2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：数列求和（含新定义解答题）（学生版+解析）

二、填空题

8.（24-25高一上•陕西咸阳•开学考试）计算

11][1

A/20+4V4+76V6+V8^/98+^/i00----------

三、解答题

9.（24-25高三上•河北•阶段练习）已知数歹心见｝满足。用=2。“+3、2"，4=2.

（1）证明：数列[墨｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式.

（2）设2="，求数列电｝的前〃项和，“•

10.（23-24高三上•湖南•阶段练习）已知递增等差数列｛%｝满足：q=2,。,幻-2%包=a；+2an.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足〃=1+（T）Z，求数列也｝的前2n项和T2n.

11.（23-24高二下广东珠海•阶段练习）已知数列｛厮｝中，％=1,G„=2o„_1+l（n>2）.

⑴求｛an｝的通项公式；

n7/—1

⑵求和：ST—

«=11十%

12.(24-25高三上•内蒙古包头•开学考试)已知正项数列｛%｝的前"项和为S“，且

2s“=。”(q+1).

(1)求｛%｝的通项公式；

为奇数

⑵设或=<]”为偶数，求数列｛〃｝的前2"项和凡・

aa，

„„+i

B能力提升

1.(2024•福建泉州•二模)已知数列｛即｝和｛与｝的各项均为正，且生=18々，｛篇｝是公比3

的等比数列.数列的前n项和S,满足4S“=<+2an.

⑴求数列｛aj｛%｝的通项公式;

b"+3

⑵设%=+%cos”兀，求数列｛5｝的前〃项和

(£+3-3)(%T)

2.(2024•河北秦皇岛•二模)己知等比数列｛叫的前"项和为S,,且数列设,+2｝是公比为

2的等比数列.

(1)求｛。〃｝的通项公式；

n+2..1

(2)若2=〃加+八〃，数列也｝的前〃项和为小求证：Tn<-.

C综合素养（新定义解答题）

1.（23-24高二下•河南安阳•期中）在数列｛%｝中，4+，+§++-^-=J.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵设a=回]，求数列也｝的前12项和，其中[可表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,

[2.6]=2.

2.（23-24高三下•上海浦东新•阶段练习）已知实数列｛厮｝满足：ax=t,点（（4,%+J在曲

2x+m

线丁=（龙/-4）上.

x+4

⑴当r=2且祖=-1时，求实数列5｝的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若已表示不超过实数/的最大整数，令"=S“是

数列｛4｝的前〃项和,求邑侬的值;

⑶当f=2,a“>O（"N*）时，若则见=人存在，且出7<。2用〈人对〃eN*恒成立，求证:

k<a2n+2<a2n(neN

第04讲数列求和（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

L（24-25高二上・江苏镇江•开学考试）已知数列｛%｝的前，，项和为S,,.若4+%+1=2力+5,

贝”8=()

A.48B.50C.52D.54

【答案】C

【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列求和的其他方法

【分析】根据4,+。“+1=2”+5得到％+%=7,a3+(z4=11,a5+a6=15,%+6=19,相加

得到答案.

【详解】因为a“+”.+i=2"+5,所以卬+为=7，a3+«4=11,a5+a6=15,a7+a8=19,

所以58=7+11+15+19=52

故选：C

0y_

2.（24-25高三上•山东济宁•开学考试）/（8）=/，利用课本中推导等差数列前"项和的

2x-l

1?2022

公式的方法，可求得/（诉）+/（而去）++/(^—)=()

2023

A.1010B.1011C.2020D.2022

【答案】D

【知识点】倒序相加法求和

【分析】利用/（%）叩。-幻=2求解即可.

2x2(1-%)2x2—2x

【详解】/。）=泠7,故/（尤W（1T）=-----17~~：=------------二2,

2x-l2x—12(1—X)—12x—l2x-l

故/(---1-)+2022=2,/(--2-)+/(、20一21)二2,

2023202320232023

故/(—1M+/(^2)++于2022当202"2x2=2022.

2023202320232

故选：D

片，〃为奇数，

3.（24-25高二上•全国•课后作业）若数列｛g｝的通项公式是风=<，其前w项

二〃为偶数，

12

和为S",则S3。等于（）

A.120B.180C.240D.360

【答案】C

【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和

【分析】利用并组求和、等差数列的求和公式可得答案.

【详解】由题意得50=（4+4++/9）+（生+。4+，+/o）

=（1+2+.+15）+（1+2++15）

故选：C.

