广东省部分学校2025届高三年级上册8月摸底测试数学试题（含答案）

广东省部分学校2025届高三上学期8月摸底测试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1

1.已知集合A={y|y=log2%%>1},集合B={y|y=/,%>1},则AnB=()

1i

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,》D.o

2.已知等边三角形ABC的边长为1,那么就+而・通+荏・就=()

A.3|3B,-|C.-i11D.i

3.已知sina+cosa="aE(O,TT),则。。$丁+2”a

5''1—tan2a

A.—$7B.-y24C.-1D.2

4.已知m,n为异面直线，？n_L平面a,n1平面0.若直线l满足1_Lm,I1n,I<ta,l9B，则()

A.a//p,l//aB.a与0相交，且交线平行于I

C.a1p,IlaD.a与£相交，且交线垂直于2

5.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交

流，又可供多个用户建立一个“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”关系)共同交流.如果某人在平台

上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到，现有一个10人的“群”，其

中一人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关

系的情况可能有()

A.56种B.120种C.64种D.210种

6.已知函数/(久)=*3+口久2-久的图象在点a。,f(i))处的切线方程为y=4久-3,则函数f(x)的极大值为

()

626

ATB,--C,--D.1

7.已知抛物线C:y2=8%,圆F:(x—2)2+y2=4(点F为其圆心)，直线Ly=fc(x—2)(fcW0)自上而下顺

次与上述两曲线交于Mi、M2、M3、M4四点，则下列各式结果为定值的是()

A.Mal•IM2M/B.|FMi|•\FM4\C.\MtM2\­|M3M4|D.\FMr\•|MtM2|

8.已知函数/(%)的定义域为R,f(2+x)+/(-%)=0,对任意的%r血£[L+8)(%IVg)，均有f(%2)-

/(%!)>0,已知a,Wb)为关于X的方程/一2%+产一3=0的两个解，则关于t的不等式/(。)+

/(力)+/(。〉0的解集为()

A.(1,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,2)

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设力，B两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,设直线AM、BM的斜率分别为七、

k2,下列说法正确的是()

A.当k.2=-［时，点M的轨迹是椭圆的一部分

B.当自七=机寸，点M的轨迹是双曲线的一部分

C.当七-0=2时，点M的轨迹是抛物线的一部分

D.当七+k2=2时，点M的轨迹是椭圆的一部分

10.已知函数/(X)=力cos(3*+0)(2>0,3>0,\(p\<］)的图象如图所示，令g(x)=/(久)一((久)，则下列

说法正确的是()

B.函数。(久)图象的对称轴方程为x="+卦(keZ)

C.若函数h(x)=g(x)+2的两个不同零点分别为均，x2,则lx1一X2I的最小值为］

D.函数g(x)的图象上存在点P,使得在点P处的切线斜率为-2

11.定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f(Z)=Z2就是一个多项式复变函数.给定多项式复变函

数f(Z)之后，对任意一个复数Zo,通过计算公式马+1=/(Zn),n6N可以得到一列值Z0,Z］，Z2,

Zn，....如果存在一个正数M,使得|Zn|<M对任意neN都成立，则称Zo为f(z)的收敛点；否则，称Zo为

/(z)的发散点.则下列选项中是/(z)=z2的收敛点的是

A.V-2B.-iC.1—iD.———i

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知△ABC的三个内角分别为a,B,C,若sin4sinB,sinC成等差数列，则角B的取值范围是.

13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.

例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图(1)为俯视图，图

(2)为立体切面图.E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B,D,H,F对应四个三棱柱，A,C,I,G对

应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12,四个四棱锥的体积之和为4,则该正四棱台的体积

图⑵

14.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率

是(现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,则E(X)=.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知力，B,C为△4BC的三个内角，向量沆=(2—2sin4,sin4+cosA)与元=(sind-cosA,1+sinA)共

线，且同•前〉0.

(1)求角4;

(2)求函数y=2sin21+cos与^的值域.

