2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：直线和圆的方程（原卷版）

第11讲第二章直线和圆的方程章末总结

一、思维导图

直

线

方

直

程

线

与

之

方

间

程

的

转

化

直

线

与

圆

的

方

程

圆

的

方

程

圆的一般

方程

二、题型精讲

题型01直线的倾斜角和斜率

【典例1】（2023春•上海黄浦•高二上海市敬业中学校考期中）直线（/+1卜-2冲+1=0的倾斜角的取值范

围是（）

八兀1「兀兀］r7t3兀］「八7i'i「3兀、

A.0,-B.C.D.0,-u—,7i

4」142」L44JL4jL4）

【典例2】（2023秋•安徽六安,高二六安一中校考期末）已知直线区-卜"1=0和以N（3,2）为

端点的线段相交，则实数上的取值范围为（）

173

A.——<k<-B.-2<k<-

223

1、32

C.k<——或左〉一D.k<-2^k>-

223

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）直线无+犷。5。-5=。的倾斜角"的取值范围是.

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）若过点P（T,0）的直线与以点A（l,2）,8（-2,6）为端点的线段相交,

则直线的倾斜角取值范围为（)

712兀兀兀2万、TC27r

A.B.C.,7rDU

4JT7TJ-吟

，-g）且总与线段

【变式2］（2023・江苏•高二假期作业）已知点A（2,l）、B（-2,2）,若直线/过点

有交点，求直线/的斜率上的取值范围.

题型02直线方程

【典例1］（2023秋•高二课时练习）过点尸（2,4）且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为.

【典例2】（2023秋•广西防城港•高二统考期末）已知直线4：2x+y-2=O,4与x轴，V轴的交点分别为

直线4经过A点且倾斜角为

4

⑴求直线4的一般方程；

（2）求线段的中垂线方程.

【典例3】（2023•全国•高三对口高考）过点P（2,l）作直线/分别交x,V的正半轴于A,8两点.

⑴求AABO面积的最小值及相应的直线/的方程;

（2）当|04|+|0回取最小值时，求直线/的方程；

⑶当|；4户封取最小值时，求直线/的方程.

【变式1］（2023秋•广东广州•高二校考期末）过点（2,-1）,倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的

直线方程为.

【变式2］（2023•全国•高三专题练习）若过点尸CM）且互相垂直的两条直线4分别与x轴、V轴交于A、B

两点，则中点M的轨迹方程为.

【变式31］（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考期末）已知3（2,5）在直线/上.

⑴求直线/的方程；

（2）若直线“顷斜角是直线/倾斜角的2倍，且与/的交点在V轴上，求直线乙的方程.

【变式4］（2023・江苏,高二假期作业）已知AABC的三个顶点分别为A（0,4）,3（-2,6）,C（-8,0）.

⑴求边AC和AB所在直线的方程；

⑵求AC边上的中线3。所在直线的方程.

题型03两直线的平行与垂直

【典例1】（2023秋・河南平顶山■高二统考期末）已知〃zeR,“直线4：3+>=0与：9x+my-〃/-l=0平

行"是“祖=与"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【典例2】（2023秋,四川凉山•高二宁南中学校考期末）已知">0,b>0,直线乙：（。-1）尤+y-l=0,4：

21

x+2外+1=0,且/J/,,则的最小值为（）

ab

A.2B.4C.8D.9

【典例3】（2023春・浙江温州•高二校考阶段练习）=1"是"直线4：（m-4卜+冲+1=0与直线3

mx+（〃z+2）y-2=0互相垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1](2023•全国•高三专题练习)已知直线/：x+(a-l)y+2=0,l2-.y/3bx+y-0,且/[，4，则Y+b?

的最小值为()

A.1B.|C.3D.U

42216

【变式2](2023・上海•高二专题练习)已知直线「：(％+3)x+5y=5-3%,6：2x+O+6)y=8,若/他，则

"1的值是.

题型04两直线的交点与距离问题

【典例1】(2023春•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末)已知直线/：2x+y+l=0,直线加过点(0,1)且

与直线/垂直.

⑴求直线优的方程；

(2)直线〃与直线/关于V轴对称，求直线/,加，"所围成的三角形的面积.

【典例2】(2023•高二课时练习)已知点4(1,3),3(5,-2),点尸在x轴上使|转卜忸刈最大，求点P的坐标.

