幂函数与二次函数（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第02讲募函数与二次函数

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第1题,5分解三次不等式交集的概念及计算

2023年新I卷，第1题,5分二次函数图象解不等式集合间的基本运算

二次函数单调区间求参数值函数的单调性求参数值

2023年新I卷，第4题,5分

或范围判断指数型复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握塞函数的基本

性质，难度中等偏下

11厂

【备考策略】1.掌握事函数的定义及一般形式，掌握y=x,y=x2/=x3,y=xT=—,v=x2=4的图象

X

和性质

2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）

3.理解并掌握嘉函数＞=x"，a=里（&w0）的单调性和奇偶性

P

4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识点1嘉函数的图象

知识点2幕函数的单调性

______________知识点3-函数的奇偶性

核心知识点知识点4二次函数的图象与性质

知识点5二次函数的单调性与最值

知识点6解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点1幕函数的图象

考点2幕函数的单调性与奇偶性

考点3利用黑函数单调性进行大小比较

核心考点考点4幕函数的综合应用

考点5解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点6二次函数的综合应用

知识讲解

1.幕函数

(1)塞函数的定义及一般形式

形如y=xa(aeR)的函数称为暴函数，其中x是自变量，a为常数

(2)塞函数的图象和性质

①塞函数的单调性

。＞0时，/(尤庵第一象限单调递增

。＜0时，/a胜第一象限单调递减

②嘉函数的奇偶性

a为整数卜为偶数’小）为偶函数

比[a为奇数，/（x）为奇函数

f（x）=Xa\[p为偶数时，/（X）为非奇非偶函数

。为分数，设。=2用3粉叶k为奇数，/（X）为奇函数

,0为奇数时《为偶数，/⑴为偶函数

2.一元二次方程:

ax2+bx+c=0（。w0）

①方程有两个实数根=A=b2-4ac>0

A>0

②方程有同号两根=<c

xxx2=—>0

、a

A>0

③方程有异号两根=<c

xx=—<0

r2a

bc

④韦达定理及应用：X]+/=--,XyX——

~a2a

X；+X；=（X]+々）2—2再々，k一12|=J（再+、21—4项/=~~i~i—----；~;---

2

X：+X：=（X]+x2）（x；-X[X2+xf）=（Xj+x2）[（X]+x2）-3中2]

3.二次函数

2

2,zb.24ac-b.c、小曰b

①一般式:y—cix+bx+c—H---）H-------（awO）,对称轴ZEX=-------,

2a4。2a

后上日/b4ac-b.

顶点是（一一,-------）；

2a4a

②顶点式：y=a（x+加了+左（aw0）,对称轴是％=-私顶点是（一掰，左）；

③交点式：y=。（%-玉）（%-％2）。0），其中（国,0），（x250）是抛物线与入轴的交点

4.二次函数的性质

9b

①函数y=ax2+ZZX+C（Qw0）的图象关于直线、=----对称。

2a

②Q〉0时，在对称轴（、=-■2）左侧，y值随X值的增大而减少；在对称轴（、=--2）右侧；y

2a2a

h4dC—/72

的值随X值的增大而增大。当x二-二时，1取得最小值

2a4a

③。<0时，在对称轴(x=—2)左侧，y值随X值的增大而增大；在对称轴(x=-2)右侧；j

2a2a

b4(jc—h~

的值随X值的增大而减少。当x=-2时，■取得最大值

2a4。

5.解一元二次不等式

“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系

判别式

A>0A=0A<0

A=62-4ac

一元二次方程有两个不等实根有两个相等实根

2

ax+bx+c=0(aw0)x1,x2(设b无实数根

Xi=Xj--------

的根X]<x2)la

11

二次函数IZ

y=ax2+bx+c(a>0)V

X|X2

的图象vv0\Xl=X2X

n\x

2卜…》

ax+bx+c>0(a>0){X|X<X^4X>X}

12R

的解集

ax2++c<0(a>0)

kk<x<x2]

的解集00

6.解分式不等式

①<0O/(x)g(x)<0②〉0o/(x)g(x)>0

/㈤J\.x)

③纲W0n网g，<0④纲2J/(x)g(x)20

/(x)1/(X)H0/(x)1/(*o

7.解单绝对值不等式

Ixl>a{a>0)nx<或x2a,x|<a(a>0)=>-Q<x<a

考点一、幕函数的图象

■典例——引领

1.(23-24高三•阶段练习)已知哥函数/(x)的图象过点(16,4),则函数“X)的图象是()

