中考数学专项复习：相似（原卷版）

清单07相似（11个考点梳理+题型解读+核心素

养提升+中考聚焦）

【知识导图】

两个边数相间的多边形.三个角分别相等,三条边成比例的两个

如果它们的角分别相等，定义三角形叫做相似三角形______

边成比例.那么这两个基本网条直线裱二组平行线所裁:

相

多边形叫做相似多边形定义手坪事实所得的对应线段成比例

似

多成例平行于三角形一边的直级假其

、1

对应角相等，对应边成比例边他两边（或两边的延长线）.

形推论.所得的对应线段展鹏

周长比等于相似比.面积比空J

等于相似比的平方对应角相等,对磔I双比例

>相对应线段（高、中线、角平分线等）的比

性质」I等于相似记____________________

似

三

建盛朝、春器鑫器=I7周长的比等于相似比.面积的比等于相

一比的平方

交于一点

南行各形二边的直线和其他两边相

确定位似中心，找关键交.所构成的三多曼与原三角形相似

位

点,作关健点的对应点作图两角分别相等的两个三

似判定形相似n―"fS应S关S系T；

坐标系中的q-----------------.......

位似变化两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

9-

M成比例的M个三角外相似

（b以原点为位假中心一

'Jt为新图形与原图形而相似比.利用视靓测量物高

应用利用部长嚣■物高

（ka,砌或（-S-kb）

’利用其他方法构成相似三角形测最足寓

【知识清单】

知识点一、图形的相似的概念

形状相同的图形叫做相似图形。

1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；

2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；

3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。

【例1】（2022•辽宁铁岭•九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个正方形B.两个矩形C.两个菱形D.两个平行四边形

知识点二、成比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

nC

1）若四条线段a、b、c、d成比例，则记作巴=上或a:6=c:d。注意四条线段的位置不能随意颠倒。

bd

2）四条线段a、b、c、d的单位应一致（有时为了计算方便，a、6的单位一致，c、d的单位一致也

可以）

3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第

二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。

4）比例的重要性质：

基本性质：若@=二，则ad=bc；反之，也成立。和比性质：若3，,则*=£±《；

bdbdbd

更比性质：若q=则@=2；反比性质：若@=则2=4；

bdcdbdac

等比性质：右一=—=…=一他+dn------F〃wO）,贝U-------------------=一。

bdnb+d\-nb

5）拓展：①比例式中，2二9或（a：b=c：d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a>c叫前项，b、d

bd

叫后项，如果b=c,那么6叫做a、d的比例中项。

②把线段分成两条线段4c和64使4G叫做把线段46黄金分割，C叫做线段的黄金分割

点。

【例2】（2022•黑龙江•肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm,5cm,8cm

C.5cm,15cm,3cm,9cmD.8cm,4cm,lcm,3cm

知识点三、平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。

AT1

【例3】（2022•河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB//CD//EF,若/=彳，50=5,则。尸=

CE2

A.5B.10C.15D.2.5

【变式】（2022•黑龙江•肇源县第二中学九年级期末）如图，是“3C的中线，点E在上,

AD=4DE,连接3E并延长交NC于点尸，则诙：尸C的值是（）

A

知识点四、相似多边形的性质与判定

（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。

（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。

【例4】（2022•四川宜宾•九年级期末）如图，四边形48cos四边形4=80。，ZC=90°,

/尸=70。，则的度数为（）

【变式】（2022•福建三明•九年级期末）两个相似多边形的周长比是2：3,其中较小多边形的面积为

12cm2,则较大多边形的面积为cm2

【变式2】（2022・陕西•西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.古希腊很

多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形/BCD为黄金矩形，AB<AD,以为边在矩形

ABCD内部作正方形ABEF,若40=1,则DF=.

--------fQ

【变式3】（2022•江西吉安•九年级期末）如图，矩形。5CD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴

上，反比例函数了=勺的图象与该矩形相交于E,尸两点，以这两点为顶点作矩形CE/R我们约定这个矩

形CE/斤为反比例函数＞=勺的"相伴矩形已知点C的坐标为（8,6）,BE=2.

⑴求点F的坐标;

（2）求证："相伴矩形"CE4尸与原矩形OBCD相似.