【典例3】(2023•高三课时练习)已知点A(0,-1),8(—5,1),0(7,2),且荏〃觉，BCYAB.

⑴求直线CD的方程；

(2)求点C的坐标，并求四边形ABCD的面积.

【变式1］（2023秋•高二课时练习）求过直线/1：y=X+］和/2：3x-y=0的交点并且与原点距离为1的

直线/的方程.

【变式2］（2023秋•青海西宁•高二校联考期末）已知AABC的三个顶点分别为A（0,-2）、3（4,-3）、C（3,l）.求:

⑴边AC上的中线所在直线4的方程；

（2）AABC的面积.

【变式3］（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆八中校考期末）已知点A（2,l）,8（1,-2）,点尸在x轴上，则

1241Tp叫的取值范围是.

题型05直线中的对称问题

【典例1】（2023秋•吉林白城•高二校考期末）点P（2,0）关于直线/:x+y+l=0的对称点Q的坐标为（）

A.（-1,-3）B.（TT）C.（4,1）D.（2,3）

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）^ABC的顶点A（4,3）,AC边上的中线所在的直线为4x+13y-10=0,

NA5c的平分线所在直线方程为尤+2y-5=0,求AC边所在直线的方程（）

A.2x-3y+l=0B.x-8y+20=0

C.3%—5y+3=0D.%—y+l=0

【典例3】（2023•上海•高二专题练习）一束光从光源C。,2）射出，经x轴反射后（反射点为M）,射到线

段丁=一彳+友*«3,5］上?/处.

⑴若“（3,0）1=7,求光从C出发，到达点N时所走过的路程；

⑵若6=8,求反射光的斜率的取值范围；

⑶若求光从C出发，到达点N时所走过的最短路程.

【典例4】（2023秋・江西吉安・高二吉安三中校考期末）已知直线/：3x-y+3=0,求:

⑴点P(4,5)关于/的对称点；

(2)直线x-y-2=0关于直线/对称的直线方程;

⑶直线/关于(1,2)的对称直线.

【变式1](2023春•上海杨浦•高一上海市杨浦高级中学校考期末)设直线]"-2y-2=。与4关于直线

/:2x-y-4=0对称，则直线人的方程是()

A.11元+2y—22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y—11=0D.10x+y-22=Q

【变式2](2023•高二课时练习)已知A(3,1),B(1,2),若—ACB的平分线在y=x+l上，求AC所

在的直线方程.

【变式3](2023•全国,高三专题练习)已知直线/：2x-3y+l=0,点4-L-2).求:

⑴点A关于直线I的对称点A的坐标；

(2)直线加：3元-2y-6=0关于直线I对称的直线m'的方程；

⑶直线/关于点A(-l,-2)对称的直线的方程.

【变式4](2023•全国•高三专题练习)直线x+3y-l=。关于直线尤->+1=0对称的直线方程是

题型06圆的方程

【典例1】（2023春•河南开封•高二统考期末）已知圆心为C的圆经过A（0,3）,3（1,2）两点，且圆心C在直

线/:x+y=0上.

⑴求圆C的标准方程；

⑵求与直线AB平行且与圆C相切的直线方程.

【典例2】（2023・江苏•高二假期作业）求经过点尸（U）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+l=0上的圆

的方程.

7

【典例3】（2023春•河南•高二校联考阶段练习）已知直线/过点（3,2）且与直线y=+l垂直，圆C的圆

心在直线/上，且过A（6,0）,8（1,5）两点.

⑴求直线/的方程；

⑵求圆C的标准方程.

【变式1］（2023秋•新疆昌吉•高二校考期末）已知圆C的圆心在直线2x—y—7=0上，且圆C与y轴交于

两点40,-4）,B（0,-2）,则圆C的标准方程为（）

A.（X—2）2+（j—3）2=5B.（X—2）2+（y+3）2=5

C.（x+2）2+（y+3）2=5D.（%+2尸+（,-3）2=5

【变式2］（2023春•安徽•高二校联考开学考试）已知直线/过点P（-L2）,且/与X。轴分别交于点A,8,△。钻

为等腰直角三角形.

⑴求/的方程；

（2）设。为坐标原点，点A在x轴负半轴，求过O,A,P三点的圆的一般方程.

