2025中考数学专项复习解题技巧：勾股定理与面积问题、方程思想（压轴题七种模型）含答案

2025中考数学专项复习解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程

思想压轴题七种模型全攻略

解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略

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目录

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】

【考点三巧妙割补求面积】

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】

【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题（利用等边建立方程）】

【考点六几何图形中的方程思想-公边问题（利用公边建立方程）】

【考点七实际问题中的方程思想】

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

网］1（2023春•新疆阿克苏•八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,

C.6

D登

【变式训练】

〔题目〔1〕（2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在2X2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、

。都在格点上，则AC边上的高为（）

A.V5B.4^2C.D.4

252

题目囱（2023春・辽宁朝阳•八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上

的高为（）

A.12B.24C.6D.5

题目§（2022•全国.八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点4、都在格点上,

若BD是△ABC的高，则BD的长为

题目⑷（2023春・安徽合肥・八年级校考期末）如图所示,在边长为单位1的网格中，ZVIBC是格点图形，求

中AB边上的高.

题目可如图，在Rt/\ABC中，/C=90°,AC=8,在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12,$加=60.

⑴求BC的长.

（2）求斜边边上的高.

题目回（2023秋・全国•八年级专题练习）在中，/。=90°,AC=3,CB=4,CD是斜边AB上高.

⑴求△ABC的面积；

⑵求斜边AB；

（3）求高CD.

【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】

的11已知在Rt/\ABC中，/C=90°,Z.A,/B,/C所对的边分别为a,b,c,若a+b=10cm,c=8cm，则

出△ABC的面积为（）

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【变式训练】

版目工］在△ABC中，AO是B。边上的高，AD=4,AB=4g,AC=5,则△AB。的面积为（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

题目习直角△48。三边长分别是，，c+1和5,贝UZVIBC的面积为.

【类型三巧妙割补求面积】

题］（2023春.河南许昌•八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，已知=90°,AACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

（1）求证：△ACD是直角三角形；

（2）求四边形ABCD的面积.

【变式训练】

题目Q（2023春•内蒙古呼伦贝尔•八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3

米，AB=13米，BC=12米，乙4。。=90°,求这块地的面积.

题目②（2023春•安徽马鞍山•八年级校考期末）已知a,6,c是△48。的三边，且a=273,b=376,c=

V66.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

⑵求△4BC的面积.

W1区（2023春・山东荷泽•八年级校考阶段练习）四边形草地48co中，已知AB=3m,BC=4m,8=

12m,DA=13m，且/ABC为直角.

⑴求这个四边形草地的面积；

（2）如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元,清理完这块草地杂草需要多少钱?

题目回（2022春・重庆蒙江•八年级校考阶段练习）计算:如图，每个小正方形的边长都为1.

A

（1）求线段CD与的长;

（2）求四边形ABCD的面积;

⑶求证：/BCD=90°.

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

血］1（2023秋・重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形，若正方形的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形E的面积是（）

【变式训练】

题目①（2023•广西柳州•校考一模）如图，/BDE=90°,正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289

和225,则以为直径的半圆的面积是（）

题目0（2023春•全国•八年级专题练习）如图，以AtZVLBC的三边向外作正方形，其面积分别为$,$2,$3且

&=4,$2=8,则S3=；的三边向外作等边三角形,其面积分别为$,$2,$3,则三

者之间的关系为.

题目区（2023春•八年级课时练习）已知:在放△ABC中，90°,所对的边分别记作a、6、

c.如图1,分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形,其正方形的面积由小到大分别记作&、$2、$3，则

有&+$2=$3，

•M

⑴如图2,分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分Si、52、S3,请问S1+S2与

S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示,其面积由小到大分别记作SI、S2Sa,根据（2）

中的探索，直接回答S1+S2与53有怎样的数量关系；

⑶若①ZVIB。中，4。=6,3。=8,求出图4中阴影部分的面积.

题目⑷（2023春・江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,

西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载,我国汉

代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

图5图6图7

（1）①如图2,3,4,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为

8,S2,S3,利用勾股定理,判断这3个图形中面积关系满足Sx+S2=S3的有______个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图吊瓦部分）的面积分别为

8,S2,直角三角形面积为S3,也满足Si+S?=S3吗？若满足，请证明;若不满足,请求出&,S2,S3的数量关

系.