二

2.（2023高三・山西运城•学业考试）如图的曲线是塞函数y=x"在第一象限内的图象.已知"分别取±2,土;四

个值，与曲线G、G'G'Q相应的〃依次为（）

3.（23-24高三•阶段练习）函数〃月="2+2》+1与g（x）=/在同一直角坐标系中的图象不可能为（）

即时性测I

1.（23-24高三•阶段练习）已知哥函数的图象经过点尸（8,4）,则该幕函数的大致图象是（）

2.（23-24高三•阶段练习）（多选）现有4个塞函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）

B.p=4,加=3,q=_,n--2

D.p=于加=§，q=-2,H=—

3.(22-23高三•全国•对口高考)给定一组函数解析式：

(Dy=；(2)y=;y=x;y=x;)y=X'；(Z)y='

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

考点二、塞函数的单调性与奇偶性

典例引领

L（上海•高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+◎上单调递减的函数为（）

22

A.y=x~B.>=/C.y=xD.y=x3

2.（2023・全国•专题练习）如图所示是函数y=/（冽、〃cN*且互质）的图象，则（)

B.加是偶数，〃是奇数,且生＜1

n

c.力是偶数，"是奇数，且竺＞1D.m,〃是偶数，且巴＞1

nn

3.（23-24高二下•浙江•期中）幕函数加eZ）的图象关于了轴对称，且在（0,+动上是减函数，则

m的值是（）

A.1B.2C.3D.4

即时检测

1.（1993,全国•高考真题）函数y=£在［-1,1］上是

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数

C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

2.（2024・全国•模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（

A./(x)=-3x5B.〃x)=2*

C.〃x)=：D.〃司=一2/

3.(2024•广东广州•模拟预测)若基函数〃x)=(苏-加-1卜2片3在(0,+动上单调递增，则实数机的值为

()

A.2B.1C.-1D.-2

考点三、利用募函数单调性进行大小比较

典例引领

232

L(安徽•高考真题)设a=(|J,b=^|J,C=(|J，则a，b,c的大小关系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

231

2.（2023•广东广州•二模）已知〃b=V9c=41，则（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

即典性遐

22

1.（2024•福建三明•三模）若a=j^_|y=,c=log^l,则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

2.设0==则c的大小关系是()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

考点四、卷函数的综合应用

.典例引领

1.(2024•吉林•模拟预测)请写出一个募函数/(x)满足以下条件：①定义域为［0,+与；②/(x)为增函数；③

对任意的占，工240,+功，都有/［土产小学则〃x)=.

2023

2.(2023・全国•模拟预测)已知x,"R,满足(x-1芦3+x=g,(2^+1)+27=-|,贝ljx+2y=()

A.-1B.0C.1D.2

即时检测

1.（2024・云南曲靖•一模）如图，在第一象限内，矩形NBCD的三个顶点43,C分别在函数

y={og^x,y=x\y=与的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若/点的纵坐标是2,则。点的

TI3J

坐标是.

2.（2024•全国，模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数：/（可=.

①小）的定义域为R；②xeR,〃川一（、）；③。-，都有m;得弋.

考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

典例引领

1.(2024・上海•高考真题)已知xeR,贝I］不等式无2-2x-3<0的解集为.

2

2.(全国•高考真题)不等式yV—>。的解集是()

x+3

A.(-3,2)B.(2,+8)

C.(-oo,-3)U(2,+oo)D.(-00,-2)u(3,+oo)

3.(2024•全国•高考真题)已知集合/=3-5</<5},3={_3,-1,0,2,3},则八()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{-3,—1,0}D.{-1,0,2}

即时检测

L(2024•福建福州•一模)已知集合/=B={X|X2-3X<0},则()

A.{x\x<2^x>3}B.{x|-2<x<3}

C.1x|0<x<2!D.{x|x<-2x>3}

2.(2024・全国•一模)已知集合〃={X£胃1082国<1}，A^={x|x3-x<0},则McN=()

A.{-1,1}B.{-1,0,1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,—1,0,1}

3.(23-24高三上•河南南阳•阶段练习)不等式(丁_2、-3)(%2+4]+4)<0的解集是()

A.或x>3}B.{x[T<x<2或2Vx<3}

C.{x|-l<x<31D.{x|-2<x<3}

考点六、二次函数的综合应用

典例引领

1.（2023•全国,高考真题）设函数〃无）=2"-"）在区间（0,1）上单调递减，贝IJ”的取值范围是（）

A.(-叫-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

（2024•全国•模拟预测）若函数/（乃=9-（加-2）x+l|在上单调，则实数机的取值范围为（

A.U3,-B.U

%1_2_L2_1_2—L2J

总11U341

C.D.4,2u3,|

22

3.（2024•广东揭阳•二模）已知函数/四=-X2+办+1在（2,6）上不单调，则。的取值范围为（

A.(2,6)B.(-co,2]U[6,+00)

