD2=10,

22

VSt=AM,S2=DM,

Sj+S2=10.

故选：C.

13.勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的

诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现如

下图形：在A48c中，ZACB=90°,图中以45、BC、NC为边的四边形都是正方形，并

且经测量得到三个正方形的面积分别为225、400、S,则S的值为（）

【解答】解：在zUBC中，ZACB=90°,

由勾股定理得：AC-+BC2=AB2,

225+400=5,

:.S=625.

故选：D.

14.正方形N8CD的边长为1,其面积记为岳，以CO为斜边作等腰直角三角形，以该等腰

直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为邑，…按此规律继续下去，则$2022

的值为（）

&\

S1

上1---------------------b

A.（产B.（"C.孑产D.（.严

【解答】解：在图中标上字母E,如图所示.

S1

---------------------1?

•.•正方形的边长为1,ACDE为等腰直角三角形,

DE1+CE2=CD2,DE=CE,

S2+S2=Sx.

—5)=—

观察，发现规律：S]=f=l,S2=,S3=—S2=—JS4=—S3=—f

1222324428

202212021

当n=2022时，S2022=(j)-=(1).

故选：B.

15.A48C中，ZACB=90°,则三个半圆的面积关系是()

C.S]+S2<S3D.s；+s；=s；

【解答】解：根据题意可知，三个半圆的直径分别为/C、BC、AB,

22

:.St=-^(-AC)=-AC,

228

S=-^(-BC)2=-BC2,

2228

S=-7T(-AB)2=-AB-,

3228

■：AACB=90°,

AC2+BC2=AB2,

:.S,+S,=-AC2+-BC2=-(AC2+BC2)=-AB2,

128888

St+S2=S3,

故选：B.

16.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，

其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果

继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所

有的正方形的面积和是（）

A.1B.2021C.2020D.2019

【解答】解：由题意得，正方形4的面积为1,

由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1,

“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,

故选：B.

17.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形/、8、

。的面积依次为6、10、24,则正方形C的面积为（）

【解答】解：由题意：S正方物+S正方形B=S正方形E，S正方形。一S正方形。=S正方形片‘

C

B

L/D

S正方畛+S正方形B-S正方形D-S正方形c

•.•正方形/、B、D的面积依次为6、10、24,

r.24-S正方形c=6+1°，

S正方形c=8-

故选：C.

18.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S2、邑，

则Sr工、邑之间的关系是（）

A.S；+s；=s；B.Sx+S2>S}C.S+S2Vs3D.S{+S2=S3

【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a,b,c.

222

贝US,=^-b,S2=^-a,S3=^-c.

142434

又/+/=/,

则E+邑=$3.

故选：D.

19.如图，所有的四边