高三数学上学期第十九周 空间向量及其加减 数乘和数量积运算教学设计

高三数学上学期第十九周空间向量及其加减数乘和数量积运算教学设计课题：科目：班级：课时：计划3课时教师：单位：一、教学内容《高中数学人教B版》选修3-1第九章空间向量及其加减，本节课主要内容为数乘和数量积运算。课程内容涉及数乘空间向量的概念和运算，以及空间向量的数量积定义、运算律和相关性质。

学生将学习数乘空间向量的方法，包括数乘向量的定义、数乘向量的几何意义和数乘向量的坐标表示。在此基础上，学生将掌握空间向量的加减运算，包括向量加法的定义、向量减法的定义以及向量的数乘运算。

此外，本节课还将介绍空间向量的数量积运算。学生将学习数量积的定义、数量积的坐标表示以及数量积的运算律。通过学习，学生将理解数量积的几何意义，掌握数量积的计算方法，并能够运用数量积解决相关问题。

在课程的实践环节，学生将通过例题和练习题的解答，巩固数乘和数量积运算的知识，并培养空间想象能力和数学思维能力。二、教学目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和空间想象三个方面。

首先，通过学习数乘和数量积运算，学生能够理解并掌握数乘空间向量的概念和运算方法，以及空间向量的数量积定义、运算律和相关性质。这有助于学生培养逻辑推理能力，能够运用数乘和数量积运算解决相关问题。

其次，学生能够运用数乘和数量积运算解决实际问题，例如计算空间向量的加减和数量积，以及解决几何问题中的向量问题。这有助于学生培养数学建模能力，将数学知识应用于实际问题的解决中。

最后，通过实践环节的例题和练习题解答，学生能够巩固数乘和数量积运算的知识，并培养空间想象能力。学生能够想象并理解空间向量的加减和数量积运算的几何意义，提高空间想象能力，培养数学思维能力。三、重点难点及解决办法重点：

1.数乘空间向量的概念和运算方法。

2.空间向量的数量积定义、运算律和相关性质。

难点：

1.理解数乘空间向量的几何意义和坐标表示。

2.掌握数量积的计算方法和应用。

解决办法：

1.对于数乘空间向量的概念和运算方法，可以通过具体的例子和实际问题引导学生理解和掌握。例如，可以通过图示和实际问题展示数乘空间向量的几何意义和坐标表示，让学生能够直观地理解和运用。

2.对于数量积的定义、运算律和相关性质，可以通过讲解和练习题解答来引导学生理解和掌握。可以通过讲解数量积的定义和几何意义，以及通过例题和练习题解答来展示数量积的计算方法和应用，帮助学生理解和掌握数量积的运算和应用。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《高中数学人教B版》选修3-1第九章空间向量及其加减的教材或学习资料，以便学生能够跟随教学进度进行学习和复习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。这些资源可以用来辅助讲解和展示空间向量的加减和数量积运算的概念和几何意义，帮助学生更好地理解和掌握知识。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。例如，可以准备一些小球、绳子等物品，让学生进行空间向量的加减和数量积运算的实际操作，增强学生的空间想象能力和实践能力。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。可以将教室布置成适合分组讨论和实验操作的形式，以便学生能够在课堂上进行合作学习和实践操作。

5.练习题和测试题：准备一些与教学内容相关的练习题和测试题，用于学生在课堂上进行练习和巩固知识，以及用于课堂小测验和评估学生的学习情况。

6.教学PPT或课件：制作教学PPT或课件，包含数乘和数量积运算的定义、运算律和相关性质的讲解，以及示例和练习题的展示。这些课件可以帮助学生更好地跟随教学进度，同时也可以方便地进行讲解和展示。

7.教学指导书和参考资料：准备教学指导书和参考资料，以便教师在进行教学设计和课堂讲解时有所参考和指导。五、教学流程1.导入新课（5分钟）

通过一个实际问题情境，例如描述一个物体在空间中的运动轨迹，引入空间向量的概念。提出问题，让学生思考如何表示和计算物体在空间中的位移和速度。然后引导学生回顾之前学过的二维向量知识，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲授（20分钟）