（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形”的

边长为定值nz,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,则a2+62+c2+d2=.

【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题（利用等边建立方程）】

题工（2023春•河南许昌•八年级统考期中）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△AB。

按如图所示的方式折叠，使点人与点B重合，则CE的长是（）

C

15

-4

【变式训练】

题目工（2023春・湖北咸宁•八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，90°,47=4,3。=

3,将斜边AB翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处,折痕为AD,则BD的长为（）

B.1.5

题目区（2023春・山东荷泽•八年级统考期中）如图，RtZXABC中，48=90°,AB=4,BC=6,将△ABC折

叠，使点。与AB的中点。重合，折痕交力。于点河，交BC于点N,则线段CN的长为.

题目区（2023•辽宁葫芦岛•统考二模）如图，在RtZVLBC中，90°,/4=30°,BC=2,点。是力。的中

点，点E是斜边上一动点，沿。E所在直线把翻折到△4'DE的位置，A。交AB于点F.若

为直角三角形，则AE的长为.

二

CDA

题目0（2022秋・河北张家口•八年级统考期中）在4ABC中，90°,点D、E分别在AC.AB边上（不与

端点重合）.将沿OE折叠，点4落在A的位置.

D

CCB

（1）如图①，当4与点B重合且BC=3,AB=5.

①直接写出力。的长；

②求△BCD的面积.

（2）当=37°.

①月与点E在直线力。的异侧时.如图②，直接写出AAEB-AADC的大小；

②A'与点E在直线AC的同侧时，且△4DE的一边与平行,直接写出NADE的度数.

【类型六几何图形中的方程思想-公边问题（利用公边建立方程）】

曲］如图，在△ABC中，AB=10,BO=9,AC=17,则BO边上的高为.

【变式训练】

题目工已知:如图，在△ABC中，/。=90°,AD是A4BC的角平分线，CD=3,8。=5,则AC=

CD

题目区如图，在Rt/XABC和Rt^ADE中，=/。=90°,AC=AE,BC=OE,延长BC,DE交于点、M.

A

⑴求证:点A在/河的平分线上;

⑵若AC〃DM,AB=12,BA/=18,求BC的长.

【类型七实际问题中的方程思想】

网］1（2022.全国.八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江

月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为:如图,秋千绳

索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）.将它往前推进

两步（EB，于点E,且EB=10尺）,踏板升高到点B位置,此时踏板离地五尺（B。=CE=5尺），则

秋千绳索（OA或OB）长尺.

【变式训练】

［题目—（2022•全国•八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离

为2寸，点。和点。距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（）

A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

题目可（2022.河南.金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下:今有门,不知

其高宽;有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4尺;竖放，竿比门高短2尺;斜放，门对角线长恰好是竿长

的2倍.问门高、门宽各为多少？

题目可（2022•重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄。，河边原有两个取水

点4其中AB=AC,由于某种原由。到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一

个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH,测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，=0.9千

米.

（1）问S是否为从村庄。到河边的最近路？请通过计算加以说明.

（2）求原来的路线AC的长.

题目©（2022.浙江•浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示

意图,此时点A、B、C在同一直线上，且AACD=90°,图2是小床支撑脚CD折叠的示意图,在折叠过程

中，ZVICD变形为四边形最后折叠形成一条线段BD".某家装厂设计的折叠床是48=4cm,

BC=8cm,

⑴此时CD为cm；

（2）折叠时,当4B，BC时，四边形ABCD'的面积为cm2.

图1图2

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目录

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】

【考点三巧妙割补求面积】

【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】

【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题（利用等边建立方程）】

【考点六几何图形中的方程思想-公边问题（利用公边建立方程）】

【考点七实际问题中的方程思想】

【典型例题】

【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】

网（2023春•新疆阿克苏•八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm和12cm,

则斜边上的高为多少（）

【答案】。

【分析】设斜边上的高为hem，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出力的值，可得答案.

【详解】•.•直南三角形的两条直角边分别为5cm,12cm,

斜边长为V122+52=13cm,

二直角三角形的面积为yX12X5=yX13-/Z,

解得：/i=M（cm）,

J-O

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的

面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键.

