2025年高考数学专项复习训练：任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】原卷版+解析版

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1终边相同的角】...........................................................................4

【题型2象限角］.................................................................................4

【题型3弧度制及其应用】........................................................................5

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】.........................................................6

【题型5三角函数值符号的判定】..................................................................7

►考情分析

1、任意角和弧度制、三角函数的概念

考点要求真题统计考情分析

(1)了解任意角的概念和

弧度制任意角和弧度制、三角函数的概念

⑵能进行弧度与角度的2023年北京卷：第13题，5是三角函数的基础，是高考数学的必考

互化，体会引入弧度制的分内容之一.从近几年的高考情况来看，主

必要性2024年北京卷：第12题，5要考察任意角的概念、三角函数的概念，

(3)借助单位圆理解三角分一般以选择题、填空题的形式出现，试

函数(正弦、余弦、正切)题比较简单.

的定义

►知识梳理

【知识点1三角函数的基本概念】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)角的表示

如图：

①始边：射线的起始位置04;

②终边：射线的终止位置。3；

③顶点：射线的端点。；

④记法：图中的角可记为“角a”或“-a”或；/O8”.

%

2.象限角与终边相同的角

(1)终边相同的角

若角a终边相同，则它们的关系为：将角a的终边旋转(逆时针或顺时针)网左eZ)周即得角B.

一般地，我们有：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={夕/=a+左-360。,左GZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

(2)象限角、轴线角

①象限角、轴线角的概念

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的非负半轴重合.那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限,

称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角{a\k-3600<a<k-360°+90°,左eZ}

第二象限角{a\k-360°+90°<ct<A;-360°+180°,左GZ}

第三象限角{a\k-360°+180°<a<k-3600+270。斥Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a<k-3600+360。,左GZ}

3.角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的高.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相关概念

①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

4.任意角的三角函数

(1)利用单位圆定义任意角的三角函数

设a是一个任意角，aGR,它的终边。尸与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即尸sina；

②把点尸的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa；

③把点尸的纵坐标与横坐标的比值训做a的正切，记作tana,即「ana(#0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数y=sinx,xGR

余弦函数y=cosx,x£R

TT

正切函数y=tanx,xW,+Ax（z左£Z）

(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设a是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点。重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离

为r.则sina=L,cosa=—,tana=—.

rrx

【知识点2任意角和弧度制的解题策略】

1.终边相同的角的集合

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过集合中的参数网上GZ)赋值来求得所需的角.

2.确定ka,三依GN*)的终边位置的方法

先写出妹或假的范围，然后根据k的可能取值确定桁或号的终边所在的位置.

3.应用弧度制解决问题的几大要点

应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【知识点3三角函数的定义及应用的解题策略】

1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角

的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.判定三角函数值的符号的解题策略

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各

象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

►举一反三

【题型1终边相同的角】

【例1】（2024•全国•模拟预测）下列与牛的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

A.2kn+手（kGZ）B.2kn+?（k&Z）

C.ku-*keZ）D.fcn+Y（fceZ）

【变式1-1]（23-24高一上•内蒙古•期末）若角a与角-金的终边相同，贝la可能是（）

12TT_10n22n_22n

AT.-B.---C.—D.一--

【变式1-2]（23-24高一下•河南驻马店•阶段练习）若角a的终边在直线y=x上，则角a的取值集合为

（）

A.{a|a=k-360°+45°,kez]B.[a|a=fc-360°+135°,kez]

C.（a|a=fc-180o-135°,kEz}D.{a|a=/c-180°-45°,kez}

【变式1-3]（23-24高一下•安徽蚌埠•阶段练习）将角a的终边绕坐标原点。逆时针旋转60。后与130。角的

终边重合，则与角a终边相同的角的集合为（）

A.{^|）?=/cx180°+90°,fceZ}B.{/?|）5=/cx360o+90o,fceZ}

C.[^|/?=fcxl80°+150°,/ceZ}D.{S『=kx36（r+70o,keZ}

【题型2象限角】

【例2】（2024•全国•模拟预测）若a是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（）

A.90°—CLB.180°—ccC.270°—ccD.—CL

【变式2-1]（23・24高一上•河北唐山•期末）已知a=944。，贝!）仇是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【变式2-2]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知角a以x轴正半轴为始边，终边经过点P（sin金,cos亨），