知识点五、相似三角形的相关概念

1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。

三角形相似具有传递性。

2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。

3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。

若两个相似三角形的相似比是1,则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一

种特例。

【例5】下列说法一定正确的是（）

（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似

（B）对应角相等的两个三角形不一定相似

（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似

知识点六、相似三角形的判定

判定1:如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。

【例6】（2022•河南・测试•编辑教研五九年级期末）如图，若PA=PB,ZAPB=2ZACB,/C与尸8交于点

D,且网=4,PD=3,则/DOC等于（）

P

【变式】如图，四边形48CD中，CE//AD,ZADC=ZACB=90°,E为N5的中点.

(1)求证：A4DCsA4cB.

EF

（2）若/。=4,AC=2有,连结交NC于点尸，求寸的值.

DF

知识点七、相似三角形的性质

1、对应角相等，对应边的比相等；

2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似

多边形的面积比等于相似比的平方。）

【例7】（2022・广西百色,九年级期末）如下图所示，在A48C中，点。在线段/C上，且

则下列结论一定正确的是（）

A.AB2=AC-ADB.AB2=AC-BD

C.ABAD=BC-BDD.ABAD=AD-CD

【变式1】（2022•黑龙江,肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形/8CD中，点E、尸分别在边

0c上，AABEsQEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.

【变式2】如图，在6x6的方格纸中，每个小正方形边长都是1,“BC是格点三角形（顶点在方格顶点

处）.

⑴在图i中画格点△44G，使△44G与448c相似，相似比为2:1.

（2）在图2中画格点△a^G，使△N/zG与AABC相似，面积比为2:1.（注：图1、图2在答题纸上.）

知识点八、利用相似三角形测高

1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。

2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须

是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。

【例8】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一

条直线上（点F,B,D也在同一条直线上）.己知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求树高CD.

知识点九、位似的概念及性质

1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。

相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似

图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。

2）相似图形与位似图形的区别与联系：

区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；

②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。

联系：位似图形是特殊的相似图形。

3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。

4）、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。

【例9】（2022•浙江•诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图，AABC与尸位似，点。为位似中心.已

知则。3c与△£＞斯的面积比为（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于

1,则通过位似变换把原图形缩小。

画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延

长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。

【例10］如图，三个顶点的坐标分别为4（1,2）,8（3,1）,C（2,3）,以原点。为位似中心，将“3C放

⑴在图中第一象限内画出符合要求的A48'C'（不要求写画法）

⑵计算AHB'C'的面积.

【变式1］（2022•山西朔州•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，与A48'C'是位似图形，则位

似中心是（）.

C.(6,1)D.(7,1)

【变式2】（2022•山西晋中•九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件,

在平面直角坐标系中画出了ZU3C的位似图形ZU//G.

⑴在图中标出ZU3C与W///G的位似中心M点的位置，并写出/点的坐标：

（2）若以点。为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出ZU/BG的位似图形ZU42c2，且ZU//G

与ZU232c2的位似比为2：1（只画一种类型）.

知识点十一、图形的变换与坐标

1）、平移：（1）图形沿X轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移A个单位时，横坐

标应相应地加〃个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐

标上加、下减。

2）、轴对称：（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形

沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。

3）、以原点为位似中心的位似变换

在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等

于A（对应点在位似中心同侧）或者一A（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为（根,〃）,

则其位似图形对应点的坐标为（6%如）或（-后巩-左〃）=

【例已知点40,3）,5（-4,8）,以原点。为位似中心，把线段缩短为原来的点。与点2对

4

应.则点。的坐标为（）

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(一1,2)或(1,一2)D.(2,-1)或(一2,1)

【变式】已知：△4BC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为/(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正

方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出△48C向下平移4个单位长度得到的△4BG，点G的坐标是；

⑵以点8为位似中心，在网格内画出使△/282C2与△/8C位似，且位似比为2：1；

⑶四边形442c2c的面积是平方单位.

【核心素养提升】

1.数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题

1.(2022•江西吉安•九年级期末)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿/8=2m,它

的影子2C=1.5m,木竿尸。的影子有一部分落在了墙上，它的影子0N=1.8m,MN=0.8m,木竿尸。的

长度为

Q

2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理

2.(2022•福建三明•九年级期末)如图，正方形ABCD中，点尸是2C边上一点，连接/尸，以/尸为对角

线作正方形/EFG,边尸G与NC相交于点〃，连接。G.以下四个结论：

①ZEAB=NBFE=/DAG；

②△/CFS/UDG；

③AH-AC=6AE2；

@DG±AC.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

3.分类讨论思想

3.（2022•河南南阳•九年级期末）在RM4BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=S,过点3作射线

BM//AC.动点。从点/出发沿射线NC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点£从点C沿射线

/C方向以每秒2个单位的速度运动.过点E作所交射线于尸，G是E尸中点，连接。G.设点

。运动的时间为f,当△DEG与相似且点。位于点E左侧时，/的值为.

