2025年福建省高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年福建省高考数学模拟试卷

一、单选题

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},7V={X|X2-X-6^0},则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知命题0：V.xeR,|x+l|>l,命题q：3x>0,x3=x,贝U（）

A.p和q都是真命题B.「p和q都是真命题

C.p和都是真命题D.「p和「q都是真命题

3.设a,b是向量，则"（a+b）•（a-b）=0"是"a=-b或a=b"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.莺是鹰科的一种鸟，《诗经•大雅•旱麓》日“莺飞戾天，鱼跃于渊”.莺尾花因花瓣形如莺尾而得名（图

1）,寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度和花瓣长度（单

位：cm）,绘制对应散点图（图2）如下：

计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105.根据以

上信息，如下判断正确的为（）

A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系

B.花萼长度与花瓣长度负相关

C.花萼长度为7cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm

D.若选取其他品种莺尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

5.若（2%-I）,=（14/+。3炉+a2X?+的久+劭，则。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

第1页（共14页）

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列

方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

7.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

1112

A.-B.—C.-D.—

6323

8.已知4=2。，7,b=c=log2^则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、多选题

9.有一组样本数据XI，X2,…，X6,其中XI是最小值，X6是最大值，则（）

A.X2,X3，X4,X5的平均数等于XI,X2,…，X6的平均数

B.X2,X3,X4,X5的中位数等于XI，X2,…，X6的中位数

C.XI,X3，X4,X5的标准差不小于XI,XI,•••,X6的标准差

D.X2,X3,X4,X5的极差大于XI,X2，…，X6的极差

（多选）10.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面

向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件/表示“3次结果中有正面向

上，也有反面向上”，事件3表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面

向上”，则（）

A.事件3与事件C互斥

3

B.P（B）=|

C.事件/与事件3相互独立

D.记C的对立事件为C,则P（B|C）=1

（多选）11.若函数/G）勿X+/+袅既有极大值也有极小值，贝!I（）

A.6c>0B.ab>0C.b~+8ac>0D.ac<0

三、填空题

12.已知随机变量X服从正态分布N（2,小），且尸（2VXW2.5）=0.36,则P（X>2.5）=.

13.（1-q）（x+y）8的展开式中的系数为（用数字作答）.

14.若曲线y=（x+a）/有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

四、解答题

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15.已知函数/(%)=(2x2-5x+4)

(1)求歹=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/G)的极值.

16.记△45。的内角4,B,C的对边分别为〃，b,c,分别以。，b,c为边长的三个正三角形的面积依次

为S1，S2,S3.已知S1-S2+S3=搭，sin5=1.

(1)求△/BC的面积；

(2)若sirb4sinC=辛，求6.

17.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50机以上(含9.50加)的同

学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得

到如下数据(单位仅)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

18.已知函数/(x)=a(F+Q)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>2Zna+1.

19.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)

的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调

查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，/表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，3表示事件“选到的人患

第3页(共14页)

有该疾病”,知与㈱的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指

标为R.

R=P(d|B).P(才吵

(i)证明:

P(A\B}P(4历)

（ii）利用该调查数据，给出PCA\B）,PU|5）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

n^ad—bc')2

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P（烂、左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

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2025年福建省高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},"={4?-工-620},则MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【解答】解：-x-620,.。(x-3)(x+2)20,二无N3或xW-2,

N—(-8,-2]U[3,+8),则MCN={-2}.

故选：C.

2.已知命题0：VxeR,|x+l|>l,命题q：3x>0,x3=x,贝I]()

A.p和q都是真命题B.「p和q都是真命题

C.p和「g都是真命题D.「p和「q都是真命题

【解答】解：命题：0：VxGR,|x+l|>1,x=~1时，不成立，所以命题：p是假命题；则Fp是真命题.

命题q：3x>0,x3=x,x=l时成立，所以命题q是真命题，是假命题；

所以10和q都是真命题.

故选：B.