贝!J3n+a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【变式2-3]（2024•贵州・模拟预测）“a是第四象限角”是吗是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【题型3弧度制及其应用】

【例3】（2024•湖南•一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，

体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各

项数据（图2）：AB«8cm,AD«2cm,AO«5cm,若sin37°《pn13.14,则璜身（即曲边四边形ABC。）面

D.22.4cm2

【变式3-1］（2024•新疆克拉玛依•三模）掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷

出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是詈，“弓”所

6

在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（）米.

A.迥B.也C.也D.也

6446

【变式3-2］（2024・贵州贵阳•三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章

给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=：（弦X矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所

围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为4旧+2,且

弦是矢的2机倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（）

«Kc2n4n—8n

A.§B.-C.-D.-

【变式3-3］（2023・浙江嘉兴•二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了

地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进

行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处4的太阳光线与地面成角8=82.8。，又知某商队

旅行时测得4与S的距离即劣弧蓝的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125,则可估计地球半径约为（）

A.35000古希腊里B.40000古希腊里

C.45000古希腊里D.50000古希腊里

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】

【例4】（2023•福建福州•模拟预测）已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=等,P（zn,2）

为其终边上一点，则（）

A.-4B.4C.-1D.1

【变式4-1］（2024•江西•二模）已知角a的终边经过点M（VX1）,贝i］cosa=（）

A.乎B.日C.V2D.孝

1

【变式4-2］（2023•河南开封•三模）设a是第二象限角，P（x,1）为其终边上一点，且cosa=y,则tana=

（）

A.--B.--C.孝D.7

【变式4-3］（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知角a的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非

负半轴上，终边与单位圆相交于点（-乎,乎），则sinacosa=（）

C1D.乎

【题型5三角函数值符号的判定】

【例5】（2024•河南•模拟预测）已知a是第二象限角，则点（cos（sina）,sin（cosa））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式5-1］（2023・四川宜宾・三模）已知角a的终边上一点的坐标Q,2）,其中。是非零实数，则下列三角

函数值恒为正的是（）

A.cosatanaB.sinacosaC.sinatanaD.tana

【变式5-2］（2023•河南•模拟预测）已知a是第二象限角,则点（cos（-a）,sin（-a））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式5-3］（2024•北京海淀•一模）在平面直角坐标系xOy中，角a以。x为始边，终边在第三象限.则（）

A.sina—coscr<tanaB.sina—cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-coscr>tana

►过关测试

一、单选题

1.（23-24高三下・甘肃・阶段练习）集合2=｛回戊=一2024。+人180。,卜62｝中的最大负角戊为（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

2.（202«河北衡水・模拟预测）“角％6的终边在同一条直线上”是“5访9-6）=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（23-24高一下•河南•阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a的集合是（）

A.+2/CTT<a<(2k+l)n,/cGz|B.+/tit<ct<(fc+l)rt,kezj

C.^a|—+2fcn<a<(2fc—ez|D.^a|—+2kn<a<2ku,kezj

4.（2024・山东•模拟预测）已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与工轴的非负半轴重合，终边经过点P

sin或cos。则cos(a+»=()

1

A.0B.-C.返D.日

5.（2024・全国•模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕.源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像

砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流

派.苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛

等建筑中.图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环力BCD,如图（2）,砖雕厚度为6cm,AD=80

cm,CD=3AB,而所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cm?）)

图⑴图⑵

A.3200nB.48011+960C.6880n+960D.3680n+960

6.（2024・四川成都・模拟预测）在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与无轴的非负半轴重合,

终边经过点P(3,4),则sEa+空0sg=()

\'7cosa—sina

A.11B.-10C.10D.-11

7.（2024・浙江•二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函

数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot。=义1，正割函数sec。=21，余割函

数esc。正矢函数uersin。=l—cos。，余矢函数uercos。=1—sin。.如图角6始边为支轴的非负半轴，其

sine?