【变式训练】

题目①（2023春•内蒙古鄂尔多斯•八年级统考期末）如图，在2x2的方格中，小正方形的边长是1,点A、B、

。都在格点上，则AC边上的高为（）

A.V5B.鼻鼻C.3浮D.得

【答案】。

【分析】根据图形，可以求出△48。的面积，然后即可求出AC边上的高.

【详解】解：AABC的面积：2x2-yxlx2-yxlxl-^xlx2=1-,

AC=V22+12=V5,

设AC边上的高为立，由题意得：

1/F3

1vXA/5•c=1,

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积、三角形面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解

答.

题目团（2023春•辽宁朝阳•八年级校考期中）如果一个等腰三角形的腰长为13,底边长为24,那么它底边上

的高为（）

A.12B.24C.6D.5

【答案】。

【分析】根据题意画出图形，如图，根据等腰三角形的性质求出BD,再用勾股定理求解即可.

【详解】解:如图所示

根据题意得，AB=AC=13,BC=24,AD±BC.

:.BD=fBC=12,

在Rt/\ADB中，根据勾股定理得，Alf+BD2=AB2,

AD=y/ABi-BEP=V132-122=5,

即：底边上的高为5,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出图形、熟练掌握等腰三角形的性质是关键.

题目区（2022.全国.八年级课时练习）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1.点C都在格点上,

若BD是△ABC的高，则BD的长为

A

【解析】

【分析】

根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：由勾股定理得：AC=V22+42=2V5,

SAABC=3x4-yxlx2-yx3x2-yx2x4=4,

^AC-BD=^,

~~x—4,

5

故答案为：莘

【点睛】

本题考查了勾股定理,三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

题目0（2023春・安徽合肥・八年级校考期末）如图所示,在边长为单位1的网格中，ZVIBC是格点图形,求

△ABC中AB边上的高.

【答案】A4BO中AB边上的高为§

5

【分析】如图所述，过点A作的延长于点。，过点。作CELAB于点E,可得的长,

在Rt/\ABD中，可求出AB的长，根据S4ABe=^-BC-AD=^-AB-CE,即三角形的等面积法即可求解.

【详解】解:如图所述，过点A作AD_L的延长于点。，过点。作CE_LAB于点E,

•M

△ABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1,

：.AD=3,BC=3,BD=4,

：.在RtAABD中，AB=y/Alf+BD1=V32+42=5,

VS&ABC=\BCAD=^AB-CE,

BC-AD_3x3_9

:.CE=

AB55

：./XABC中AB边上的高为2.

5

【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键.

题目回如图，在中，/C=90°,AC=8,在△ABE中，DE是AB边上的高，。E=12,S^BE=60.

⑴求BC的长.

（2）求斜边AB边上的高.

【答案】（1）8。=6

（2）斜边边上的高是4.8

【分析】（1）根据在AABE中，DE是AB边上的高，DE=12,SAABE^60,可以计算出AB的长，然后根据勾

股定理即可得到48的长；

（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高.

【详解】（1）解：（1）•••在4ABE中，。H是AB边上的高，DE=12,SAABE=60,

AB产=60,即4爸12=60,解得AB=io,

•.•在出AABC中，/C=90°,47=8,

BC=y/AB2-AC2=V102-82=6;

⑵解:作OF,AB于点F,

•：AB10,AC^8,BC^6,AC'^B=AB'^F,

.8x6_10xCF

"2-2'

解得CF=4.8,即斜边AB边上的高是4.8.

【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

［题目回（2023秋•全国•八年级专题练习）在△ABC中，/C=90°,AC=3,CB=4,CD是斜边AB上高.

⑴求△ABC的面积；

⑵求斜边AB；

⑶求高CD.

【答案】（1）A4BC的面积为6

（2）斜边AB为5

（3）高CD的长为孕

【分析】（1）根据三角面积公式底乘高除以2求出即可.

（2）根据勾股定理求出AB.

（3）根据等面积法求出高CD.

【详解】的面积=X3x4=6.

故△ABC的面积是6;

（2）在RtAABC中,ZC=90°,AC=3,CB=4,

.-.AB=V32+42=5;

（3）,/yXACXyxCDxAB,

.-.yX3x4=yX5xCD,

解得CD=g.

故高CD的长为早.

5

【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理.