3.设a,b是向量，则"(a+b),(a—b)=0"是"a=—6或a=b”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

—>T—>T

【解答】解：根据题意,若(a+b)•(。-b)=0,则次一庐=o,即回=网，

->T—T

则。=一匕或a=Z?不一定成乂，

T->_>—>_>_>_>_>_>—>_>—>

反之，若。=一力或a=b,必有同=|加，即小一扶=0,变形可得(a+b)•(a-b)=0,

7T-»T

故"(a+b)•(a—b)=0"是"a=—b或a=b"的必要不充分条件.

故选：B.

4.莺是鹰科的一种鸟，《诗经•大雅•旱麓》曰''莺飞戾天，鱼跃于渊”.莺尾花因花瓣形如莺尾而得名(图

1),寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度和花瓣长度(单

位：cm),绘制对应散点图(图2)如下：

第5页(共14页)

计算得样本相关系数为0.8642,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105.根据以

上信息，如下判断正确的为（）

A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系

B.花萼长度与花瓣长度负相关

C.花萼长度为的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612”?

D.若选取其他品种莺尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

【解答】解：对于/£因为相关系数r=0.8642>0.75,且散点图呈左下角到右上角的带状分布，

所以花瓣长度和花萼长度呈正相关，且相关性较强，故/,8选项错误；

对于C,当x=7时，代入经验回归方程为y=0.7501x+0.6105,可得>=5.8612,

所以花萼长度为7cw的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612c%,故C选项正确；

对于。，若选取其他品种莺尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定是0.8642,

故。选项错误.

故选：C.

5.若（2%-I）’=ad4+。3炉+a2%?+的久+劭，则。0+。2+。4=（）

A.-40B.40C.41D.82

4432

【解答】解：根据（2x-I）=a4x+a3x+a2x+axx+a0,

令X=l,故（2-1）4=1=44+03+02+。i+ao，

令工="1,故34—1—<74-。3+。2-。1+。0，

34+1

所以ao+a2+a4—―，一=41.

故选：C.

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列

方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有用.4卜48种情况，

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甲站在两端的情况有C%i/=24种情况，

...甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48-24=24种，

故选：B.

7.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有第=21种方式，

其中互质的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14种,

142

故所求概率为五=--

故选：D.

8.已知a=20-7,°=0产，c-log2^则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【解答】解：因为褰函数尸达7在（0,+8）上单调递增，且2%,

所以20,7>弓）。-7>0；

1

又函数y=log”在（0,+8）上单调递增，所以/。先可Vogl=0.

故a>b>c.

故选：C.

二、多选题

9.有一组样本数据XI,X2,…，X6，其中XI是最小值，X6是最大值，则（）

A.X2,X3,X4,X5的平均数等于XI,X2,…，X6的平均数

B.X2,X3,X4,X5的中位数等于XI,X2,…，X6的中位数

C.X2,X3,X4,X5的标准差不小于XI,X2，…，X6的标准差

D.XI,X3，X4,X5的极差大于XI,XI,X6的极差

【解答】解：对于选项/:设X2,X3,X4,X5的平均数为加，XI，X2,…，X6的平均数为",

皿勺+无2+*3+%4+冽+%6次+*3+*4+尤52（X+X）-（X+X+X+X）

则九-m=---------6-----------------4-----=----1----6---152---2---3----4-，

因为没有确定2（X1+X6），X5+X2+X3+X4的大小关系，所以无法判断加，〃的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得机=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2,：.m<n；

第7页（共14页）

例如1，2,2,2,2,2,可得爪=2,n=^,：.m>n；故N错误;

对于选项C：因为是最小值，了6是最大值，

则X2,X3,X4,X5的波动性不大于XI，X2,…，X6的波动性，即X2，%3,%4,X5的标准差不大于％1，X2,…,

X6的标准差,

1

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数n=G(2+4+6+8+10+12)=7,

标准差S]=[(2-7)*1234+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(12—7)2]=邛