终边与单位圆交点P,4B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直无轴，作PN垂直y轴，

垂足分别为M、N,过点4作x轴的垂线，过点8作丫轴的垂线分别交。的终边于7、S,其中AM、PS、BS、NB

A.versind=AMB.csc9=PS

C.cot3=BSD.sec3=NB

8.（2024•山东青岛•一模）2024年2月4日，“龙行中华一甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆

举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就

是这样一件珍宝.玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S'型双龙，造型精美.现要

计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB-8cm,AD«2cm,710~5cm,若sin37°2

j,a73.14,则璜身（即曲边四边形/5C。）面积近似为（）

一・O

图1图2

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

二、多选题

9.（2023・贵州遵义•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.若sina=sin/?,贝！ja与0是终边相同的角

B.若角a的终边过点P（3k,4k）（k40）,则sina=?

C.若扇形的周长为3,半径为1,则其圆心角的大小为1弧度

D.若sina•cosa>0,则角a的终边在第一象限或第三象限

10.（2023•河北石家庄•一模）在平面直角坐标系中，角a的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重

合，终边经过点P（浮%）,且sina=|x,则久的值可以是（）

A.±V2B.±1C.0D.±2

11.（2023・吉林・二模）如图，A,2是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点/在（1,0）处，质点

8在第一象限，且乙4。8=也质点/以*lad/s的角速度按顺时针方向运动，质点8同时以壬"ad/s的角速度按

逆时针方向运动，则（）

A.经过Is后，扇形的面积为工

B.经过2s后，劣弧痛的长为与

C.经过6s后，质点8的坐标为

D.经过年s后，质点/,8在单位圆上第一次相遇

三、填空题

12.（2024・宁夏•二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积是

平方厘米.

13.（2024・全国•模拟预测）已知角。的顶点为坐标原点，始边为久轴的非负半轴.若P（m,2）是角。终边上一

点，且COS0=-¥1^，则爪=.

14.（2023•广东佛山一模）若点力（（：05。⑼11。）关于原点对称点为3（（：059-8）凤119-。）｝写出。的一个取

值为.

四、解答题

15.（2024高一下•全国•专题练习）己知角a的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：

（啮

a

（2后

16.（23-24高一•全国•随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720。</?<

360。的元素£写出来：

(1)60°；

(2)-45°；

(3)1303°18,；

(4)-225°.

17.(23-24高一•全国•随堂练习)利用单位圆，求适合下列条件的角a的集合.

(l)coscr=一亨；

(2)sina<1.

18.(23-24高一上•云南昆明•阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，单位圆/+产=1与％轴的正半轴及负

半轴分别交于点4B,角a的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于无轴下方一点P

(1)如图，若NPOB=120。，求点尸的坐标;

(2)若点P的横坐标为-容求sina的值.

19.(2024•上海黄浦•二模)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环

面(由扇形04。挖去扇形OBC后构成的).已知04=10,OF=x(0<%<10),线段氏4,CD与前，AD

的长度之和为30,圆心角为。弧度.

(1)求。关于x的函数表达式；

(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1终边相同的角】...........................................................................4

【题型2象限角］.................................................................................5

【题型3弧度制及其应用】........................................................................6

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】.........................................................9

【题型5三角函数值符号的判定】.................................................................10

►考情分析

1、任意角和弧度制、三角函数的概念

考点要求真题统计考情分析

(1)了解任意角的概念和

弧度制任意角和弧度制、三角函数的概念

⑵能进行弧度与角度的2023年北京卷：第13题，5是三角函数的基础，是高考数学的必考

互化，体会引入弧度制的分内容之一.从近几年的高考情况来看，主

必要性2024年北京卷：第12题，5要考察任意角的概念、三角函数的概念，

(3)借助单位圆理解三角分一般以选择题、填空题的形式出现，试

函数(正弦、余弦、正切)题比较简单.