C.(4,12)D.(-叫4]U[12,+s)

x一lax,x>1

4.(2024•陕西渭南•二模)已知函数〃x)=a是R上的增函数，则实数。的取值范围是()

—x-l,x<1

12

A.(0,1)B.(0,1]C.(0,1)D.(0,1]

5.（2024・四川成都•二模）已知函数/（X）=2,+2，+。的值域为“.若则实数。的取值范围是

A.(-℃,!)B.(-oo,l]C.(l,+8)D.[1,+co)

即时性测I

1.（2024•辽宁・一模）若函数〃X）=3*+Q在区间（1,4）内单调递减，则。的取值范围是（）

A.(-8,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+oo)

2.（2024•山东•二模）已知函数［（x）=2/一加x+1在区间［T,+s）上单调递增，则/⑴的取值范围是

).

A.[7,+<»)B.(7,+co)

C.(-8,7]D.(-oo,7)

I,I上单调，则实数加的值可以为

3.（2024•河南信阳•模拟预测）若函数/（x）=,-（加-2）x+l|在

)

15

A.-1B.——C.一D.3

22

"一T“<"的值域为R,则实数a的取值范围

4.（23-24高三下•福建・开学考试）己知函数〃x）=<

\x—2a\—2,x>a

为.

5.（2024・河南■模拟预测）已知函数/@）=k2-6》+7］在［1,〃?］（加>1）上的最大值为人，在［加,2加-1］上的最

大值为8,若A22B,则实数小的取值范围是

L好题冲关

基础过关

一、单选题

1.（2024・山东日照•二模）已知累函数的图象过点（2,4）,则函数的解析式为（）

X2

A.y=2B.y-xC.y=log2xD.y=sinx

2.（2024•山东日照・二模）己知,则是％3>产的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・北京朝阳•一模）已知aeR,则是"函数〃x）=（l-a）x3在R上单调递增〃的（

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024・辽宁•模拟预测）若a>b,则下列说法正确的是（）

A.a2>b2B.lg(a-6)>0C.a5>b5D.

5.（2024•广西•二模）下列函数中，在（0,2）上单调递增的是（）

A.f(x)=Vx-1B./(x)=x2-2x

c-=:D.=/

6.(2024•全国•模拟预测)已知集合私<2},N={X4-8X-20<0},则MCN=()

A.1x|-2<x<10jB.1x|0<x<8|C.{x[2<x<10}D.1x|-2<x<81

7.(2023•江苏徐州•模拟预测)已知函数/(x)=x2+(q-l)x-l的单调递增区间是口,+8),则实数。的值是

()

A.—3B.3C.-1D.1

/、x2+x,-2<x<0/、

8.（2024•北京西城・一模）已知函数/（x）=,若/（x）存在最小值，贝心的最大值为（）

-y/x,0<x<c

1111

A.—B.—C.—D.-

16842

fy3—1Y<1

9.（2024•新疆喀什・二模）已知函数〃无,满足〃-°）,则实数。的取值范围是

[lux,x>1

（）

A.（-oo?2）B.（2,+oo）C.（一吗0）D.（0,+a?）

二、填空题

10.（2023•广东珠海•模拟预测）已知函数/卜）=—+g—2%+1在区间[2,+8）上是增函数，则实数加的取

值范围是.

能力提升,

一、单选题

1.（2023・四川成都•模拟预测）塞函数〃x）=（--3加-3卜皿在区间（0,+。）上单调递减，则下列说法正确的

是（）

A.机=4B./（x）是减函数

c.〃X）是奇函数D.〃X）是偶函数

2.（2024・广东•一模）已知集合/若0,6,ce/且互不相等，则使得指数函数了=优,

对数函数y=bg/,幕函数＞=中至少有两个函数在（。,+⑹上单调递增的有序数对（。也c）的个数是

（）

A.16B.24C.32D.48

3.（23-24高三上•广东深圳,期末）已知实数机,”满足（加+1）3+旭=（"-厅+"=0,则一=（）

m

A.-1B.1C.-2D.2

二、填空题

4.（2024・北京延庆•一模）己知函数/（砌=当0＜戊＜1）在区间（-1,0）上单调递减，则。的一个取值

为.

5.（2024・陕西安康•模拟预测）已知命题〃：函数〃x）=xd+m在区间（。,+°°）上单调递增，命题9：m＜a,

若P是9的充分不必要条件，贝吐的取值范围是.

1

6.（22-23高一上•全国•课后作业）已知幕函数/（刈=匕）记，若则。的