1

4,6,8,10,则平均数爪="(4+6+8+10)=7,

标准差S2=[(4-7/+(6-7/+(8-7)2+(10-7)2]=V5,

V105l

显然--—>Vs,即S1>S2；故C错误；

对于选项3：不妨设XlWx2Wx3(X4Wx5Wx6，

可知X2,X3,X4,X5的中位数等于XI,X2,…，X6的中位数均为%|2，故2正确；

对于选项D:不妨设X1WX2WX3WX4WX5WX6，

则X6-X12X5-X2,当且仅当X1=X2,X5=X6时，等号成立，故D错误.

故选：B.

(多选)10.甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面

向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件N表示“3次结果中有正面向

上，也有反面向上”，事件3表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面

向上”，则()

A.事件3与事件C互斥

B.P(F)=|3

C.事件/与事件8相互独立

D.记C的对立事件为C,则P(B|C)=,

【解答】解：对于a事件3与事件c能同时发生，不是互斥事件，故/错误；

41

对于2,尸(2)=方=z，故3错误；

,113123

对于C,P(4)=l—gig=4，P(B)=2，P(4B)=—g,

P(AB)=P(/)P(B),事件/与事件3相互独立，故C正确；

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—r*1.1

对于D,P(C)=i=1,P(5|C)==故D正确.

2，y尸(。)i-1/

故选：CD.

(多选)11.若函数/G)=a/"x+/+强(aWO)既有极大值也有极小值，贝！I()

A.bc>0B.ab>0C.序+8。。>0D.ac<0

【解答】解：函数定义域为(0,+8),

曰〃x_ab2c_ax2—bx—2c

)Xr~xx2x3~x3'

由题意，方程，(x)=0即〃f_及-2c=0有两个正根，设为xi,Xi,

则有xi+x2=£>0,xiX2=-—>0,A=b2+Sac>0,

ab>0,ac<0,

ab*ac=a~bc<0,即bc<0.

故选：BCD.

三、填空题

12.已知随机变量X服从正态分布N(2,尸)，且尸(2CXW2.5)=0.36,则P(X>2.5)=0.14.

【解答】解：•••随机变量X服从正态分布N(2,。2),

：.P(2CXW2.5)+P(X>2.5)=0.5,

：.P(X>2.5)=0.5-0.36=0.14,

故答案为：0.14.

13.(1—()0+y)8的展开式中x2科的系数为-28(用数字作答).

【解答】解：由已知可得(1-^)(x+y)8=(x+y)8-^(x+y)8,

所以由二项式定理可得多项式(1-3)0+y)8的展开式中含x2/的项为爆2y6_Zc|x3y5=-28x2y6,

(1—3)(x+y)8的展开式中x2/的系数为-28.

故答案为：-28.

14.若曲线》=(x+a)，有两条过坐标原点的切线，则Q的取值范围是(-8,-4)U(0,+8).

【解答】解：y'="+(x+a)",设切点坐标为(xo,(XO+Q)ex°),

・•・切线的斜率k=a。+(x0+。)/°，

xxx

・••切线方程为y-(xo+a)e°=(e°+(x0+a)e°)(x-xo),

第9页(共14页)

xzx

又•切线过原点，.-(xo+a)e°=(e°+(x0+a)e°)C-xo),

2

整理得：x0+ax0-a—0,

..•切线存在两条，...方程有两个不等实根，

/.A=a2+4a>0,解得。<-4或。>0,

即a的取值范围是(-8,-4)U(0,+8),

故答案为：(-8,-4)U(0,+°°).

四、解答题

15.已知函数/(x)=(2x2-5x+4)

(I)求y=/G)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的极值.

【解答】解：(1)函数/(x)的定义域为R,fG)=⑵2_x-1)

所以/(0)=-1,

又/(0)=4,

故y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y-4=-(x-0),即x+厂4=0.

