高考数学复习压轴题：有关三角形中的范围问题（新高考地区专用）

专题26有关三角形中的范围问题

【方法点拨】

1.正弦平方差公式sin*2a3—sin2p=sin(a-P)sin(a+P).

2.化边、化角、作高三个方向如何选择是难点，但一般来说，涉及两内角正切间的等量关系

时作高更简单些.

【典型题示例】

,,11

例1在锐角△ABC中，a--b2=bc,则------------+2sinA的取值范围为

tanBtanA

【答案】

【解析】Va2-b2=bc,利用正弦定理可得：sin2A-sin2B=sinBsinC,

由正弦平方差公式得$111(人一5)5111(人+5)=011150111。，

即sin(A-B)sinC=sinBsinC,

易知sinCwO,故sin(A-B)=sinB

又5c为锐角三角形，・・.A—5=5,即A=26,

TC

0<25<-

2nrn7i,n

：.—<B<—,—<A<—

TC6432

Q<7i-3B<—

2

11sin1

----------------+2sinA=—-------^+2sinA=------+2sinA

tan5tanAsinBsinAsinA

又工<A<工，.•.且<sinA<l,令/=sinA—<t<l，贝i|=1+2f—<Z<1

3222v7r2

由对勾函数性质知，；+在fe

—,1上单调递增,

\27

又于田*限/⑴[+2x1=3,

l2一J6

2

--——i-2sinAG

sinA

例2若AA5c的内角满足sinA+&sinB=2sinC,贝UcosC的最小值是.

【答案]吟至

【分析】将已知和所求都“化边”，然后使用基本不等式即可.所求COS。的最值可想到余弦

q2z_2_2_

定理用边进行表示，cosC=-----------------,考虑sinA+，2sinB=2sinC角化边得到：

lab

a+42b=2c,进而消去c计算表达式的最值即可

【解析】VsinA+^/2sin3=2sinC.

由正弦定理可得a+y[2b=2c,即产,

次+加一/a+"（2）3片+2〃一2娘M2加-Z7-2也45#―小

cosC—2ab~lab~8ab~8ab~4'

当且仅当34=2/即号=宠时等号成立.

**•cosC的最小值为也4

111

例3在锐角三角形ABC中，已知2sin2A+sin2B=2sin2C,则氤彳十而万十高石的最

小值为.

【答案】叵

2

【解析一】（作高线，化斜为直，角化边）由正弦定理，得：21+62=202,

如图，作BD_LAC于D,设AD=x,CD=y,BD=h,

因为24+方2=202,所以，2（y2+/z2）+（x+y）2=2（X2+/z2）,化简，得：

x2-2xy-3y2=0,解得：x=3y

B

tanA+tanC-1-tanAtanC_1

tan(A+C)=-tanB,------------------=-tanB,

1-tanAtanCtanA+tanCtanB

h2i

11111tanAtanC—1xyxy

--------1----------1----------------1--------H-------------------------1-----F------

tanAtanBtanCtanAtanCtanA+tanChhhh

—i—

%y

4y"3/_13yh屈

■-I----------1------2-------.

h4yh4/14y2

【解析二】(边化角)

由正弦定理,得：2/+。2=2。2,即2(/+c2_/)=3氏

由余弦定理得：4/JCCOSA=3£>2,即4ccosA=36,

由正弦定理，得：4sinCcosA=3sinB,即4sinCcosA=3sinQ4+C),化简得tanC=3tanA,

以tanA主元，化简一-—।—-—+―--W—tanA+—————>zEtan一”

tan"tan5tanC412tan/V412tan2'

例4在AABC中，角所对的边分别为"c，若a?+〃+202=8,则AABC的

面积的最大值为

【答案】

5

【解析一】（余弦定理+二次函数）

看到式子/+b2+2c2=8的结构特征，联想余弦定理得:

a2+b2-c23a2+3b2-832

cosC=>

2ab4ab2ab

i13253

所以片--(^)2sin?C<—(ab)21-(—~—)2=--(ab)2+—ab—l

1QAQIC

当加二时，fL-AA6C的面积的最大值为

【解析二】（三角形中线长定理+基本不等式）

设8C边上的中线为AM,则2（/+/）=02+4加〃

Va2+b2+2c2=8A«2+Z?2=8-2c2

代人得：2（8-2C2）=C2+4AM2,即5c2+4AAf2=i6

22

根据基本不等式得：5c2+44/=16>2y15cx4AM=4小AM-c

又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高

所以461加式28君5

所以1628百S,S〈詈，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此

时AABC的面积的最大值为'.

【解法三】（隐圆）

以48的中点为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

222

设A（一/0）,2他。）,C（x,y）,则由a+Z>+2c=8,得g—92+,2+^+§2+1+2c2

=8,即f+y2=4等2,所以点C在以原点（0,0）为圆心，'/4一"2为半径的圆上,所以s肯

【巩固训练】

1.（多选题）在△ABC中，角A5c的对边分别为名4c,若/=b2+bc，则角A可为

()

3兀兀7万2万

A.—B.-C.--D.—

44123

什A—C

2.在△ABC中，右COS-=--2-s-in-则cosB的最小值是.

