二阶非线性光学效应石顺祥

第章二阶非线性光学效应石顺祥第一页，课件共有112页4.1线性电光效应线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。当没有反演中心的晶体受到直流电场或低频电场作用时,其折射率发生与外加电场成线性关系的变化。应当指出的是,这里所说的低频电场是与光频比较而言,所以微波频率也包括在内。第二页，课件共有112页线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效应。在这里,作用于介质的两个电场，一个是光电场,另一个是低频场或直流场,在这两个电场的作用下产生了二阶非线性极化。现在假定作用于介质的直流场为E0、光电场为Eexp(-iωt)+c.c.,则根据极化强度的一般表示式（1.1-39）式和（1.1-40）式,有(4.1-1)(4.1-2)第三页，课件共有112页因此,相应于频率为ω的极化强度分量表示式为(4.1-3)由此可见,直流电场的作用使得介质对频率为ω的极化率张量改变了。在这种情况下,电位移矢量为D=ε0E+PL+PNL=ε·E+PNL第四页，课件共有112页或用分量形式表示为(4.1-4)这里的εμα是相对介电常数张量元素。因此,由于直流电场的作用,使频率为ω的相对介电常数张量产生了一个变化量

:第五页，课件共有112页1.折射率椭球几何法描述在第三章,我们利用折射率椭球详细地讨论了光波在介质中的传播特性。在主轴坐标系中的折射率椭球表示式为第六页，课件共有112页由上面的讨论已知,由于直流电场E0的存在,引起了介电常数张量的变化,也就引起了折射率椭球方程的系数1/n2x、1/n2y、1/n2z发生变化。因此,在有直流电场存在时,应将折射率椭球方程写成如下一般的形式:(4.1-6)第七页，课件共有112页当直流电场为零,且x、y、z轴分别平行于三个介电主轴时,有(4.1-7)第八页，课件共有112页

1）KDP（KH2PO4）晶体中的线性电光效应KDP晶体属于42m对称群,其光轴取为z轴,另外两个对称轴为x轴和y轴。根据表4.1-1,它的线性电光张量的非零元素只有γ41=γ52和γ63,其矩阵形式为(4.1-20)第九页，课件共有112页当外加直流电场E0=0时,KDP晶体的折射率椭球方程为(4.1-21)晶体外加直流电场E0时,折射率椭球方程应为(4.1-22)第十页，课件共有112页由（4.1-19）式关系,有所以,E0≠0时,KDP晶体的折射率椭球方程为(4.1-23)第十一页，课件共有112页图4.1-1坐标变换关系第十二页，课件共有112页

2)43m类晶体的线性电光效应（横向运用）43m类晶体为立方晶系类,属于这类晶系的晶体有CuCl、ZnS、GaAs、ZnTe等。这类晶体未加电场时,光学性质是各向同性的,其折射率椭球为旋转球面,方程式为

x2+y2+z2=n20(4.1-30)

式中,x、y、z取晶轴方向,它们的线性电光张量矩阵为第十三页，课件共有112页因此,外加直流电场E0后的折射率椭球方程为(4.1-31)(4.1-32)第十四页，课件共有112页2.麦克斯韦方程解析法描述如前所述,线性电光效应是一种二阶非线性光学效应,由于直流电场的作用,使介质对频率为ω光波的相对介电常数张量变为(4.1-40)将变化后的介电常数张量代入描述晶体光学性质的基本方程（3.1-9）式,得(4.1-41)第十五页，课件共有112页1）KDP晶体的线性电光效应假定外加直流电场平行于光轴（z轴）,并且根据42m类晶体的二阶极化率张量形式KDP晶体的有效相对介电张量元素可表示为第十六页，课件共有112页写成矩阵的形式为将(εr)eff代入（4.1-41）式,得(4.1-42)第十七页，课件共有112页