4.方程的思想

4.（2022•广西梧州•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，己知04=12厘米，08=6厘米.点P从

点O开始沿CM向点/以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿B0向点。以1厘米/秒的速度移

动.当一点运动到终点时，另一点也随之停止.如果P、0同时出发，用/（秒）表示移动的时间（0<t<6）,

求当△尸与A/05相似时f的值.

5.（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在RtZ\48C中，N4CB=9Q°,AC=BC=5,点。为射线上一

动点，且点8关于直线CD的对称点为点£,射线/£与射线交于点尸.

（1）当点。在边N2上时，

①求证：ZAFC=45°；

②延长/尸与边C5的延长线相交于点G,如果△班G与△ADC相似，求线段AD的长;

（2）联结C£、BE,如果S0CE=12,求S-BE的值•

备川图

噌

U【中考热点聚焦】

热点1.相似三角形的性质

1.（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4,则这两个三角形对应边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

2.（2023•怀化）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点/的坐标为（1,0）.把△/OB按如图所

示的方式放置，并将△NO8进行变换：第一次变换将绕着原点。顺时针旋转60。,同时边长扩

大为边长的2倍，得到△4。约；第二次旋转将△小绕着原点。顺时针旋转60°,同时边长

扩大为△4081边长的2倍，得到△/2。&，…•依次类推，得至!J△/2023O82023，则△/2023。为023的边

长为，点42023的坐标为•

热点2.相似三角形的判定和性质的综合应用

3.（2023•雅安）如图，在口N8CD中，尸是/。上一点，CF交BD于点、E,C广的延长线交3/的延长线于

点G,EF=1,EC=3,则G尸的长为（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2023•哈尔滨）如图，AC,AD相交于点。，AB//DC,〃是N5的中点，MN//AC,交2。于点N,若

5.（2023•东营）如图，△/BC为等边三角形，点。，£分别在边8C,AB±,ZADE=60°.若BD=

4DC,DE=2.4,则4D的长为（）

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

6.（2023•东营）如图，正方形48c。的边长为4,点E,厂分别在边DC,3c上，S.BF^CE,4E平分/

CAD,连接。R分别交/E,NC于点G,M.尸是线段/G上的一个动点，过点尸作PNL4C,垂足为

N,连接PM.有下列四个结论:

①NE垂直平分DM；

（2）PM+PN的最小值为3&；

③CF2=GE，AE；

④S/\L=6^/2-

其中正确的是（）

A.①②B.②③④C.①③④D.①③

7.（2023•恩施州）如图，在△4BC中，DE〃BC分别交AC,48于点。，E,EF〃4c交BC于点、F,

妪=2,BF=8,则DE的长为（）

BE5

57

8.（2023•内江）如图，在中，点。、£为边的三等分点，点RG在边3c上，AC//DG//EF,

点X为4F与。G的交点.若NC=12,则。〃的长为（）

A.1B.—C.2D.3

2

9.（2023•邵阳）如图，CALAD,点8是线段川9上的一点，MCBLBE.已知/3=8,AC=6,

DE=4.

（1）证明：AABCs^DEB.

（2）求线段AD的长.

c

10.(2023•云南)如图，3c是。。的直径，/是O。上异于2、c的点.O。外的点E在射线C2上，直

线E4与CD垂直，垂足为。，S.DA-AC=DC-AB.设△48E的面积为△NCD的面积为

(1)判断直线瓦1与O。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若BC=BE,S2=mSv求常数加的值.

11.(2023•苏州)如图，△A8C是。。的内接三角形，48是O。的直径，/。=遍，BC=2遥,点尸在

AB上，连接C尸并延长，交O。于点。，连接2D,作2ELCD,垂足为£

(1)求证：△DBES£\4BC；

(2)若/尸=2,求矶)的长.

E

D

热点3.应用相似三角形知识解决实际问题

12.（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后

向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛

离地面高度为1.6〃?，同时量得小菲与镜子的水平距离为2加，镜子与旗杆的水平距离为10%,则旗杆高

度为（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

13.（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AD=BC,匹=亚=工）测量某个零件的内孔直径量得CD长

OB0A3

度为6cm,则AB等于cm.

Cr--,D

14.（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高