16.(本小题12分)

如图，已知四边形A8CD和四边形48EF都是边长为1的正方形，且它们所在的平面互相垂直.M、N两点分

别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=虱0<a<

(1)当M、N分别为力C、BF的中点时，求证：MN〃平面BCE;

(2)当MN的长最小时，求平面MN4与平面MNB夹角的余弦值.

17.(本小题12分)

一般地，我们把平面内与两个定点6,尸2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于1661)的点的轨迹叫做双

曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

(1)请用上述定义证明反比例函数y=:的图象是双曲线；

(2)利用所学的知识，指出双曲线y=>0)的焦点坐标与渐近线方程；

(3)我们知道，双曲线y=g(k>0)上的任意一点到x=0与y=0的距离之积是常数，即xy=k探讨双曲

线冒—，=1缶〉0,6〉0)上的任意一点是否有类似结论，若有，写出结论并证明;若没有，则说明理由.

18.(本小题12分)

立德中学为了解全校学生体能达标的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加体能达标测

试，并且规定体能达标测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”.若高三年级“不合格”的人数不

超过总人数的5%,则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学

生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过测试后，

两组各自将测试成绩统计分析如下:甲组的平均成绩为70,标准差为4;乙组的平均成绩为80,标准差为6.(数

据的最后结果都精确到整数)

(1)求这40名学生测试成绩的平均分元和标准差s(结果保留整数)；

(2)假设高三学生的体能达标测试成绩服从正态分布N3M),用样本平均数元作为〃的估计值区用样本标准差

s作为。的估计值无利用估计值估计,高三学生体能达标测试是否“合格”；

(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中,同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采

取七局四胜制.积分规则如下:以4:0或4:1结束，获胜队员积4分，落败队员积。分似4:2或4:3结束，获胜队员

积3分，落败队员积1分.假设体育特长生小强每局比赛获胜的概率均为|,求小强在一场挑战赛中所得积分为

3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.

附:1W个数的方差S2=§£NI(Xj-x)2;

②若随机变量Z~N(402),贝I］尸(什Z<4+C)=0.6826,尸(什2<r<Z<4+2(T)=0.9544,P(〃-3CT<Z<4+3C)=0.9974.

19.(本小题12分)

对于函数f0)(x6。)，若存在正常数7,使得对任意的久CD,都有/(x+T)N/(久)成立，我们称函数f(x)

为“7同比不减函数”.

(1)求证：对任意正常数T,/")=/都不是“T同比不减函数”；

(2)若函数/(X)=kx+sinx是同比不减函数”，求k的取值范围；

(3)是否存在正常数T,使得函数/(x)=x+|x—1|-|久+1|为“T同比不减函数”，若存在，求T的取值范

围;若不存在，请说明理由.

参考答案

l.c

2.D

3.2

4.B

5.C

6.D

7£

8.A

9.ABC

10.ACD

11.BD

12.(0,刍

13.28

14.|

15.解：(1)由题设知：(2—2S£TL4)(1+sinA)—{sinA+cosA^sinA-cosA)0,

・•・2(1—sin2i4)—sin2i4+cos2>l=0,

•••sin2A=7,

4

又4为三角形内角，所以Sina=亨，

由荏•前〉o知a为锐角，

.71

•••Z=§；

(2)由(1)及题设知：B+C=y,

所以：y=2sin2?+cos(^—8)=1—cosB+cos(^—B)

=1+苧sinB—|cosB=1+sin(B—着),

又0<8〈手

1<sin(B-7)<1,

26

1

•••ye(i,2),

因此函数y=2sin2^+cos与纯勺值域为(：，2).

16.解:⑴如图,连接CE,AE,

•••M,N分别为AC、BF的中点,

N是AE中点,

MN//CE,

又MNC平面BCE,CEu平面BCE.

•••MN〃平面BCE.

（2）如图，建立空间直角坐标系,

»

y

则71(1,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),F(0,l,0),

•••CM=BN=a,(蠢,0,1—黝,N(务务0).