4.（23-24高二下•江苏南京•阶段练习）已知数列｛%｝满足q=1,g=3,

22

a„+2=（l-2sin^）a„+cos^,则该数列的前22项和为（）

A.69B.88C.89D.96

【答案】C

【知识点】分组（并项）法求和、由递推数列研究数列的有关性质、特殊角的三角函数值

【分析】利用条件分奇偶讨论巴+2,。“的关系，利用分组求和法计算即可.

【详解】当〃为奇数时，an+2=-an,

当〃为偶数时，。"+2=。"+1，

S22=%+%+/+,,,+%1+%2

=（4+/+•••+）+（42+04+，，•+%2）

=（1-1+1-1+---+1）+（3+4+---+13）=89.

故选：c

5.（24-25高三上•广东•阶段练习）已知数列｛4｝满足％=1,前”项和为S”，

-q=2"（〃eN*）,则邑期等于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3x21012-2D.3x21012-3

【答案】D

【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和

【分析】根据给定条件，求出的，再利用等比数列前〃项和公式计算即得.

【详解】数列忆｝中，％=1,由％q=2",得4=2,”.%=2用，则有9=2,

an

因此数歹是以1为首项，2为公比的等比数列，数歹£的“｝是以2为首项，2为公比的

等比数列，

I-210122（1—21012）

以§2024=（a1+〃3++〃2023）+（〃2+〃4+'+〃2024）=------------1-----------------3X21012—3.

1—21—2

故选：D

6.（23-24高二下•河北张家□•开学考试）在数列｛q｝中，=-40,an+l=an+2,贝I]

M+同+…+|%|=（）

A.380B.800C.880D.40

【答案】B

【知识点】分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、

利用定义求等差数列通项公式

【分析】先根据递推公式得出等差数列得出通项公式，再结合通项正负分组求和即可.

【详解】因为。"+1=。“+2,所以4rfl-%=2,

以a”=q+（〃—1）x2=-40+2n—2=2/z—42,

当“221时，。“20,当时，。“<0,

、20(-40-2)20(0+38)

所以+|tz|H-----F|flo|=-(4++。2。)+(。21+,+%<))=-一~-=800.

242

故选：B.

7.（24-25高二上•全国,课后作业）已知某数例J的通项见瓦'",26,则

1,n=26

%+2++。51=（）

A.48B.49C.50D.51

【答案】D

【知识点】倒序相加法求和

【分析】令函数〃对="三（工片26）,

2%—52

“x）+〃52-耳=1+可占+1+可豆土西=2,所以”“+*=2,由倒序相加法求

和即可.

2x-51

【详解】令函数/（%）=(xw26),

2%-52

£(\2x—52+11

则〃3KF=i+(xw26),

2(x-26)

所以〃同+〃)可/+()

527=1+1+25226=2(xw26)

所以+"52-〃=2,令5=。］+/++。51'贝US=。51+。50++，

则有2s=（«+%）+（4+%（））+-+（%+4）=2*51,所以S=51.

故选：D.

二、填空题

8.（24-25高一上•陕西咸阳•开学考试）计算

1]][1

V20+/4+而#+&^/98+^/^00------------

【答案】5

【知识点】裂项相消法求和

【分析】运用裂项相消求和即可.

【详解】此问题可以看作数列an=-,\,=，而々2〃一2）的前50项和公。.

++1(A/100-A/98)

即&=：(应-血+4-0+#-4++V100-A/98)=1X5/100=5.

故答案为：5.

三、解答题

9.（24-25高三上•河北•阶段练习）已知数歹!]｛。“｝满足。用=2。“+3义2",。|=2.

⑴证明：数列，殳）是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式.

（2）设优="，求数列色｝的前〃项和

【答案】（1）%=（3"T-2"T；

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和

【分析】（1）根据等差数列定义即可得数列，墨｝是以1为首项，|■为公差的等差数列，并

求出通项公式;

（2）写出数列｛么｝的通项公式，利用分组求和的方法即可得出S".

【详解】（1）根据题意由%=2%+3x2,易知需=尊等=殳+9,

即可得"一会=^为定值，

由此可得数列，金是以今=1为首项，公差d=|的等差数列，

所以去=1+|(〃-1)=丫，可得见MG"：!)?一；

即数歹1]｛。“｝的通项公式为an=(3w—2”T；

(2)由(1)可得6=9=(37>2“一+3=叫匚+」；

〃TT2T

3x1-13x2-13x3-13n-l333

贝IJ数歹U｛么｝的前几项和5=----1--------1-------1---1------1--rH--y+.—।----

22222122X

1-

3X(1+2+3H-----\-n\-n2JJ3n2+n

—------------1—+3x+31

24-F,

x、

3X(1+2+3H-----\-n)-n2、

--------------------------------F3x----7

2x4

即可得5“=即产+3(11

T

10.(23-24高三上•湖南•阶段练习)已知递增等差数列｛%｝满足：4=2,-2。用=a^+2a„,

(1)求数列｛叫的通项公式；

⑵若数列｛2｝满足a=1+(-DZ，求数列也｝的前2n项和T2rl.