2）43m类晶体的电光效应（横向运用）43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为这里的二阶非线性极化率张量元素有如下的对称性:第十八页，课件共有112页假设外加直流电场的方向为z方向,光波在xOy平面内沿着x、y轴的对角线方向传播,因而有式中,k表示光波传播方向的单位矢量,所以有效相对介电张量为第十九页，课件共有112页图4.1-2443m晶体横向运用时的本征矢示意第二十页，课件共有112页4.2光整流效应若令光波电场的空间变化部分为(4.2-1)式中,E0为光波电场的振幅,a为光振动方向的单位矢量,k为光波传播方向的单位矢量,则由于二次非线性效应产生的直流极化强度为(4.2-2)第二十一页，课件共有112页根据上面的假定,光波在KDP晶体中传播时,其寻常光分量有ax≠0,ay≠0,az=0,非常光分量有ax=ay=0,az≠0。又根据KDP晶体χ(2)的空间对称性,只有中三个脚标都不相同的元素才不为零。所以,如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开,就可以得到它们的P0x和P0y分量皆为零,但对P0z分量两者不同:非常光的P0z=0,寻常光的P0z≠0。对于寻常光来说,(4.2-3)第二十二页，课件共有112页这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。假设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为θ,则有将其代入（4.2-3）式,便得(4.2-4)第二十三页，课件共有112页4.3三波混频及和频、差频产生4.3.1三波混频的耦合方程组由二阶非线性极化强度的一般表示式（1.2-36）式,可以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极化强度复振幅为第二十四页，课件共有112页根据（3.3-23）式,三个频率ω1、ω2和ω3的光电场标量复振幅E(ω1,z)，E(ω2,z)和E(ω3,z)满足的微分方程分别为(4.3-1)(4.3-2)(4.3-3)第二十五页，课件共有112页(4.3-4)(4.3-5)(4.3-6)第二十六页，课件共有112页式中的P′NL(ω,z)为将（4.3-7）式~（4.3-9）式分别代入（4.3-4）式~（4.3-6）式,并令第二十七页，课件共有112页(4.3-11)(4.3-12)(4.3-13)第二十八页，课件共有112页

4.3.2曼利-罗关系现将（4.3-16）式乘

,（4.3-17）式乘

,（4.3-18）式的复数共轭乘

,再将所得三式相加,可得(4.3-19)第二十九页，课件共有112页在得到上式时已利用了关系ω1+ω2=ω3。现再取（4.3-19）式的复数共轭并与（4.3-19）式相加,有对该式积分,得(4.3-20)第三十页，课件共有112页因为能流密度Sω的表示式为所以（4.3-20）式可表示为(4.3-21)第三十一页，课件共有112页4.3.3和频产生上面给出的方程组（4.3-16）~（4.3-18）是讨论非线性介质中三波(ω1,ω2,ω3=ω1+ω2)混频的基本耦合波方程组。现在我们首先讨论和频产生的情况。第三十二页，课件共有112页1.小信号近似理论处理在满足相位匹配条件下,即Δk=0时,方程（4.3-18）式的解为(4.3-31)这就是在小信号近似和满足相位匹配条件下所得到的和频光电场E(ω3,z)的变化规律。第三十三页，课件共有112页2.大信号理论处理在ω1和ω2入射光电场振幅为E0(ω1,0)和E0(ω2,0)的情况下,（4.3-16）式~（4.3-18）式的一般解为［3］(4.3-35)(4.3-36)(4.3-37)式中第三十四页，课件共有112页在这里,频率为ω2的光场分量已表示为入射光频率为ω1和ω2两个分量中强度较弱的一个。sn(u,k)是以u和k为参变量的雅可比椭圆函数,它是由第一类椭圆积分逆变换得来的。已知第一类椭圆积分为第三十五页，课件共有112页该椭圆积分的逆变换sinφ是u和k的函数,用sn(u,k)表示,即为雅可比椭圆函数,所以有

sn(u,k)=sinφ(4.3-38)

