人教版六年级下册数学思维训练讲义-第五讲比例（二）（含答案）

第五讲比例（二）第一部分：趣味数学话说唐僧和三个徒弟为普渡众生去西天取经，要经历九九八十一难，困难重重，关卡层层，是常人很难办到的。师徒四人走了一天，觉得累了，便休息一下。八戒把钉耙一丢，倒地便睡，唐僧与沙僧打坐，悟空舞动金箍棒。只见悟空一声“变”，金箍棒由原来的绣花针变成了高耸入云的大柱子。悟空叫道:“八戒，你猜我的金箍棒现在有多长?”八戒说:“能有多长，不过10米罢了。”悟空说:“这金箍棒可神了，5秒能变10米。”“那25秒能变15米的。”八戒随口说道。沙僧说:“这节定算错了，5秒比10米小，25秒比15米大。”八戒说:＂扯淡，这个理由一点也不充分。”悟空说:“那我就说说理由，让你们心服口服。”八戒说:“愿闻其详。”悟空说:“用解比例的方法，设25秒能变x米，比例是5:10＝25:x，5x=250，X＝50，答案应该是50米啊。”“这…这…”八戒哑口无言，还有一种方法沙僧补充道:“5秒能变10米，10÷5＝2米，意思是1秒能变2米长，25秒就能变25×2＝50米长。”八戒如醍醐灌顶，连连称是。唐僧在一旁听着，说道：你们都很聪明，用不同的方法解开这道题。以后遇到事情要要深思熟虑。八戒，你以后可不能瞎掰了，要用理由说明问题。”“一定，一定，徒儿谨记师父教诲，今后要学好数学……”哈哈哈，师徒四人伴着笑声又启程了。第二部分：习题精讲在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量，一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k。如成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例。下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始。例题1：一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？分析：要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程。解：上坡路的路程：60×EQ\F(1,1+2+3)=10（千米）走上坡路用的时间：10÷3=3EQ\F(1,3)（小时）上坡路所用时间与全程所用时间比：4:(4+5+6)=4:15=EQ\F(4,15)走完全程所用时间：3EQ\F(1,3)÷EQ\F(4,15)=12EQ\F(1,2)（小时）答：此人走完全程共用12EQ\F(1,2)小时。练习1：1.小刚读一本书，第一天读了全书的EQ\F(2,15)，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下的页数的比是3：7。小刚再读多少页就能读完这本书？2.甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲、乙两车速度比是2：3，已知甲车走完全程用5EQ\F(1,2)小时。求两车几小时后在中途相遇？3.“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等。求顺水船速与逆水船速的比。例题2：一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？分析：要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量。应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克。铜的重量始终没有变。解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克）。铜的重量：30×EQ\F(2,2+3)=12（克）新合金中锌的重量：36－12＝24（克）。新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2。答：新合金内铜和锌的比是1∶2。练习2：1.甲乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽的比是3：2，乙的长与宽的比是7：5，那么甲与乙的面积之比是多少？2.有两个圆，它们的面积之差是209平方厘米，已知大圆周长和小圆周长的比是10:9，小圆的面积是多少？3.兄弟两人，每月的收入比是4：3，支出比是18：13。从年初到年底，他们都结余360元。他们每人每月收入分别回是多少元？例题3：洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？分析：这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数。从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天。从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数。根据工效和工时成反比例的关系，得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数。解法1：设完成计划还需x天。1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12。答：完成计划还需12天。解法2：此题还可以转化成正比例。