【答案】⑴。“=2〃

(2)J=4〃

【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前

n项和、分组(并项)法求和

【分析】(1)利用因式分解得。用=2,即d=2,从而求解通项公式.

(2)解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法

二：利用并项求和法求和即可.

【详解】(1)设递增等差数列｛。工的公差为乩则d>0,

因为a；+1-2an+1=a；+2an,所以*-a；=2aM+2ali,

即(an+1-an)(%+,+a,)=2(%+a“)，

因为4=2,d>0,所以a“+i+a”>。，所以a,"-a”=2,所以d=2,

故数列｛%J的通项公式为“，=4+(〃T)d=2+(〃-l)x2=2/2.

(2)解法一：T2n=bt+b2++匕2”_1+%,=(1—1)+(“2+D++(1-)+(“2”+1)

=—(%+/+-+42〃一i)+〃+(%+〃4+…+a2n)+〃

八n(n-V).n(n-V)8/

=—2n-\----------x4A+4〃+---------x4A+2〃=4〃

22

解法二：T2n=bx+b2++b2n_x+b2n=(1-4)+(%+1)++(1—。2凡一1)+(。2〃+1)

=(%一4)+(%-/)++(a2n--1)+〃+〃=2〃+2〃=4〃.

11.(23-24高二下•广东珠海•阶段练习)已知数列｛&J中，4=1,«„=2«„_1+l(n>2).

(1)求｛斯｝的通项公式；

⑵求和：iv-r

1u

«=1十i

【答案】⑴4=2〃—1；

2i-l02几+3

(2)E------=3-----------

Z=11+%T

【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错

位相减法求和

【分析】（1）由条件证明数列｛q+1｝为等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通

项公式；

n2/—1

（2）设sn=Y--，则s“=伪+&+4+--+2，利用错位相减法求和即可.

1+«„印+4

【详解】（1）因为。“=2%+1（九22）,

所以见+1=2（%+1乂;止2）,又q+1=2,

所以数歹1J｛%+1｝为首项为2,公比为2的等比数歹U，

所以%+1=2",

所以｛斯｝的通项公式为%=2"-L

2n-l,£2i—1

⑵设止笆，S"?Q，则S,i+&+&+…+如

2n-l

由⑴可得勿=丫

匚匚］1352n-l

所以Sc"=耍+域+万+…+〒

印、J。1352n-l

所以5sL级+声+梦+・一+方丁

11112〃一1

所以'”—I-------------------------------------------

221222“T2n+1

£_J_

所以;一混,

乙乙X——乙

2

112n-\

所以S〃=l+4

22〃2n

2n+3

所以可=3—

2〃

2z-12几+3

所以X----=3--------

Z=1i+qT

12.（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）已知正项数列｛g｝的前”项和为S.，且

2S“=%（%+1）.

（1）求｛a〃｝的通项公式;

%,〃为奇数

⑵设2=«，"为偶数，求数列也｝的前2〃项和f.

、%%+2'

【答案】（1）4=〃

?11

（2）T2=n-\----------

2〃44〃+4

【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、裂项相消法求和

S],n=\

【分析】（1）利用4=来求得｛&J的通项公式•

Sn-Sn_x,n>2

（2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列初„｝的前2〃项和心

【详解】（1）依题意，2S“=a”（a“+l）,a„>0,

当”=1时，2al=4（q+l）,解得q=1,4=0（舍去）.

当〃N2时，由2s〃=4Q+1）得2sM=%（见t+1），

两式相减得2%=Q：+an一d一心

即（%+%-%T=°，由于4+%>0，

所以%-q_1-1=0,an-an_x=1（M>2）,所以数列｛麻｝是首项为1,

公差为1的等差数列，所以%=〃（％=1也符合）.

〃，〃为奇数

（2）由（1）得2=-1_111

〃为偶数’

"〃+2）2n"+2

所以=4+仇+匕3+匕4++瓦自+b2rl

=（4+4++%T）+（A+2++%,）

=[1+3+5+-.+（2n-l）]+1_1411+.411

12421462\2n2〃+2

l+2n-l1（11>11

------------n+—\-------------=nH2----------------

22（22n+2）44〃+4

B能力提升

1.（2024•福建泉州•二模）已知数列和｛g｝的各项均为正，且生=18々，｛4｝是公比3

的等比数列.数列｛厮｝的前n项和Sn满足4S„=a；+2an.