因为sinφ是周期函数,所以sn(u,k)也是周期函数,而且最大值等于1。第三十六页，课件共有112页图4.3-1在相位匹配条件下,Nω随z变化规律第三十七页，课件共有112页

4.3.4差频产生1.小信号近似理论处理在z很小的情况下,可以将E(ω3,z)和E(ω1,z)看作常数,在完全相位匹配条件下直接积分（4.3-17）式,可得以及(4.3-44)(4.3-45)第三十八页，课件共有112页式中,lM就是由（4.3-４１）式定义的用来表征混频过程速率的特征长度,用lM表示（4.3-44）式时,有(4.3-46)(4.3-47)第三十九页，课件共有112页2.大信号理论处理差频光波的光子通量的一般解形式为(4.3-48)式中,函数f(u,k)是雅可比椭圆函数sn(u,k)和dn(u,k)之比,即(4.3-49)(4.3-50)第四十页，课件共有112页图4.3-2在相位匹配条件下Nω随z的变化规律第四十一页，课件共有112页4.4二次谐波产生4.4.1理想均匀平面波的二次谐波产生1.二次谐波产生二次谐波产生是和频产生的特殊情况,但不能简单地将ω1=ω2代入上节对和频产生讨论所得到的结果中,这是因为当ω1=ω2时,除由ω1和ω2产生和频外,还分别有ω1和ω2的二次谐波产生的过程,但在上节讨论和频产生规律时,并没有考虑这些二次谐波产生过程。第四十二页，课件共有112页对于二次谐波产生过程,假设k2ω和kω分别表示频率为2ω和ω的光波传播常数,则按（3.3-23）式,二次谐波产生过程中的耦合方程为(4.4-1)(4.4-2)式中(4.4-3)第四十三页，课件共有112页方括号中点乘的定义见（4.3-14）式。和论证（4.3-15）式类似,如果介质在频率ω和2ω处是无耗的,则张量χ(2)(ω,ω)是实数,就有(4.4-4)第四十四页，课件共有112页上式中最后一个等式已利用了极化率张量的时间反演对称性。因此,（4.4-1）式和（4.4-2）式中方括号相等,并令其等于

,即有(4.4-5)(4.4-6)

第四十五页，课件共有112页在上二式中消去

,可以得到(4.4-7)或用能流密度表示时,可得如下关系式(4.4-8)第四十六页，课件共有112页图4.4-1相位匹配条件下二次谐波产生规律第四十七页，课件共有112页2.有效非线性光学系数1)有效非线性极化率在前面求解三波混频的耦合波方程时,引入了有效非线性极化率

。例如,对于频率为ω3的光电场有(4.4-26)第四十八页，课件共有112页图4.4-2o光与e光偏振在各晶轴上的投影第四十九页，课件共有112页2）有效非线性光学系数在非线性光学中,除了采用非线性极化率张量χ(2)描述非线性作用外,习惯上,特别是实验工作者,更常采用非线性光学系数d描述非线性相互作用。d与χ(2)有如下关系［6］:(4.4-30)(4.4-31)第五十页，课件共有112页若用d替代三波混频耦合波方程中的χ(2),同样可以得到有效非线性光学系数deff:(4.4-32)它是一个标量,同样表征了光混频中的光波耦合。表4.4-1某些晶类的dμl(2ω)独立分量数目(略）.第五十一页，课件共有112页4.4.2高斯光束的二次谐波产生假设基波TEM00模高斯光束的电场由下式表示:(4.4-42)式中(4.4-43)第五十二页，课件共有112页图4.4-3高斯光束第五十三页，课件共有112页1)近场(ξ1<<1)、不考虑走离效应此时,TEM00模高斯光束电场表达式可简化为(4.4-44)该式表明,在近场区高斯光束的波阵面为平面,因此可以利用平面波情况下的耦合波方程（4.4-1）进行讨论,只是在这里应以