2.1数乘空间向量的概念和运算方法（6分钟）

讲解数乘空间向量的定义，引导学生理解数乘空间向量的几何意义和坐标表示。通过示例和练习题，让学生掌握数乘空间向量的运算方法。

2.2空间向量的加减运算（6分钟）

讲解空间向量的加法和减法的定义，引导学生理解加减运算的几何意义和坐标表示。通过示例和练习题，让学生掌握空间向量的加减运算方法。

2.3空间向量的数量积运算（8分钟）

讲解数量积的定义、坐标表示和运算律。通过示例和练习题，让学生理解数量积的几何意义，掌握数量积的计算方法，并能够运用数量积解决相关问题。

3.实践活动（10分钟）

3.1数乘空间向量的实际应用（3分钟）

让学生解答一个实际问题，如计算物体在空间中的位移和速度，引导学生运用数乘空间向量的知识解决实际问题。

3.2空间向量的加减运算练习（3分钟）

让学生完成一些空间向量的加减运算练习题，巩固加减运算的知识，提高空间想象能力和数学思维能力。

3.3空间向量的数量积运算应用（4分钟）

让学生完成一些空间向量的数量积运算练习题，巩固数量积运算的知识，提高空间想象能力和数学思维能力。

4.学生小组讨论（10分钟）

4.1讨论数乘空间向量的几何意义和坐标表示（3分钟）

让学生分组讨论数乘空间向量的几何意义和坐标表示，通过互相交流和解释，加深对数乘空间向量的理解。

4.2讨论空间向量的加减运算方法和技巧（3分钟）

让学生分组讨论空间向量的加减运算方法和技巧，通过互相交流和解释，提高加减运算的能力和效率。

4.3讨论数量积的计算方法和应用（4分钟）

让学生分组讨论数量积的计算方法和应用，通过互相交流和解释，加深对数量积的理解，并能够灵活运用解决相关问题。

5.总结回顾（5分钟）

总结本节课所学的数乘和数量积运算的知识，强调重点和难点。让学生回顾课堂上的学习和实践，巩固所学的知识，并提醒学生在课后进行复习和练习。

总用时：40分钟。六、知识点梳理1.数乘空间向量的概念和运算方法：

-数乘空间向量的定义：数乘空间向量是指将一个空间向量与一个实数相乘，得到的新向量。

-数乘空间向量的几何意义：数乘空间向量可以看作是原向量的伸缩或缩放。

-数乘空间向量的坐标表示：数乘空间向量的坐标表示是将原向量的每个分量与实数相乘。

2.空间向量的加减运算：

-向量加法的定义：向量加法是指将两个空间向量相加，得到的新向量。

-向量减法的定义：向量减法是指将一个空间向量与另一个空间向量的相反向量相加。

-向量的数乘运算：向量的数乘运算是指将一个空间向量与一个实数相乘，得到的新向量。

3.空间向量的数量积运算：

-数量积的定义：数量积是指两个空间向量的点积，表示为向量的坐标表示的乘积和。

-数量积的坐标表示：数量积的坐标表示是将两个向量的对应分量相乘后再相加。

-数量积的运算律：数量积满足交换律、结合律和分配律。

4.数量积的性质：

-数量积的非负性：两个空间向量的数量积总是非负的，即数量积等于0意味着两个向量垂直。

-数量积与向量长度的关系：数量积等于两个向量长度的乘积与它们夹角余弦值的乘积。

5.数量积的应用：

-计算向量的长度：通过数量积的定义和性质，可以计算空间向量的长度。

-计算向量的夹角：通过数量积的定义和性质，可以计算两个空间向量之间的夹角。

-判断向量的垂直关系：通过数量积的定义和性质，可以判断两个空间向量是否垂直。七、课后作业1.数乘空间向量的运算：

-计算数乘空间向量：若向量\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\)和实数\(k\)，求\(k\vec{a}\)的坐标表示。

-解答：\(k\vec{a}=(ka_1,ka_2,ka_3)\)

2.空间向量的加减运算：

-计算空间向量的加法：若向量\(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\)和向量\(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\)，求\(\vec{u}+\vec{v}\)的坐标表示。