根据实际效率是原来效率的1＋25%=1.25倍，把原来效率看成“1”，实际和原来效率的比是1.25：1=5：4。因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答。设完成计划还需x天。解得x＝12。解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天。EQ\F(1,20)×（1＋25%）×x=1－EQ\F(1,20)×5解得x=12练习3：1.小李和小张两人同时录入一份文稿,已知两人的效率比为5:6,完成任务时,小张比小李多录入11个字,这篇文稿有多少个字?2.一车间和二车间共同加工一批服装,完成任务时,一车间比二车间多加工150套服装,已知两个车间的工作效率之比为9:7.这批服装共有多少套?3.客车和货车同时从甲、乙两地出发相向而行,相遇时,客车比货车多行22千米,两车的速度之比为9:8.甲、乙两地相距多少千米?例题4：客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,相遇时客车与货车所行的路程的比是5:4,相遇后货车每小时比相遇前每小时多走36千米.客车仍按原速度前进,结果两车同时到达对方的出发点。已知客车一共行了3.6小时,那么,甲、乙两地相距多少千米?思路点拨：我们知道,从两车相遇到同时到达对方的出发点,货车和客车所行的路程比为5:4,因为时间相同,路程与速度成正比例,所以,相遇后货车和客车的速度比为5:4,即相遇后货车速度是客车速度的EQ\F(5,4)，又因为相遇前货车速度是客车速度的EQ\F(4,5),速度差36千米就相当于客车速度的(EQ\F(5,4)-EQ\F(4,5)),不难求出客车的速度,也就可以求出两地之间的距离。36÷(EQ\F(5,4)-EQ\F(4,5))×3.6=36÷EQ\F(9,20)×3.6=288千米)答:甲、乙两地相距288千米练习4：1.客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,相遇时客车与货车所行的路程的比是6:5,相遇后货车每小时比相遇前每小时多走33千米。客车仍按原速度前进,结果两车同时到达对方的出发点。已知客车一共行了4.2小时,那么,甲、乙两地相距多少千米?2.甲车和乙车同时从A、B两地相向开出,相遇时甲车与乙车所行的路程比是4:3,相遇后乙车每小时比相遇前每小时多走42千米.甲车仍按原速度前进,结果两车同时到达对方的出发点.那么,相遇前乙车的速度是多少？3.李叔叔开车从合肥去武汉,如果每小时比原来多行20千米,那么所用的时间是原来的EQ\F(5,6);如果每小时少行20千米,那么所花的时间要比原来多1小时。那么,合肥与武汉相距多少千米?例题5：“奔腾”汽车美容公司每天要洗100辆汽车,如果工作效率提高25%,那么就能提前1小时完成，这家公司原来每小时能洗多少辆汽车？思路点拨：由于洗车的总数量不变,也就是说:工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例，因此,可以根据计划效率与实际效率的比,得到计划时间与实际时间的比,然后由计划时间与实际时间相差1小时,先求出计划时间,再求出计划的工作效率,所以计划效率:实际效率=1:(1+25%)=4：5计划时间:实际时间=5:4计划时间:1÷(5-4)×5=5(小时);计划效率:100÷5=20辆)答:这家公司原来每小时能洗20辆汽车。练习5：1.某台机器要加工180个零件,由于技术革新,这台机器的工作效率提高了20%,结果提前了一个小时完成，这台机器原来每小时加工多少个零件?2.“彬彬”羽绒服有限公司食堂运来12吨煤,由于每天比原来节约用煤EQ\F(1,11),因此就可以比原计划多烧2天,这个食堂原来每天烧煤多少吨?3.李师傅要加工60双皮鞋,实际加工时效率提高了15%,结果提前1.5小时完成。李师傅实际每小时加工多少双皮鞋?第三部分：数学史泰勒斯巧测金字塔2600多年前的古希腊港口城市米利都，泰勒斯出生在一个奴隶主贵族家庭。从小就受到了良好的教育。泰勒斯早年也是一个商人，曾到过不少东方国家，学习了古巴比伦观测日食月食的方法和测算海上船只距离等知识，知道了古埃及土地丈量的方法和规则等。他还到美索不达米亚平原，在那里学习了数学和天文学知识。据说，一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测量出金字塔的高度来。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件--法老必须在场。第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓。泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会儿，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻将大金字塔在地面的投影处作一记号，然后在丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。在法老的请求下，他向大家讲解了如何从"影长等于身长"推到"塔影等于塔高"的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。命题证明的思想和平面几何的贡献泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确