(2)令/(x)=0,贝!!2/-x-1=0,

1

解得久1=-2，x=\,

所以当xV—9时，f(x)>0,f(x)单调递增，

1

当一2V%VI时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当%>1时，f(x)>0,/(x)单调递增，

111

所以当第=—鄂寸，/(x)取得极大值/(一方)=7g-2,

当％=1时，f(x)取得极小值/(I)=e.

16.记△45C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,分别以Q,b,c为边长的三个正三角形的面积依次

为S1,S1,S3.已知S1-S2+S3=噂,sin^=1.

(1)求△ZBC的面积；

(2)若siiL4sinC=半,求6.

【解答】解：(1)Si=^6z2sin60o二冬凡

S2=l^sinGO。=字抉，

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5*3=^-c2sin60°=-^-c2,

'：Si-S2+S3=拳2—鲁+景2=孚,

解得：a2-b2+c2=2,

VsinB=/-Z)2+C2=2>0,即cos5>0,

・・・cos5=孥,

2|2/j2272

cos5=ac

lac

解得：ac=

S“BC=^acsinB=申

V2

4ABe的面积为

8

bac

（2）由正弦定理得：—;

sinBsinAsinC'

._bsinA_bsinC

，

••Gsi'nBr'iCsi,nBn

由（1）得ac=

bsinAbsinC3A/2

・・ac=--------=------

sinBsinB4

已矢口，sinB=]siiL4sinC=孝,

解得：b=

、、।,etc9「

万法二、由嬴嬴^厂⑵）2,

21

即有2R=J,即b=2RsinB='

17.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50加）的同

学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得

到如下数据（单位加）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

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(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

【解答】解：(1)已知甲以往的9次成绩中有4次获得优秀奖，

若用频率估计概率，

4

则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为了

(2)若用频率估计概率，

31

则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为2

6L

丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为?=;

42

易知X的所有可能取值为0,1,2,3,

rn(w_八、5115n(寸_八_c5114117

则mi尸(X=0)=不x亍X5P(X=1)=2xdx亍x5+(6x5x5

7zZDO7zz7zzlo

n/V—c、511s41113n-、4111

P(X—2)=6X5X+2XGX亨XP(X—3)=6X3X=G，

yzzyzz3oyzzy

S711R

所以EX=0x+1x-TQ-+2X+3XQ-=-Q-；

DOloDOyy

(3)易知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为最

又丙投出过三人成绩中的最大值9.85/77,在三人中有一定优势，

故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大.

18.已知函数/(%)=a(犬+〃)-x.

(1)讨论/G)的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>2Zna+1.

【解答】解：(1)因为/(x)=a(/+a)-x,定义域为R,f(x)=aex-1,

当aWO时，，(x)=°炉-1<0恒成立，所以/(x)在R上单调递减；

当a>0时，令，(x)=ae(-1=0,解得x=-加°,

当x<-方a时，/G)<0,则/(x)在(-8,-历。)上单调递减；

当x>-Ina时，/(x)>0,则/(x)在(-勿°,+°°)上单调递增；

综上：当aWO时，/(x)在R上单调递减；

当a>0时，/(x)在(-8,-Ina)上单调递减，/(x)在(-Ina,+°°)上单调递增.

证明：(2)由(1)得，f(久)7n讥=f(一bia)=a(e-ma+或+bia=1+a?+)a,

第12页(共14页)

要证/'（%）>2万a+即证1+M+lna>2lna+彳即证/———仇。>0恒成立，

令g（d）=a2-—Zna（a>0）,贝!Jg（a）=2a-£=L

令g'（a）<0,则0VaV^^；令g'（a）>0,则

所以g（Q）在（0,孝）上单调递减，在（争+8）上单调递增，

所以9（。）加九=9（孝）=（辛）？—"I■—仇孝=br\/^〉0,则g（a）>0恒成立，

Q

所以当a>0时，/（久）>2m£1+恒成立，证毕.

19.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）

的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调

查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好