【类型二结合乘法公式巧求面积成长度】

0]]已知在Rt/\ABC中，90°,ZA,ZB,/C所对的边分别为a,6,c,若a+b=10cm,c=8cm,则

的面积为（）

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【分析】

根据题意可知，RtZXABC的面积为ab,结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可

【详解】

解：中，NC=90°,乙所对的边分别为a,6,c,

.-.a2+62=c2

a+b=10cm,c=8cm

2ab=（a+6）2—（a2+52）=（a+6）2—c2=100-64=36

12

S&ABC=工ab=9cm

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形.

【变式训练】

〔题目工在△ABC中，AD是BC边上的高，入。=4,45=4，11,4。=5,则448。的面积为（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

【答案】。

【解析】

•••

【分析】

由勾股定理分别求出BD和CD,分4D在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公

式计算即可.

【详解】

解:在RtAABD中，

由勾股定理得：BD=^AB2-AD2=12,

在Rt^ACD中，

由勾股定理得：CD=yjAC2-AD2=A/52-42=3,

分两种情况：

①如图1,当AD在△ABC的内部时，30=12+3=15,

则△ABC的面积=/BOXAD=9x15x4=30;

②如图2,当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9,

则△ABC的面积=58。义人。=寺x9x4=18;

综上所述，△AB。的面积为30或18,

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解

题的关键.

目［叵直角△48。三边长分别是①，2+1和5,贝U△ABC的面积为.

【答案】6或30

【解析】

【分析】

根据△ABC是直角三角形，则在AABC中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：AABC是直角三角形，则在AABC中即可运用勾股定理，不确定rc+l与5哪一个大，所以讨论：

⑴若H+IV5,则存在―+(/+1)2=52,

解得x=3,

SI\ABC=1x3x4=6;•••

（2）若c+1>5,贝I（2+I）?—a?=52,

解得c=12

S\ABC~-^-X5X12=30.

△ABC的面积为6或30.

故答案为：6或30.

【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论2+1与5的大小是解题的关键.

【类型三巧妙割补求面积】

］（2023春・河南许昌•八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，己知=90°,ZACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

（1）求证：AACD是直角三角形；

（2）求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）见解析

（2）1873+30

【分析】（1）根据30°角的直角三角形的性质得到AC=2AB=12,再根据跟勾股定理的逆定理即可得证;

（2）根据勾股定理得到BC=6V3,再利用三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）证明：；ZB=90°,乙4cB=30°,AB=6,

AC=2AB=12,

在△4CD中，4。=12,AD=13,CD=5,

52+122=132,即A^+CD2^AD2,

.•.△ACD是直角三角形；

（2）解：•.•在AAB。中，/B=90°,AB=6,AC=12,

BC=y/AC2-AB2=V122-62=6瓜,

：.SAABC=•AB=-1-X6V3X6=18A/3,

又—AC-CD=-1-x5x12=30,

S13边彩ABCD=SAABC+SAACD=18V3+30.

四边形ABCD为18V3+30.

【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30°角的直角三角形的性质，三角形的面积.熟练掌握勾

股定理的逆定理是解题的关键.

【变式训练】

题目Q（2023春•内蒙古呼伦贝尔•八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3

米，AB=13米，BC=12米，乙4。。=90°,求这块地的面积.

•M

c

'D

-------------------------------

【答案】24平方米

【分析】连接4。,根据勾股定理求出力。=y/Alf+CD2=5米，根据AC2+BC2=AB2,NACB=90°,根据

直角三角形的面积公式求出结果即可.

【详解】解:如图，连接AC,如图所示：

•・•/AOC=90°,人。=4米，CD=3米，

AC=^A^+CD2=5米，

AB=13米，BC=12米，

AC^+BC^AB2,

：.ZACB=90°,

/.这块地的面积为：

11_

S^ABC~S^ACD--AC-BC——AZ)-CD

=yX5X12-yX3x4

=24(平方米).

【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形

中，两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.如果一个三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=<?,那

么这个三■角形为直角三角形.

题目团(2023春•安徽马鞍山•八年级校考期末)已知a,b,c是△ABC的三边，且a=2代，b=30，c=

V66.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)求△ABC的面积.

【答案】⑴△力BC是直角三角形，理由见解析

(2)92

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；

(2)根据三角形的面积公式进行计算即可求解.