的定义

►知识梳理

【知识点1三角函数的基本概念】

1.任意角

(1)角的概念

角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

(2)角的表示

如图：

①始边：射线的起始位置04;

②终边：射线的终止位置。3；

③顶点：射线的端点。；

④记法：图中的角可记为“角a”或“-a”或；/O8”.

%

2.象限角与终边相同的角

(1)终边相同的角

若角a终边相同，则它们的关系为：将角a的终边旋转(逆时针或顺时针)网左eZ)周即得角B.

一般地，我们有：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={夕/=a+左-360。,左GZ},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

(2)象限角、轴线角

①象限角、轴线角的概念

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的非负半轴重合.那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限,

称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示

象限角角的集合表示

第一象限角{a\k-3600<a<k-360°+90°,左eZ}

第二象限角{a\k-360°+90°<ct<A;-360°+180°,左GZ}

第三象限角{a\k-360°+180°<a<k-3600+270。斥Z}

第四象限角{a\k-360°+270°<a<k-3600+360。,左GZ}

3.角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的高.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相关概念

①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

4.任意角的三角函数

(1)利用单位圆定义任意角的三角函数

设a是一个任意角，aGR,它的终边。尸与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即尸sina；

②把点尸的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x=cosa；

③把点尸的纵坐标与横坐标的比值训做a的正切，记作tana,即「ana(#0).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数y=sinx,xGR

余弦函数y=cosx,x£R

TT

正切函数y=tanx,xW,+Ax（z左£Z）

(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设a是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点。重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离

为r.则sina=L,cosa=—,tana=—.

rrx

【知识点2任意角和弧度制的解题策略】

1.终边相同的角的集合

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过集合中的参数网上GZ)赋值来求得所需的角.

2.确定ka,三依GN*)的终边位置的方法

先写出妹或假的范围，然后根据k的可能取值确定桁或号的终边所在的位置.

3.应用弧度制解决问题的几大要点

应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【知识点3三角函数的定义及应用的解题策略】

1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角

的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.判定三角函数值的符号的解题策略

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各

象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.

►举一反三

【题型1终边相同的角】

【例1】(2024•全国•模拟预测)下列与？的终边相同的角的表达式中，正确的是()

A.2kn+手(kGZ)B.2kn+?(k&Z)

C.ku-*keZ)D.fcn+Y(fceZ)

【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与?的终边相同的角.

【解答过程】与牛的终边相同的角为2加+?(kez).

故选：B.

【变式1-1](23-24高一上•内蒙古•期末)若角a与角-金的终边相同，则a可能是()

12TT_10K22n_22n

A.—B.—―C.—D.——

【解题思路】根据a=-g+2kiT,keZ观察选项得答案.

【解答过程】由已知a=-冷+2kn,keZ

观察选项可得只有一等=-?-4冗，所以a可能是一等.

故选：D.

【变式1-2](23-24高一下•河南驻马店•阶段练习)若角a的终边在直线y=x上，则角a的取值集合为

()

A.{a|a=k-360°+45°,kEZ)B.[a|a=fc-360°+135°,kEz}

C.[a|a=fc-180°-135°,k&z}D.{a|a=fc-180°-45°,kez]

【解题思路】根据角a的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况,

即可求出角a的集合.

【解答过程】由题意知角a的终边在直线y=x上，

故a=k•360°+45°,fceZ或a=k-360°+225°,fc6Z,

即a=(2k+1)-180°-135°,fcGZ或a=(2fc+2)-180°-135°,kEZ,

故角a的取值集合为{ala=k-180°-135°,fceZ).

故选：C.

【变式1-3]（23-24高一下•安徽蚌埠•阶段练习）将角a的终边绕坐标原点。逆时针旋转60。后与130。角的

终边重合，则与角a终边相同的角的集合为（）

A.{0|£=kx180。+90。加62}B.{/?|^=fcx360O+90°,fcGZ}

C.{）?|/?=fcx180°+150°,/ceZ}D.[^|）S=/cx360o+70o,/ceZ}

【解题思路】根据题意设。+60。=360。卜+130。/62,解出即可；

【解答过程】设a+60°=360°k+13（T,keZ,

解得&=360。卜+70。流€2,

所以与角a终边相同的角的集合为{0/=kx360°+70°,fcGZ},

故选：B.