•••丽=@务表T），

・•.|MN|=J（令一令）2+（0—5）2+（1—森）2=V«2-/2a+1；

当£1=苧时，|MN|最小，最小值为苧；此时M,N为中点时，MN最短,

则加©,0,5,%©3,0),取MN的中点G,连接2G,BG,

则竭，;，》，

•••AM=AN,BM=BN,：.AG1MN,BG1MN,

：.乙4GB是平面MM4与平面MNB所成二面角,

设平面MAM与平面MN8的夹角为a,

,•我而―)，

\GA-GB\1

•••coscr=二，一.

\GA\-\GB\3

-1

平面MN2与平面MN8夹角的余弦值是-.

17.解：(1)证明：(1)对于y=1,有X=51注意到1]=丁1=%,

则函数y=；的反函数为其本身.

故y=:关于直线y=久对称，

同时又因y=—%与y=%垂直，

故反比例函数y=(的两条对称轴分别为y=±x,

则若其符合双曲线的定义，其焦点一定在y=》上.

而y=久与双曲线y=:的两个交点儿(—1,—1),4(L1)是双曲线的两个顶点.

则实轴长2a=2遍，两焦点坐标为6(-VI,-遮)，F2(72,72).

设点尸(久,y)在函数y=3的图象上，则y=；，即PQ,》，

(i)当久>0时，%+1>2,当且仅当x=l时取等号，

所以IPF1I-IPFzl=卜尤+0)2+C+O)2-J(x-O)2+C-6)2

=J[(%+；)+四2-J[(%+|)-72]2=(%+1)+72-(%+1)+A<2=2y/1-

(ii)当x<0时，从而x+；W-2,当且仅当久=一1时，取等号，

同理，有IPF2I-IPFi口2/1.

因此，无论点P(x,y)在第一象限或者在第三象限，

均有||PF1|-|PF211m2返(小于|F/2|).

所以函数y=5的图象是双曲线.

(2)函数y=g(k>0)的图象是以&(一，入，一，诙)，尸2(，左,，^五)为两焦点，

实轴长2a=2，诙的双曲线，两渐近线方程分别为x=0和y=0.

(3)因为％=。与y=0是双曲线y=g(k>0)的两条渐近线，有xy=k.

类似地：双曲线盘-，=l(a>0,b>0)上的任意一点到它的两条渐近线的距离之积是常数.

证明：设。(久1，月)是双曲线盘—，=l(a>0,b>0)上任意一点，

则有力2赌—a2yl=a2b2.

双曲线为一%=l(a>0,b>0)的渐近线方程为b%±ay=0.

\bxi-ay.I|bx+ay1|h2x?-a2y?|a2b2

于是点。到双曲线的两条渐近线的距离之积为(言•l1=%2=工7•结论成立•

18.解：(1)由题意可得，这40名学生测试成绩的平均分元=2(70X24+80X16)=74,

4U

故这40名学生测试成绩的平均分74,

由公式陶(Xi-x)2=：[(无]2+必2+…+x.2)_戒2],

设甲组学生的测试成绩分别为XI，X2,…,X24，

设乙组学生的测试成绩分别为尤25,X26,…，龙40，

则甲组的方差为-24X702]=42,

2222

则(XI+X2+-+X24)=24(16+70)

则乙组的方差为S22=/(X252+X262+-+X4O2)-16X802]=62,

则(X252+X262+,•,+X402)=16(36+80?),

2222

则这40名学生的方差为«*[(xj+x??+…+尤242)+(X25+X26+-"+X40)-40X74]

=々[24(16+702)+16(36+802)-40X742]=48,

所以

故这40名学生测试成绩的标准差为7；

(2)由元=74,s"7,得日的估计值0=74,◎的估计值存=7.

P(|i-2o<X<「I+2Q)=P(60<X<88)=0.9544,

1—A9S44

■.P(X<60)=P(X288)=；=0.0228,

从而高三年级1000名学生中，不合格的有1000X0.0228七23(人),

又赢〈婚5=5%,所以高三年级学生体能达标为“合格”.

(3)设小强在这轮比赛得3