代替方程中的E(ω1,z),以2deff代替

。于是,耦合波方程为(4.4-45)第五十四页，课件共有112页在小信号近似情况下可得(4.4-46)基波高斯光束功率为(4.4-47)第五十五页，课件共有112页(4.4-48)因此,二次谐波产生效率η为(4.4-49)第五十六页，课件共有112页由（4.4-46）式可以看出,二次谐波也是高斯光束,它的束腰半径w20为(4.4-50)第五十七页，课件共有112页2)近场(ξ1<<1)、考虑走离效应［7］为讨论简单起见,假定满足相位匹配条件(Δk=0),并假定走离发生在xOz平面内（见图4.4-4）,走离角为ρ。我们仍只讨论小信号近似。由于考虑的是近场情况,所以仍可采用平面波耦合方程（4.4-45）,但是在计算晶体输出面上的总谐波场时,积分路径必须沿着能量传播方向（与z轴夹角为ρ）。在这种情况下,晶体输出面上某点B(x,y,l)的二次谐波场幅度E02(x,y,l),应是虚线AB上各点的非线性极化发射的二次谐波场的叠加。因此,对方程（4.4-45）式的积分为第五十八页，课件共有112页图4.4-4考虑走离效应时谐波场的积分路线第五十九页，课件共有112页式中,x′,y′,z′是积分路径AB上各点的坐标,(4.4-51)(4.4-52)将（4.4-52）式代入（4.4-51）,可得(4.4-53)第六十页，课件共有112页引入归一化坐标［8］

(4.4-54)第六十一页，课件共有112页式中,la是高斯光束的走离长度,定义为(4.4-55)并且定义积分(4.4-56)则（4.4-53）式可表示为(4.4-57)第六十二页，课件共有112页3)一般情况对于既包括双折射引起的走离效应,又包括高斯光束发散影响的一般情况,不能直接采用平面波耦合波方程求解。博伊德(Boyd)和克莱曼(Kleinman)经过详细证明［9］,给出了远场情况下高斯光束二次谐波产生的效率表示式为(4.4-62)第六十三页，课件共有112页式中,B是双折射参量,其表示式为(4.4-63)ζ是聚焦参数,表示式为(4.4-64)第六十四页，课件共有112页图4.4-5不同t值下,函数F2(u,t)的变化曲线第六十五页，课件共有112页图4.4-6函数G(t)变化曲线［7］第六十六页，课件共有112页图4.4-7函数hm(B,ζ)在各种B值下与ζ的关系曲线第六十七页，课件共有112页图4.4-8函数hmm(B)与B的关系曲线第六十八页，课件共有112页最后,我们列出各种极限情况下的效率公式:(4.4-65)式中,lf称为高斯光束的有效焦长,(4.4-66)第六十九页，课件共有112页4.5参