⑴求数列｛%J,｛小｝的通项公式；

b

+a

（2）设c“=（h_奇；_丁ncosmt,求数列｛c“｝的前，项和Tn.

【答案】⑴4=2",〃=3"-2

111

+〃,当〃为偶数

2-3K+1-l

（2）7；=13

-:\~n，当〃为奇数

2（3,,+1-1）4

【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用

an与sn关系求通项或项

【分析】（1）利用递推公式可证得数列｛&J是等差数列，可求出数列｛即｝的通项；利用等

比数列的性质，可求出｛篇｝通项；

（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；

【详解】（1）由题设，当”=1时4S]=a；+24,;.4=2或a1=0（舍），

由4S,=说+2a„,知4Sn_t=+2aLi，

两式相减得（a”+%-2）=0,

-'-a„+a„-i=Q（舍）或-2=°，即a“-a“_i=2,

..•数列｛即｝是首项为2,公差为2的等差数列，，=2〃.

2

又％=1跖=6,:.优=；,.-.bn=y-.

⑵/_细_-+a„cos^=7_W_^㈢门〃

闻3-3）闻3-1）（3"+|-3）（3«+1-1）'）

=（3"-1）3（"3"+1-1）+（-1）2^=21（［3"1-1-3"+1-1>/（-1）2tl

则（T［占一£）+［吉一土>

+2［（-1+2）+（-3+4）+....+（-l）"n］

当〃为偶数时，+

_

当“为奇数时，T”=|Q3J_

1.（23-24高二下•河南安阳•期中）在数列｛4｝中，/+?+§++，=g

352n—l3

（1）求｛。“｝的通项公式；

（2）设〃=&],求数列也｝的前12项和,其中[可表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,

[2.6]=2.

【答案】⑴氏异

（2）44

【知识点】由递推关系式求通项公式、数列求和的其他方法

【分析】（1）降次作差即可得到a“=2g〃一y1，最后验证q即可;

（2）求出前12项的每一项，最后求和即可.

【详解】⑴当〃=1时，4二，卬+g+§++占=/①,

3352n-l3

所以当心2时，“符+?+erT②,

nn-1_1

①-②得

2n—l3__

即%=手，4=；也满足该式，所以4=27

（2）由（1）知〃=二^一,

当”=1时，伪=[g[=0，

当”=2,3时，IV为二<2,2=1,

当〃=4时，"=[[=2,

当”=5,6时，34tl<4,2=3,

依次类推，可知2=4,々=仇=5也=6,%=%=7.

所以数歹!]｛%｝的前12项和为0+1+1+2+3+3+4+5+5+6+7+7=44.

2.（23-24高三下•上海浦东新•阶段练习）已知实数列｛即｝满足：％=乙点（（a,M”+J在曲

线y=*（"T）上.

x+4'7

⑴当f=2且m=-1时，求实数列的通项公式;

(2)在(1)的条件下，若表示不超过实数/的最大整数，令bn=(〃eN*),S"是

数列｛g｝的前〃项和，求与皿的值；

⑶当U2,4>0("eN*)时，若则为=无存在，且%1T<出向〈人对〃eN*恒成立，求证：

左<%,+2<%,(〃€N*).

3

【答案】⑴4=1—1;

n

(2)4959；

⑶证明见解析.

【知识点】数列的极限、数列不等式恒成立问题、数列求和的其他方法、构造法求数列通项

【分析】(1)根据题意，构造等差数列,」7,结合等差数列的通项公式即可求得见；

(2)根据(1)中所求，求得么，结合"国”的定义，即可求得结果；

(3)由弓=2,结合递推公式求得由，根据其大小关系，以及数列的极限存在，求得机的

取值范围，同时求得％关于加的表达式，结合作差法以及递推公式，即可证明.

2an-1,3Q+1）111

【详解】(1)由题可知:---=>%+1=——―n------------------二-

。〃+4（〃“+1）+3%+i+l〃〃+13

故数列工是公差为2的等差数列，又心=占=；，

36+1，+1J

111/八〃3

贝不=§+§（，1）=,,故凡=丁1.

33

（2）由（1）可知：a=一—In-------=n^>b=\lgn],

nn+1n

[lgl]=[lg2]==[lg9]=0,

[lgl0]=[lg2]==[lg99