【变式3］（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知圆C的圆心在直线>=-1+5上，且

圆C过点（2,6）,（5,3）.

⑴求圆C的标准方程；

（2）若圆C与圆C关于直线x+2y-2=0对称，求圆C'的标准方程.

题型07切线和切线长问题

【典例1】（2023秋•云南曲靖•高三校考期末）已知直线/经过点P（L3）,且/与圆V+y2=10相切，则/的

方程为（）

A.x+3y-10=0B.%-3丁+8=0C.3x+y-6=0D.2x+3y-ll=0

【典例2】（2023春•北京东城•高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆。:公+丫2一2》=0,过直线

/:y=x+2上的动点M作圆C的切线，切点为N,则的最小值是（）

A.2点B.2C.—D.近

22

【典例3］（2023•全国•高三专题练习）已知M（x,y）为圆C：/+y2-4丈-14y+45=0上任意一点,且点。（-2,3）.

（1）求|MQ|的最大值和最小值.

（2）求二的最大值和最小值.

（3）求丁一%的最大值和最小值.

【变式1］（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆O：x2+y2=4,“（％,%）为圆。上

位于第一象限的一点，过点M作圆。的切线/.当/的横纵截距相等时，/的方程为（）

A.x+y-2>/2=0B.x+y—旦0

2

C.x+y-4^/^=0D.x-y-2y=0

【变式2］（2023春•上海杨浦•高二校考期中）已知圆心在x轴上的圆C经过两点4（1,0）、8（3,2）.

⑴求此圆的标准方程；

⑵求过点“5,4）且与此圆相切的直线/的一般式方程.

【变式3］（2023秋・广东清远•高二统考期末）已知“5。的顶点分别为4（-1,7）,3（-4,-2）。3,-1）.

⑴求AABC外接圆的方程；

（2）设P是直线/：4尤-3y-25=0上一动点，过点P作廿RC外接圆的一条切线，切点为。，求归。|最小值及

点尸的坐标.

题型08弦长问题

【典例1］（2023秋・天津红桥•高三统考期末）若直线/：m-y=4被圆C:x2+y2-2y-8=0截得的弦长为4,

则m的值为（）

A.±2B.±4C.±^2D.±2-72

【典例2】（2023・海南・统考模拟预测）已知直线4：尤-3>+1=0,直线4过点。,0）且与直线4相互垂直，圆

C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直线4与圆C交于跖N两点，则|肱Vk.

【典例3】（2023・江西•统考模拟预测）已知直线/：>=丘+3,圆川：/+丁+瓜=0,2（3,0）,直线/和圆”

交于A,8两点.

⑴当AB的中点为段1时,求圆加的方程;

⑵已知圆河的方程与（1）中所求圆M的方程相同，若斜率存在且不为0的直线乙过点Q,乙与圆加交于E,

/两点，N为x轴正半轴上一点，ZONE=ZONF,|AB|=V14,且直线/与线段MN相交，求直线/的斜率.

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）以点打2,3）为圆心，3为半径的圆与直线

/:（2m+1）尤+0+1）＞—7〃7-4=0相交于4,B两点，贝！||AB|的取值范围为.

【变式2］（2023春•河北邯郸・高三校联考开学考试）若直线/:办-y+2-。=0（aeR）与圆

（7:（彳-3）2+"-1）2=9相交于48两点，当|AB|取得最小值时，直线/的斜率为.

【变式3］（2023春•上海浦东新•高二统考期中）已知圆C:£+y2=25,点尸（3,4）.

⑴求过点P的圆C的切线I的方程；

（2）若直线机过点P且被圆C截得的弦长为8,求直线m的方程.

【变式4］（2023春・河南安阳•高二安阳一中校联考开学考试）已知圆C过A（l,0）,B（0,l）两点且圆心C在直

线x+y-4=0上.

⑴求圆C的方程；

⑵已知直线/：＞=履-1被圆C截得的弦长为警，求实数上的值.

题型09三角形面积问题

【典例1】（2023秋•高一单元测试）已知圆C:（x-2y+y2=1,M是y轴上的动点，MA,分别与圆C

相切于A、B两点，

⑴如果点M的坐标为（0,1）,求直线K4、的方程；

⑵求AACB面积的最大值.