量

转

换4.5.1参量转换的理论分析在实际情况中,起频率转换作用的强光波E(ω1)（有时称为泵浦光）通常都比弱光波（有时称为信号光）强得多,所以在频率转换过程中,泵浦光所损失或得到的功率与其总功率相比很小,因此可忽略其强度的变化,认为E(ω1)为常数。这种近似不仅适用于小的z值,对所有的z值都适用。第七十页，课件共有112页根据上面所给出的近似,我们可以一般地求解（4.3-17）式和（4.3-18）式。将（4.3-17）式对z求导,得(4.5-1)由（4.3-17）式可以求得(4.5-2)式中,lM是由（4.3-41）式定义的特征长度。第七十一页，课件共有112页4.5.2参量上转换参量上转换实验装置的示意图如图4.5-1所示。第一个观察到参量上转换的实验所利用的非线性晶体是KDP,红宝石激光器发出的激光作为泵浦光,光脉冲的平均功率为1kW,信号光是用水银灯发出的谱线,每条谱线的功率大约为10mW量级,所以信号光的强度比泵浦光强度小得多（相差约105倍）。在实验中尽可能使之达到相位匹配条件,得到大约10-9W的产生波功率,可见其上转换效率是很低的。在这样小的转换输出强度情况下,上转换输出强度与输入信号强度之间存在着线性关系,这种关系也正是（4.5-8）式所预示的情况。第七十二页，课件共有112页图4.5-1参量上转换实验示意图第七十三页，课件共有112页图4.5-2参量上转换过程的波矢关系第七十四页，课件共有112页4.6参量放大与参量振荡4.6.1参量放大首先应当明确,在激光放大器和激光振荡器中,增益是由原子或分子能级之间的粒子数反转提供的,而在参量放大器和参量振荡器中,增益则是由非线性介质中光波之间的相互作用产生的。第七十五页，课件共有112页在4.5节中我们已经知道,参量上转换过程中,原来信号光(ω2)的强度限制了从泵浦光(ω1)输送到转换光(ω3)的功率。但是在参量放大的情况下,限制功率输送的是泵浦光强度,因而在参量放大中,有可能输送更大的能量。第七十六页，课件共有112页根据以上的说明可以看到,在耦合波方程(4.3-16)~(4.3-18)中的任何一个光电场振幅E(ω1,z)、E(ω2,z)和E(ω3,z)都不能认为是不变的,即使是泵浦光E(ω3,z)，原则上也可以减小到零,而同时信号光E(ω1)和空闲光E(ω2)得到不断地增大。但是,如果只限定讨论z值足够小的情况,这时虽然信号光和空闲光已可能发生了显著的变化,但泵浦光还未发生显著的减小,则此时仍可把泵浦光E(ω3)看作常数。利用这种近似,我们可以求解方程(4.3-17)式和(4.3-16)式。消去E(ω1,z)后,可以得到E(ω2,z)的微分方程为第七十七页，课件共有112页(4.6-1)式中(4.6-2)第七十八页，课件共有112页(4.6-3)和(4.6-4)第七十九页，课件共有112页再由曼利-罗关系得到(4.6-4)假定开始时,

,则信号光的光子通量为(4.6-6)第八十页，课件共有112页4.6.2参量振荡图4.6-1示出了一种对信号光和空闲光双共振的参量振荡器的原理结构。图中频率为ω3的激光作为参量振荡器的泵浦光,总的增益将使ω1和ω2光波在含有非线性晶体的光学谐振腔内产生振荡。