-解答：\(\vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)\)

3.空间向量的数量积运算：

-计算空间向量的数量积：若向量\(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\)和向量\(\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\)，求\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)的值。

-解答：\(\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)

4.数量积的性质应用：

-判断向量的垂直关系：若向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)的数量积为零，判断向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)是否垂直。

-解答：向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)垂直，因为它们的数量积为零。

5.数量积的实际应用：

-计算空间向量的长度：若向量\(\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)\)，求向量\(\vec{u}\)的长度。

-解答：向量\(\vec{u}\)的长度\(=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\)八、内容逻辑关系①数乘空间向量的概念和运算方法：

-重点知识点：数乘空间向量的定义、几何意义、坐标表示。

-关键词：数乘、空间向量、坐标表示、运算方法。

-板书设计：

```

数乘空间向量

-定义：实数与向量相乘

-几何意义：原向量的伸缩或缩放

-坐标表示：分量乘以实数

```

②空间向量的加减运算：

-重点知识点：向量加法、向量减法的定义，几何意义，坐标表示。

-关键词：向量加法、向量减法、几何意义、坐标表示。

-板书设计：

```

空间向量的加减运算

-加法：两个向量相加

-减法：第一个向量减去第二个向量的相反向量

-几何意义：首尾相连，起点相同，方向相反

-坐标表示：分量相加或相减

```

③空间向量的数量积运算：

-重点知识点：数量积的定义、坐标表示、运算律、性质。

-关键词：数量积、坐标表示、运算律、性质。

-板书设计：

```

空间向量的数量积运算

-定义：两个向量的点积

-坐标表示：分量乘积之和

-运算律：交换律、结合律、分配律

-性质：非负性、与长度关系

```

④数量积的应用：

-重点知识点：计算向量长度、计算向量夹角、判断向量垂直。

-关键词：向量长度、向量夹角、向量垂直。

-板书设计：

```

数量积的应用

-计算长度：\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

-计算夹角：\(\cos(\theta)=\frac{a\cdotb}{|a|\cdot|b|}\)

-判断垂直：\(a\cdotb=0\Rightarrowa\perpb\)

```

⑤空间向量的坐标表示和运算：

-重点知识点：空间向量的坐标表示方法，加减运算的坐标表示。

-关键句：空间向量的坐标表示为有序数对，加减运算的坐标表示为分量相加或相减。

-板书设计：

```

空间向量的坐标表示和运算

-坐标表示：\((x,y,z)\)

-加法：\((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)

-减法：\((x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)

```课堂小结，当堂检测课堂小结：

本节课我们学习了空间向量的数乘和数量积运算。首先，我们了解了数乘空间向量的概念和运算方法，包括数乘向量的定义、几何意义和坐标表示。接着，我们学习了空间向量的加减运算，包括向量加法的定义、向量减法的定义以及向量的数乘运算。最后，我们介绍了空间向量的数量积运算，包括数量积的定义、坐标表示和运算律。

当堂检测：

1.计算数乘空间向量：若向量\(\vec{a}=(2,-1,3)\)和实数\(k=5\)，求\(5\vec{a}\)的坐标表示。

2.计算空间向量的加法：若向量\(\vec{u}=(1,2,3)\)和向量\(\vec{v}=(-1,0,1)\)，求\(\vec{u}+\vec{v}\)的坐标表示。

3.计算空间向量的数量积：若向量\(\vec{u}=(1,2,3)\)和向量\(\vec{v}=(4,-1,2)\)，求\(\vec{u}\cdot\vec{v}\)的值。

4.判断向量的垂直关系：若向量\(\vec{u}\)=\((2,4,6)\)和向量\(\vec{v}\)=\((-2,8,-12)\)，判断向量\(\vec{u}\)和向量\(\vec{v}\)是否垂直。

5.计算空间向量的长度：若向量\(\vec{u}=(2,4,6)\)，求向量\(\vec{u}\)的长度。

答案：

1.\(5\vec{a}\)的坐标表示为\(5\times(2,-1,3)=(10,-5,15)\)。

2.\(\v