【详解】(1)解：△ABC是直角三角形.理由：

■:心=(2A/3)2=12,b2=(3V6)2=54,c2=(V66)2=66,

.­.a2+b2=c2,

.•.△ABC是直角三角形，且/。是直角；

⑵解:/XABC的面积=十x2V3x3V6=972.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

题目区(2023春・山东荷泽•八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=

12m,DA—13m,且/4BC为直角.

⑴求这个四边形草地的面积；

（2）如果清理草地杂草,每平方米需要人工费20元,清理完这块草地杂草需要多少钱？

【答案】⑴36加

（2）清理完这块草地杂草需要720元钱

【分析】（1）连接AC,根据勾股定理求出AC,再根据勾股定理逆定理得出ZACD=90°,最后根据

S四边般ABCD=52X^0。+SAACD即可求解；

（2）根据每平方米需要人工费20元，即可解答.

【详解】（1）解:连接AC,

•：AB=3m,BC=4m,NAB。为直角，

AC=y/AB-+BC2=A/32+42=5（M）,

CD—12m,DA—13m,

AC2+CD2=52+122=169=AD2,

：.乙4c0=90°,

S四边彩ABCD=SAABC+SA>ICE>=了AB•BC+—AC-CD=1X3x4+5x5xl2=36(m2).

⑵解:20x36=720（元），

答：清理完这块草地杂草需要720元钱.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等

于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形.

题目目（2022春•重庆泰江•八年级校考阶段练习）计算:如图，每个小正方形的边长都为1.

（1）求线段CD与的长；

⑵求四边形4BCD的面积;

⑶求证：/BCD=90°.

【答案】（1）BC=2瓜CD=V5

⑵当

（3）见解析

【分析】（1）根据勾股定理解答即可；

⑵运用分割法解答即可；

（3）连接BD,根据勾股定理的逆定理解答即可.

【详解】（I”.•每个小正方形的边长都为1,

BC=V22+42=2V5,CD=V22+l2=V5

（2）S四边形ABCD=5x5--^-xlx5—^-xlx4—1x1—yXlx2--^-x2x4

=25--|--2-l-l-4

=29

-V

⑶连接BD,

.•.Bn=V32+42=5,

•：BC2+CD2=（2V5）2+（A/5）2=25,BD=52=25,

：.BC2+CD2^BD2,

.•.△BCD是直角三角形，且BD为斜边，

/BCD=90°.

【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答.

【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】

011（2023秋・重庆渝中•八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6,则最大正方形£的面积是（）

【答案】8

【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形4B,的面积和即为最大正方形

的面积即可.

【详解】解:如图：根据勾股定理的几何意义，可得：

E

SE-Sp+SG

=SA+SB+SC+SD

=6+10+4+6

=26

故选R

【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.

【变式训练】

蜃目Q（2023•广西柳州•校考一模）如图，"£石=90°,正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289

和225,则以BD为直径的半圆的面积是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出8。,再求半圆的面积即可.

【详解】解：：正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225,

:.BE?=289,DE2=225,

/BDE=90°,

：.BD=y/BE2-DE2=V289-225=8,

：.以BD为直径的半圆的面积为：5x管丫义7r=87t;

故选B.

【点睛】本题考查勾股定理.熟练掌握勾股定理，是解题的关键.

［题目团（2023春•全国•八年级专题练习）如图，以母△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S,S2,S3且

8=4,S?=8,则S3=；以724“18。的三边向外作等边三角形,其面积分别为Si,S2,S3,则三

【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与ACAABC的三边关系，然后根据勾股定理找到

RtZXABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三

角形面积公式与勾股定理，得到$,S2,S3三者之间的关系，完成解答.

【详解】解：AB都是正方形的边长，•M

222

・・・S尸AC,S2=BC,S3=AB,

又­/△ABC是直角三角形，

・・・AC2+BC2=AB\

：.$3=4+8=12,

又•・・RtAABC三边向外作等边三角形，其面积为Si,S2,S3,

...Si=]x4CxACxW=WxAC2,

同理可得：$2=牛xBC2,53=卓xAB2,

•：△ABC是直角三角形，

AC2+BC2=AB2,

.♦.Si+S2=S3.

故答案是：12,Si+$2=S3.

【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理.