第八十一页，课件共有112页图4.6-1双共振参量振荡器示意图第八十二页，课件共有112页1.参量放大基本方程的另一种形式因为因而(n|E0(ω)|2/ω)与频率为ω的光子通量成正比。令第八十三页，课件共有112页就有关系(4.6-10)第八十四页，课件共有112页2.参量振荡的自洽条件分析参量振荡的基本模型如图4.6-2所示。为简单起见,假定非线性晶体本身作为一个光学谐振腔,其两端对信号光和空闲光的反射率为R1,2=|r1,2|2,r为反射系数。腔镜对泵浦光是透明的。第八十五页，课件共有112页图4.6-2推导参量振荡条件的模型第八十六页，课件共有112页在腔中任一平面z处的信号光可以用下面的行“矢量”描述:(4.6-21)式中,ki=ωini/c,A上面的“~”表示此矢量是人为假定的。按(4.6-17)式、(4.6-19)式和(4.6-21)式,在非线性晶体内通过腔长l时的(l)为第八十七页，课件共有112页(4.6-22)如果(z)在谐振腔内往返一周保持不变,就表示信号光和空闲光处于稳定的振荡状态。现在就来推导参量振荡器的振荡条件。第八十八页，课件共有112页3.参量振荡器的阈值条件1)双共振参量振荡器的阈值条件所谓双共振参量振荡器,就是对频率为ω1的信号光和频率为ω2的空闲光都有高Q值的振荡器。将(4.6-31)式和(4.6-30)式代入(4.6-29)式后,便得到双共振情况下的参量振荡条件为即(4.6-32)第八十九页，课件共有112页再利用泵浦强度表示式(4.6-33)(4.6-34)及Γ0的定义(4.6-12)式,可以得到双共振参量振荡器的阈值泵浦强度为(4.6-35)第九十页，课件共有112页2)单共振参量振荡器的阈值条件所谓单共振参量振荡器，是指只有一个频率的光波（如频率为ω1的信号光）在腔镜处被反射返回形成振荡,而空闲光ω2只能在一个方向上传播的振荡器,它的典型原理装置如图4.6-3所示。这是一种非共线相位匹配的情况,三个波的方向各不相同,可以将信号光与空闲光分开来。这样的非共线相位匹配条件要求(4.6-39)第九十一页，课件共有112页图4.6-3单共振参量振荡器结构示意第九十二页，课件共有112页根据参量振荡器的振荡条件(4.6-29)式,令r2=0,就有(4.6-40)这就是单共振参量振荡器的阈值条件。考虑到(4.6-30)式,我们又可以把(4.6-40)式分解为相位条件(4.6-41)和振幅条件(4.6-42)第九十三页，课件共有112页由此可见,单共振参量振荡器振荡的相位条件(4.6-41)式与双共振参量振荡的相位条件(4.6-31)式是相同的,只是对空闲光的相位φ2没有限制。对于R1≈1的情况,阈值条件(4.6-42)式又可写成(4.6-43)可见,单共振参量振荡器的阈值泵浦相对于双共振参量振荡器增大了,且有(4.6-44)第九十四页，课件共有112页4.参量振荡器的频率调谐光参量振荡器的最大特点是其输出频率可以在一定范围内连续改变,不同的非线性介质和不同的泵浦源,可以得到不同的调谐范围。当泵浦光频率ω3固定时,参量振荡器的振荡频率应同时满足频率和相位匹配条件(4.6-45)(4.6-46)第九十五页，课件共有112页若三波波矢共线,则有(4.6-47)将(4.6-45)式代入,得因而有(4.6-48)第九十六页，课件共有112页1)角度调谐在共线相位匹配的情况下,假定频率为ω3的泵浦光是非常光,ω1和ω2光波是寻常光,又假定晶体光轴与谐振腔轴之间的夹角为某一角度θ0时,在ω10和ω20处发生振荡,其折射率分别为n1o和n2o,则按(4.6-47)式应有

ω3n3e(θ0)=ω10n1o+ω20n2o(4.6-49)

第九十七页，课件共有112页现转动晶体使晶体相对原来的方向转过Δθ角度,就引起折射率n3e(θ)变化。为满足相位匹配条件(4.6-47)式,ω1和ω2必须稍有改变,这又导致折射率n1o和n2o的改变。这样,相对于θ0时的振荡,新旧振荡之间有如下的改变:ω3→ω3n3e(θ0)→n3e(θ0)+Δn3n1o→n1o+Δn1n2o→n2o+Δn2ω10→ω10+Δω1ω20→ω20+Δω2第九十八页，课件共有112页并且,根据能量守恒条件(4.6-45)式,有

-Δω2=Δω1

因为现在要求新的一组频率满足(4.6-47)式,故应有

ω3(n3e(θ0)+Δn3)=(ω20+Δω2)(n2o+Δn2)+(ω10+Δω1)(n1o+Δn1)略去ΔnΔω的二阶小量,并利用(4.6-45)式,可得(4.6-50)第九十九页，课件共有112页图4.6-4信号光频率ω1随θ的变化曲线第一百页，课件共有112页2)温度调谐在非临界相位匹配(θm=90°)的情况下,可以通过改变温度来改变光的折射率,从而使振荡频率发生变化。在这种情况下,(4.6-50)式仍然适用,只不过折射率的改变Δn1、Δn2和Δn3是由温度变化ΔT引起的,且有(4.6-55a)(4.6-55b)(4