【典例2】（2023春•江西•高二校联考开学考试）已知圆C：x2+y2=4,P为圆C上任意一点，。（-4,0）

⑴求尸。中点M的轨迹方程.

⑵若经过。的直线/与M的轨迹相交于AB,在下列条件中选一个，求AABO的面积.

条件①：直线AB斜率为。；②原点。到直线AB的距离为靖.

【典例3】（2023春・上海闵行•高二校考阶段练习）已知直线4：2x-y-l=O和4：x-y+2=。的交点为2,

求：

⑴以点尸为圆心，且与直线3x+4y+l=。相交所得弦长为12的圆的方程；

g

（2）直线/过点（1,2）,且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为求直线/的方程.

【变式1］（2023春•上海杨浦•高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知直线/:依-y+2+左=0,（LeR）.

⑴若直线不经过第四象限，求人的取值范围；

⑵若直线/交X轴负半轴于A,交y轴正半轴于8,AAOB的面积为S（。为坐标原点），求S的最小值和此时

直线I的方程.

【变式2］（2023春•浙江•高二校联考阶段练习）已知圆E经过4（2,3）,B（3,2）,C（4,3）三点，且交直线

7:3x+4y-18=0于M,N两点.

⑴求圆E的标准方程；

⑵求ACWN的面积.

题型10圆与圆的位置关系

【典例1】（2023秋•高二课时练习）当。为何值时，两圆/+/_2办+4了+/_5=0和

尤-++2x—2ay+—3=0.

（1）外切;

（2）相交;

（3）外离.

【典例2】（2023秋•河北石家庄•高二石家庄二十三中校考期末）在平面直角坐标系中，曲线y=/-6x+l

与坐标轴的交点都在圆C上.

⑴求圆C的方程；

（2）若圆C与圆O:（x-4『+（y_3）2=4相交于A、3两点，求AB弦长.

【变式1］（2023春•上海黄浦•高二上海市大同中学校考期中）已知圆/经过4（-1,0）、矶L-2）、C（3,0）,圆

N:/+y2_©+2ay+a2=0.

(1)求圆加的标准方程；

(2)若圆M与圆N相切，求。的值.

【变式2](2023•高二课时练习)己知圆G：尤2-2,nx+/+4y+根°-5=0与圆C?：

x2+2x+y2-2my+m2-3=0,当相为何值时，

(1)两圆外切；

⑵两圆内含.

题型11两圆公共线方程和公共弦长

22222

【典例1】(2023秋•湖南张家界•高二统考期末)已知两圆Cl:x+y-4y=0,C2:(x-2)+y=m(m>0).

⑴机取何值时两圆外切？

⑵当〃z=2时，求两圆的公共弦所在直线/的方程和公共弦的长.

22

【典例2】(2023•高二课时练习)已知圆G：/+/=10与圆c?：x+y+2x+2y-14=0.

⑴求证：圆G与圆C?相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程；

⑶求经过两圆交点，且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.

【典例3】(2023,全国•高三专题练习)已知圆C:f+(y-3)2=8和动圆尸:。-4+丫2=8交于A,B两点.

(1)若直线A3过原点，求。；

⑵若直线A3交x轴于Q,当△PQC面积最小时，求|A3|.

【变式1］（2023秋•重庆渝北•高二重庆市两江育才中学校校考期末）己知圆G过点（石』）、（1,-1），且圆心

在直线、=1,圆C2:+y?—4x+2y=。.

⑴求圆的标准方程；

（2）求圆G与圆c2的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

【变式2］（2023春•甘肃兰州,高二校考开学考试）已知两圆C/：x2+y2-2x-6y~1=0,C?：x2+y2-10%

-12y+45=0.

⑴求证：圆C/和圆C2相交；

（2）求圆G和圆C2的公共弦所在直线方程和公共弦长.

【变式3］（2023秋・江西吉安•高二江西省泰和中学校考期末）已知圆C|：/+y2-2x+10y-24=0和

C2：+2x+2y—8=0相交于A8两点.

⑴求直线A3的方程，

⑵求弦长|AB|

【变式4］（2023春•四川达州,高二校考期中）已知两圆/+的一10x-10加0,丁+/+6为一2尸40=0.

求：（1）它们的公共弦A3所在直线的方程；

(2)公共弦长.