【题型2象限角】

【例2】（2024•全国•模拟预测）若a是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（）

A.90°—ccB.180°-ccC.270°—ccD.—cc

【解题思路】根据象限角的概念判断即可.

【解答过程】若a是第一象限角，则M360°<a<90°+k-360°,kCZ,

—90°—k-360°<—a<-k,360°,fc6Z,则—a是第四象限角，故D错误；

-k-360°<90°-a<90°-fc-360°,fceZ,贝的0。一戊是第一象限角，故A错误；

90°-/c-360°<180°-a<180°-fc-360°,fceZ,则180。一。是第二象限角，故B错误；

180°-k-360°<270°-a<270°-fc-360°,fcGZ,则270°-a是第三象限角，故C错误.

故选：C.

【变式2-1]（23-24高一上•河北唐山•期末）己知a=944。，贝布是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解题思路】&=944。=224。+2x360。，再根据终边相同的角的集合，判断224。是第几象限角，即可求

出结果.

【解答过程】因为戊=944。=224。+2x360。，又224。是第三象限角，

所以a是第三象限角，

故选：C.

【变式2-2]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知角a以x轴正半轴为始边，终边经过点P（sing,cos亨），

贝lj3n+a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解题思路】先确定点P在第四象限，即角a的终边在第四象限，3TT+a的终边为角a终边的反向延长线,

即可得出答案.

【解答过程】sin与=当cos^=-i即P伴,_£）,

故点尸在第四象限，即角a的终边在第四象限，

3TT+a的终边为角a终边的反向延长线，那么3Tt+a的终边在第二象限.

故选：B.

【变式2-3］（2024•贵州•模拟预测）“a是第四象限角”是吗是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.

【解答过程】当a是第四象限角时，~+2kn<a<2n+2kn,kEZ,则?+/ot<慨<兀+eZ,即，是第

二或第四象限角.当f=?为第二象限角，但戊=与不是第四象限角，故"a是第四象限角”是吗是第二或第四象

限角”的充分不必要条件.

故选：A.

【题型3弧度制及其应用】

【例3】（2024・湖南•一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，

体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各

项数据（图2）：AB«8cmfAD«2cm,AO«5cm,若sin37°右.豆、3.14,则璜身（即曲边四边形4BCD）面

积近似为（）

A.6.8cm2B.9.8cm2C.14.8cm2D.22.4cm2

【解题思路】根据给定图形求出圆心角再利用扇形面积公式计算即得.

【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，。4=。8=5/8=8,

则COSNC4B=^=：sin"*，又疝3T

所以乙。48a37°,于是N40B=180°-2x37°=106°=黄，

所以璜身的面积近似为YaOB,（O42_o£）2）=gx票X（52-32）~14.8（cm2）.

故选：C.

【变式3-1］（2024•新疆克拉玛依•三模）掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷

出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”.经测量此时两手掌心之间的弧长是等，“弓”所

在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（）米.

【解题思路】由已知结合弧长公式可求an,进而可得答案.

【解答过程】根据题意作出下图，弧4c的长为3，Z71OC=JL=p

121,253

所以4B=2AD=2x1.25-sin3=2.

34

故选：C.

【变式3-2】（2024•贵州贵阳•三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章

给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=,（弦x矢+矢2）,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所

围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为+2,且

弦是矢的2百倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（）

【解题思路】根据弧田面积可求得CD,利用勾股定理可构造方程求得半径r,并根据长度关系得到圆心角弧

度数，利用扇形弧长公式可求得结果.

【解答过程】如图，

由题意得：AB=2^CD,

弧田面积=9乂（26（?。・。。+。。2）=48+2,解得：CD=2.

设圆半径为r,则有4。2=4。2+002,即尹=（2百）+（r—2产，解得：r=4,

0D=2,贝悔Rt2\4。。中，/.A0D=1,：­/.AOB=y,

•・•所求弧长为4x与=岑.

