人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：培优课 圆锥曲线中几个常用结论

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1培优课圆锥曲线中几个常用结论圆锥曲线中有很多简洁优美的结论，如能熟练掌握，一定能提高做题的速度和准确度.1.结论1垂径定理(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中，如图.已知直线l与椭圆相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkAB＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1.推广：如图，已知点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，kPAkPB＝－eq\f(b2,a2).(2)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，如图.已知直线l与双曲线相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkAB＝eq\f(b2,a2).(注：直线l与双曲线的渐近线相交于A，B两点，其他条件不变，结论依然成立)推广：如图，已知点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，kPAkPB＝eq\f(b2,a2).2.结论2过椭圆，双曲线或抛物线焦点的弦抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，直线l的倾斜角为α，则(1)焦半径：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，|AB|＝x1＋x2＋p；(2)焦点弦：|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，且eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值，|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.类型一垂径定理及其应用〖例1〗(1)椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的弦被点(2，2)平分，则这条弦所在的直线方程为________.(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为P(－2，1)，则直线l的斜率为________.〖答案〗(1)x＋4y－10＝0(2)eq\f(1,2)〖解析〗(1)由垂径定理，得eq\f(2,2)·k＝－eq\f(9,36)，即k＝－eq\f(1,4)，则直线方程为y＝－eq\f(1,4)(x－2)＋2，即x＋4y－10＝0.(2)由kAB·kOP＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1，得e2－1＝－eq\f(1,4)，∴kAB·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,4)，∴kAB＝eq\f(1,2).〖例2〗设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|.则该双曲线的离心率是________.〖答案〗eq\f(\r(5),2)〖解析〗设AB的中点为M(x0，y0)，则MP⊥AB.又x0－3y0＋m＝0，∴eq\f(y0,x0－m)×eq\f(1,3)＝－1，整理得eq\f(y0,x0)＝eq\f(3,4)，又由垂径定理eq\f(y0,x0)·eq\f(1,3)＝eq\f(b2,a2)，∴a2＝4b2，∴e＝eq\f(\r(5),2).类型二抛物线中的焦点弦问题〖例3〗过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝________.〖答案〗8〖解析〗法一直线l为y＝x－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.法二由过焦点M(1，0)的弦长|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，直线斜率为1，则sinα＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.〖例4〗设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C.y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D.y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)〖答案〗C〖解析〗设直线l的倾斜角为θ，当cosθ>0时，|AF|＝eq\f(p,1－cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosθ).由|AF|＝3|BF|，∴eq\f(p,1－cosθ)＝eq\f(3p,1＋cosθ)，即cosθ＝eq\f(1,2)，此时tanθ＝eq\r(3)，当cosθ<0时，|AF|＝eq\f(p,1＋cosθ)，|BF|＝eq\f(p,1－cosθ)，由|AF|＝3|BF|，∴eq\f(p,1＋cosθ)＝eq\f(3p,1－cosθ)，即cosθ＝－eq\f(1,2)，此时tanθ＝－eq\r(3)，故选C.尝试训练1.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()A.3 B.2 C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)〖答案〗A〖解析〗由抛物线的性质可知，|AF|＝eq\f(p,1－cos60°)，|BF|＝eq\f(p,1＋cos60°)，∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1＋cos60°,1－cos60°)＝3.2.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则椭圆离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)〖答案〗A〖解析〗由kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)，知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴kAB＝－eq\f(2b2,a2)＝kFP＝－eq\f(b,c)，即a2＝2bc，∴a4＝4(a2－c2)·c2，∴e＝eq\f(\r(2),2).3.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为eq\f(\r(2),2)，则eq\f(m,n)的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(2\r(3),3) C.eq\f(9\r(2),2) D.eq\f(2\r(3),27)〖答案〗A〖解析〗法一联立方程组可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1－x，,mx2＋ny2＝1，))即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(n,m＋n)，y0＝1－x0＝1－eq\f(n,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)，所以kOP＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).法二椭圆化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1与y＝－x＋1交于MN，则中点与原点的斜率为eq\f(\r(2),2)，∴－1×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(m,n)，∴eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2).4.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10〖答案〗A〖解析〗法一抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝k（x－1），))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2)，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋eq\f(4,k2)＋4＋4k2＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋k2))≥8＋8＝16，当且仅当eq\f(1,k2)＝k2，即k＝