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文档简介

第08讲利用洛必达法则解决导数问题

(高阶拓展、竞赛适用)

(2类核心考点精讲精练)

12.考情探究•

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容,设题稳定,难度较大,分值为15-17分

【备考策略】1能用导数解决函数问题

2能用洛必达法则解决极限等问题

【命题预测】洛必达法则只是一个求极限的工具,是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确

定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍,这里用高中生最能看懂的方式

说明,能备考使用即可.

知识讲解

洛必达法则:

法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件:

(1)limf(x)=0及limg(x)=0;

(2)在点Q的去心邻域内,/(x)与g(x)可导且/(在wo;

fr(x)f(x\fr(x\o

(3)lim^-)-4=I,那么lim^4=lim^44-/o—型

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件:

(1)=oo及limg(x)=8;(2)在点q的去心邻域内,/(%)与g(x)可导且g'(x)WO;

x->ax-

f

f'(x\f(x)f(x\00

⑶lim^4=/,那么lim^4=lim^44=/。一型

Xf"g'(x)ig(x)-ag'(x)℃

注意:

1.将上面公式中的X—8换成Xf+oo,xfFQ+,XfQ—洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理。叫产产。,o。,0c型。

000

3.在着手求极限前,首先要检查是否满足-,-,0-OO,r;8°,0°,8-8型定式,否则滥用洛必达法则会

000

出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。

4,若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。

limZ型=lim£0=lim£3,如满足条件,可继续使用洛必达法则。

一ag(x)…g(X)…g(X)

考点一、洛必达法则的直接应用

典例引领

1.(23-24高二下•北京朝阳,期中)两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在,为

此,洛必达在1696年提出洛必达法则,即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式

值的方法,如lim'二■=limex-lxInx+x-1

1-----L=HmJe=1,则lim

xf0%xf0x->l

X’1。1f+%—2

1

A.-C.1D.2

3-1

2.(2024•浙江•二模)①在微积分中,求极限有一种重要的数学工具一一洛必达法则,法则中有结论:若函

数/⑴,g(“的导函数分别为了'⑴,g'(x),且吧/a)=IQg(%)=°,则

r/(X)f'(x)

』g(x)ig(x)

②设a>0,先是大于1的正整数,若函数/(X)满足:对任意xe[0,a],均有〃x)2成立,且

吧〃x)=0,则称函数〃x)为区间[0,。]上的k阶无穷递降函数.

结合以上两个信息,回答下列问题:

⑴试判断/(切=丁-3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数;

(2)计算:lim(l+x)l(3)证明:信”]<cosx,xeL,1-7i[.

即时检测

1.Q1-22高二下•重庆万州•阶段练习)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为《型,比如:当xf0

x-i0

时,一e的极限即为《型.两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在,为此,洛必达在1696年提

x0

出洛必达法则:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如:

lim士=lim=lim—=lime*=e°-P则=--------

x->0%x->0£x->01x->0人1

2.(21-22高三上•湖北襄阳,期末)我们把分子,分母同时趋近于0的分式结构称为,型,比如:当xfO时,

血的极限即为:型,两个无穷小之比的极限可能存在,也可能不存在.早在1696年,洛必达在他的著作

X0

《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则),用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限,法则的

大意为:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.

lim皿=limW=Hm2=1,则吗产二

如:

x-»O1x->0£x->0]01—COSX

3.(2024•河北邢台•二模)在函数极限的运算过程中,洛必达法则是解决未定式,型或差型极限的一种重要

000

方法,其含义为:若函数/(X)和g(x)满足下列条件:

①I吧〃x)=0且吧g(x)=0(或吧"(x)=8,limg(x)=co).

②在点。的附近区域内两者都可导,且g'(x)/0;

③的44f(x\/'(X)

=4(A可为实数,也可为±=0),则吧.=吧丽=/

…g(%)

⑴用洛必达法则求lim上;

%-osmx

23

(2)函数/'(x)=l+x+|y+1y+…+(2力_])(M>2,

〃eN*),判断并说明的零点个数;

1-卞野,求g(x)的解析式.

⑶已知g(2x)=g(x)-cosx,g(O)=l,xe

参考公式:=,lim4f(x)=%lim/(x).

x—>a\x—>a/

考点二、利用洛必达法则解决函数综合问题

典例引领

1.(全国高考)已知巫+1〉如+8恒成立,求k的取值范围

x+1xx-1X

2.(天津高考)VxG[0,+oo),x-ln(x+1)<ax恒成立,求Q的取值范围

3.(全国高考)VxG(0,+oo),ex-1-x-ax2^0恒成立,求a的取值范围

即时性W

1.若不等式sinx>x-ox3对于恒成立,求。的取值范围.

2.已知函数〃x)=x(e"-l)-ax2.

⑴若/(X)在x=-l时有极值,求函数/⑴的解析式;

(2)当xNO时,/W>0,求。的取值范围.

3.已知函数〃x)=x2-加x-e'+l.

(1)若函数〃外在点(1,〃1))处的切线/经过点(2,4),求实数加的值;

(2)若关于x的方程/(X)卜机龙有唯一的实数解,求实数小的取值范围.

4.已知/(x)=(x+l)lnx.

(1)求/(x)的单调区间;

(2)若对任意X21,不等式-⑪]+。40恒成立,求。的取值范围.

I海.好题冲关.

能力提升」

1.(2023高三,全国•专题练习)已知函数/(尤)=靖,g(x)=bx+\,若〃x)Ng(x)对于任意xeR恒成立,

求6的取值集合.

2.(2023高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=e'-x-1,若当龙20时,恒有"(x)区加工可成立,求实数加

的取值范围.

3.(22-23高三•宁夏吴忠•阶段练习)已知函数=--(2a-l)x-alnx.

(1)当。=1时,求函数在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)若a>0且/(尤)20恒成立,求。的取值范围.

4.(23-24高二下•贵州六盘水•期中)已知函数/(x)=a尤-Inx(aeR)

(1)当4=1时,求函数/(X)的最小值;

(2)Vxe(0,+oo),/(x)>0,求。的取值范围.

5.(21-22高三上,江苏连云港•阶段练习)已知/(》)=尔-2111不,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若对任意的x>0,2-/(x)42(a-l)x恒成立,求整数。的最小值.

6.(2021•陕西汉中•模拟预测)己知函数/(x)=ax-e/eR),g(x)=(

⑴若。>0,求函数的单调区间;

(2)当xe(O,+⑹时,不等式沌(力-工恒成立,求。的取值范围.

7.(22-23高三上•北京•阶段练习)已知函数/(x)=sinx-xcosx.

⑴求曲线J=/(x)在点(兀J(兀))处的切线方程;

⑵求证:当时,/(x)<|x3;

⑶若/(X)>foe-XcosX对Xe[o,I")恒成立,求实数上的最大值.

8.(22-23高二下,北京•阶段练习)已知函数/(x)=xe\

⑴求在点(1J。))处的切线方程;

(2)求证:当尤>0时,/(x)>x2.

(3)若x>0时,/(无)-办2NO恒成立,求实数。的取值范围.

9.(22-23高三上•江西抚州•期中)已知函数/'(,=巳-",

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