题型12与圆有关的最值问题

【典例1](2023秋,广西河池•高二统考期末)已知圆G：(x+3)2+(y-2)2=8与圆C2关于直线4x-2y+l=()

对称.

(1)求圆G的标准方程；

⑵直线3x+4y+〃7-5=0与圆C2相交于M,N两点，且AMCZN的外接圆的圆心在内部，求加的取值

范围.

【典例2】(2023春•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习)在平面直角坐标系无Oy中，过点P(0,l)且

22

互相垂直的两条直线分别与椭圆「亍+5=1交于点AB，与圆/：(》-2)2+(丁-1)2=1交于点。,。.

(1)若CD=应，求A3的斜率；

⑵记CO中点为E,求AABE面积的取值范围.

【典例3](2023秋•福建福州,高二福建省福州第一中学校考期末)已知圆C:(x-2)2+9=25.

⑴设点过点M作直线/与圆C交于A,8两点，若|AB|=8,求直线/的方程；

(2)设P是直线x-"8=0上一点，过P作圆C的切线PE,PF,切点分别为E,F,求|尸中即的最小直

【变式1](2023春•湖北•高二校联考阶段练习)已知圆C:/+y2=16,直线/:(2+k)x+(l+A)y+Z=0.

⑴证明：直线/和圆C恒有两个交点；

(2)若直线/和圆C交于A8两点，求|AB|的最小值及此时直线/的方程.

【变式2](2023•全国•高三专题练习)己知圆。：(％-7)2+"+1)2=50,4(2,4),若斜率为-1的直线/与圆C

相交于不同的两点求R0.丽的取值范围.

题型13轨迹方程

【典例1】(2023春•河南南阳•高二镇平县第一高级中学校考阶段练习)已知圆C：(X-3)2+/=4.

⑴求圆C的圆心坐标及半径；

(2)设直线/：x=/ny+2(m6R)

①求证：直线/与圆C恒相交；

②若直线/与圆C交于A,8两点，弦A3的中点为求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

【典例2】(2023春•上海静安•高二校考期中)己知圆的方程为炉+V=9,过点P(4,2)作直线/交圆于A、

B两点.

⑴当直线/的斜率为1时，求弦的长；

(2)当直线/的斜率变化时，求动弦A8的中点Q的轨迹方程.

【典例3】(2023春•上海闵行•高二校考阶段练习)已知圆C:x2+(y-l)2=5,直线/：〃氏一.

⑴判断直线/与圆C的位置关系；

⑵设直线/与圆C相交于A,3两点，且|AB|=旧，求直线/的方程;

⑶设直线/与圆C相交于A,8两点，求弦A3中点的轨迹方程.

【变式1]（2023•全国•高三专题练习）已知圆C:x2+y2-4y+3=0.过原点的动直线/与圆C相交于不同的

两点AB,求线段AB的中点M的轨迹方程.

【变式2】（2023春・湖北•高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知圆C:/+y2+2x_4y+3=0.

⑴若直线/过点（-2,0）且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程；

⑵从圆C外一点尸向圆C引一条切线，切点为O为坐标原点，满足归“卜|PO|,求点尸的轨迹方程.

题型14圆的对称问题

【典例1】（2023秋・安徽蚌埠•高二统考期末）若圆C:x2+y2+〃g4y=0被直线2x+y+2=0平分，则圆

C的半径为.

【典例2】（2023•江苏•高二假期作业）已知圆J+/+2—=0关于直线y=2x+b成轴对称图形,则6=

;a的取值范围是.

【典例3]（2023秋•高二课时练习）求圆/+/+4*-12»+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程.

【变式1]（2023春・广东汕尾•高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）若直线2x+y-2=0为圆（x-ay+V=1的

一条对称轴，则。=.

【变式2］（2023秋,四川凉山•高二统考期末）圆/+丁一21-2'+1=0关于直线尤+>-1=0对称的圆的标

准方程为.

三、数学思想

01函数与方程的思想

【典例1】（2例3・山东泰安・统考模拟预测）已知直线/：znx-y+m+l=0O10）与圆C:x23+y2-4x+2y+4=0,

过直线/上的任意一点P向圆C引切线，设切点为AB,若线段AB长度的最小值为百，则实数加的值是（）

121277

A.——B.—C.—D.一一

5555

【典例2】（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