题目叵〕（2023春•八年级课时练习）已知：在国△ABC中，90°,/B、/C所对的边分别记作a、6、

C.如图1,分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形,其正方形的面积由小到大分别记作S、52、$3,则

图3图4

⑴如图2,分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分J、S?、S3,请问&+S2与

S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

⑵分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示,其面积由小到大分别记作SI、S2Sa,根据⑵

中的探索，直接回答S1+S2与53有怎样的数量关系；

（3）若Rt/\ABC中，力。=6,=8,求出图4中阴影部分的面积.

【答案】（1）&+$2=$3,证明见解析

⑵&+$2=&

（3）24

6

【分析】（1）由扇形的面积公式可知S=5MIC,S2=±启。2,S3=在Rt/\ABC中，由勾股定理

OOO

得AC2+BC-^AB2,即$+$2=S3；

（2）根据（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的结论进行求解.

【详解】⑴解:①•••Sl+$2=$3=

ooo

根据勾股定理可知：a+b2=c2,

：.Sl+$2=S3；

（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：a2+&2=c2，从而可得S+S2=S3;

⑶解：由⑵知S阴影=Si+S?—（S3—Sag。）—S^BC——x6X8—24.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用.

题目回（2023春・江西南昌•八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,

西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载,我国汉

代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

图5图6图7

（1）①如图2,3,4,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为

S，$2,53,利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S+S2=$3的有个.

②如图5,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为

S,$2，直角三角形面积为$3，也满足$+$2=S3吗？若满足,请证明;若不满足,请求出&,52，S3的数量关

系.

（2）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形河的

边长为定值机，四个小正方形A，B,C,。的边长分别为a,6,c,d,则a2+/+c2+d2=.

【答案】（1）①3;②满足，证明见解析

（2）m2

【分析】（1）设两直角边分别为;r,沙,斜边为z,用以y,z分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据外

兀兀（立）2

+“=z?,求解Si,S?,S3之间的关系，进而可得结果;②根据a2+b2=c,Si+$2=—2--------1---------------------F—

=萼，S：产软，可得S1+S2=S3;

222

⑵由题意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=（f,（SA+SB）+（S°+SD）=S“=病,代入求解即可.

【详解】（1）①解:设两直角边分别为①，y,斜边为z,

则图2中，&=。2,$2=才，$3=22,

,/22+d=Z2,

.・.S1+S2=S3,故图2符合题意；

兀信）2兀小乃传丫2兀㈤2

图3中，=詈，$2==+，$3==管，•M

..E+尤=乃（，+/）=,兀廿

*~8~~T~8-_8",

・・・S+S2=S3,故图3符合题意；

图4中，Si="1■2：-x-sin60°=瓜:,S2=~^y•y•sin60°=瓜:,S3=-z•z•sin60°=瓜j,

..出后，△寸_代（3+4）_愿/

,444—4，

.•.Si+S2=S3,故图4符合题意；

.•.这3个图形中面积关系满足Si+S2=$3的有3个，

故答案为：3;

②解：满足，证明如下：

由题意知/+〃=。2,S]+S2=+萼一=半，Ss=萼，

SI+S2=$3；

2222

⑵解：由题意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（SC+SD）=SM=rn,

.•.a2+62+c2+d2=m2,

故答案为：m2.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树.解题的关键在于正确的表示各部分的面积.

【类型五几何图形中的方程思想一折叠问题（利用等边建立方程”

的1（2023春・河南许昌•八年级统考期中）已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC

按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是（）

C

【答案】B

【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE,设=则BE=H,（3七=8—2：,再RtABCE中利用

勾股定理即可求出CE的长度.

【详解】解：•.•△ADE翻折后与完全重合，

,,.AE=BE,

设AE=力，则BE=x,CE=8—T,

在Rt^BCE中，CE2=BE2-BC\

即（8—6）2=疗一62,

解得,6=:,

・・・CE=4.

4

故选：B

【点睛】本题考查了图形的翻折变换,解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性

质，折叠前后图形的形状和大小不变.

【变式训练】

题目Q（2023春・湖北咸宁•八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，/。=90°,AC=4,BC=

3,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AO,则的长为（）

A.4B.1.5C.3D.3

43

【答案】。

【分析】利用勾股定理求得AB=5,由折叠的性质可得AB^AE^5,DB=DE,求得CE=1,设DB=DE

=力，则6=3—2,根据勾股定理可得12+（3—2）2=;1：2,进而求解即可.

【详