故选：D.

【变式3-3]（2023•浙江嘉兴•二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了

地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进

行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处4的太阳光线与地面成角8=82.8。，又知某商队

旅行时测得4与S的距离即劣弧席的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125,则可估计地球半径约为（）

A.35000古希腊里B.40000古希腊里

C.45000古希腊里D.50000古希腊里

【解题思路】利用1°圆心角所对应的弧长是仁辞即可求解.

【解答过程】设圆周长为C,半径长为R,两地间的弧长为I,对应的圆心角为n°,

360。的圆心角所对应的弧长就是圆周长C=2TTR,

••.1°的圆心角所对应的弧长是1=鬻，即芸，

□OUlow

于是在半径为R的圆中，71°的圆心角所对的弧长[为：/=粤，

n180/

•••R=--.

nn

当（为5000古希腊里，72=90°—仇即72=7.2°时,

180x5000

R=—=40000古希腊里.

nn3.125x7.2

故选：B.

【题型4任意角的三角函数的定义及应用】

【例4】(2023•福建福州•模拟预测)已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=£,P(m,2)

为其终边上一点，则()

A.-4B.4C.-1D.1

【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【解答过程】始边与%轴非负半轴重合，cosa=^,P(zn,2)为其终边上一点，

则；^^=弓，且小＞0，解得爪=1.

故选：D.

【变式4-1](2024•江西•二模)已知角a的终边经过点贝！Jcosa=()

A.当B.苧C.V2D.孝

【解题思路】根据三角函数的定义求解.

【解答过程】根据题意r=\0M\=J（V2）2+12=V3,

由三角函数的定义得cosa=?=噜=乎.

'V33

故选：A.

【变式4-2］（2023,河南开封三模）设a是第二象限角，尸（x,1）为其终边上一点，且cosa=（x,贝i］tana=

（）

A.--B.--C.*D.空

2424

【解题思路】利用三角函数的定义先解得X,再求正切值即可.

【解答过程】由三角函数定义可知：85。=天言=京=刀=±2&，又a是第二象限角，

故x=-2&,所以tana=?=-¥.

故选：B.

【变式4-3］（2023・湖南岳阳•模拟预测）已知角a的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非

负半轴上，终边与单位圆相交于点（-容冬），贝Usinacosa=（）

A.B.--C.1D.孝

【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.

【解答过程】因为终边与单位圆交于点（-苧,孝），则终边落在第二象限，

所以sina=¥，cosa=一孝，sinacosa=­

故选：A.

【题型5三角函数值符号的判定】

【例5】（2024•河南•模拟预测）已知a是第二象限角，则点（cos（sina）,sin（cosa））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.

【解答过程】因为a是第二象限角，所以0<sinaVl,-1<cosa<0,

进而石甬定cos（sina）>0,sin（cosa）<0.

所以点(cos(sina),sin(cosa))在第四象限.

故选：D.

【变式5-1](2023・四川宜宾・三模)已知角a的终边上一点的坐标(a,2),其中。是非零实数，则下列三角

函数值恒为正的是()

A.cosatanaB.sinacosaC.sinatanaD.tana

【解题思路】先根据定义求出sina,cosa,tana,然后逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【解答过程】因为角a的终边上一点的坐标(a,2)且。是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sina=

2a2

而,cosa=^=,tana=1

2

选项A,cosatana=——>0,故选项A正确；

Va2+4

选项B,sinacosa=忌;，因为a的正负不知，故选项B错误；

4_

选项C,sincrtana=-—,因为a的正负不知，故选项C错误；

aVra2+4

7

选项D,tana=1因为a的正负不知，故选项D错误；

故选：A.

【变式5-2](2023•河南•模拟预测)已知a是第二象限角，则点(cos(-a),sin(—a))所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用诱导公式化简再确定象限.

【解答过程】由题意知：cosa<0,sina>0,进而得到cos(-a)=cosaV0,sin(-a)=-sincr<0,

所以点(cos(-a),