2

3.已知AABC中，sinA+2siaBcosC=0,则tanA的最大值是()

A.BB.C.6D.拽^

333

4.若AABC的内角满足sinA+sin3=2sinC,则角C的最大值是.

5.已知在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若。2=q（a+c）,则

——吧”—的取值范围是（）

bcosA-acosB

A（0，*）B.g,与）yD.

6.在锐角△ABC中，角力，B,C的对边分别是a,b,c,a=l,Z?cosA-cosB=l,当

A,B则变化时，sinB-24sin2A存在最大值，则正数2的取值范围为.

B.

D.

7.在ZMBC中，设角A,B,C的对边分别是a,b,c,若&a,b,c成等差数列，则

高+福的最小值为

8.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、6、c,且满足从一"=*,则

---三的取值范围为__________.

tanAtanB

2s

9.在锐角AABC中，角A,民C的对边分别为a,dc,AABC的面积为S,若sin(A+C)=1—

则tanC+J"的最小值为()

2tan(B-C)

A.0B.2C.1D.2^2

【答案或提示】

1.【答案】BC

【解析】a2=b2+be利用正弦定理可得：sin2A-sin2B=sinBsinC»

由正弦平方差公式得sin(A—5)sin(A+5)=sin5sinC,

即sin(A-B)sinC=sinBsinC,

易知sinCwO,故sin(A-jB)=sin_B

A-B=B'即A=25

12

V0<A+B</r,；.0<A+—A<%,：.0<A<-7r,故选：BC.

23

1

2.【答案】2

AC.A.C7i—A.—C

【提示】已知可化为cos—cos——I-sin-sin一=2sin

22222

AC1

=2cos-C弦化切得tan—tan—=—

2222223

1-tan—tan—1-tan—tan一

22V22

AC-I~AC3

tan-+tan-2Jtan—•tan-

22V22

B<—,cosB>—.

2632

3.【答案】A

【提示】化边、化角、作高三个方向均可解决.

7T

4.【答案】-

3

【解析】由5指4+51115=25111。可得：a+b=2c,c=a+

2

33721。323/1〃

—a2+—b——ab7—a--b~—cib

a2b2-c22A1

cosC=4422丫442」

lablablablab2

：cosC在（0,乃）递减，0<C<?

5.【答案】C

【解析】由"之=。3+。）得：sin2B=sin2A+sinAsinC,即sin?8—sin?A=sinAsinC

即sin（B+A）sin（B-A）=sinAsinC,

而sin（5+A）=sinCw0,所以sin（jB-A）=sinA

又△ABC为锐角三角形，・・.5—A=A,即6=2A,

TV

0<2A<-

27171

—<A4<—

64

0<^--3A<-

2

asinAsin2Asin2A..(10

-------------------=-----------------------------=--------------=sinAG—,——

bcosA-acosBsinBcosA-sinAcosBsin(B-A)122,

6.【答案】A

【解析】由Q=1,Z?COSA-COSJB=1得：bcosA-acosB=a

根据正弦定理得：sin5cosA-sinAcosB=sinA,即sin(5—A)=sinA

又5c为锐角三角形，：.B-A=A,即5=2A,

TV

0<2A<-

n.7i兀c.

2—<A<——<2A<—n

TV6432

0<7T-3A<-

2

sinB-22sin2A=sin2A-2(1-cos2A)=sin2A+2cos2A-2

=A/1+^2sin(2A+^>)-/l(tan0=2)

*/—<2A<—

32

...欲使sinB-Z^sin?A存在最大值，必有2A+0='

0<,故tanO<tan。=X<tan工，BP0<2<

663

7.【答案】2(遮+1)

【解析】由题得2b=&a+c,cosB=n+c~b=~"。+?),

2ac2ac

所以cosB=犷+产窕n2J”沁枭="，所以0<B<750,.0<sinS<叵,

2ac2ac44

因为2sinB=V2sinX+sinC,・••V^sinZ+sinC<耳+、,■1Aqi二4

276+72

-2-

LLLAr-,2sinA.3sinC4、历卜sin43sinC

百斤以3iV2>(31V2、V2sirii4+sinC_4V2+sinC+sinA>\sinCsinA_4yf2+2\[6_

sinAsinC—'sinAsinC，，+丁，+丁一仿+丁，+丁

~'2-~~2~-2~~~2~

2(V3+1).

故答案为：2(V3+1).

8.【答案】

【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得3=2A,

由锐角三角形求得48的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为一二，由正弦函

smB

数性质可得范围.

【解析】因为Z?2-Q2=QC，由余弦定理得A?=〃2+。2_2QCCOS5,

所以ac=—2accosB,c=2acosB+a,

由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA,

所以sinA=sin(A+B)-2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-2sinAcosB

=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)，

因为△ABC为锐角三角形，所以A=3—A,B=2A,C=%—3A,

由4B,C€(0，D，得BG

11_cosAcosB_sinBcosA