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文档简介
2022-2023学年浙江省诸暨市诸暨中学高考数学试题总复习卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形2.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则∁R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)3.已知复数满足,其中为虚数单位,则().A. B. C. D.4.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()A. B.C. D.5.设命题函数在上递增,命题在中,,下列为真命题的是()A. B. C. D.6.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米7.计算等于()A. B. C. D.8.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则9.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.10.函数的图象可能是()A. B. C. D.11.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中,含项的系数为______.14.已知复数对应的点位于第二象限,则实数的范围为______.15.记Sk=1k+2k+3k+……+nk,当k=1,2,3,……时,观察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,……S5=An6n5n4+Bn2,…可以推测,A﹣B=_____.16.某中学数学竞赛培训班共有10人,分为甲、乙两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,若甲组5名同学成绩的平均数为81,乙组5名同学成绩的中位数为73,则x-y的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的前项和为,且点在函数的图像上;(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足:,,求的通项公式;(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;18.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.19.(12分)已知函数,其中为自然对数的底数,.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;(2)若,问函数有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由.20.(12分)如图,在正四棱柱中,,,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若点P的极坐标为,,求的值.22.(10分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,以所在的直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系,如图所示,山区边界曲线为,设公路与曲线相切于点,的横坐标为.(1)当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度;(2)当公路的长度最短时,设公路交轴,轴分别为,两点,并测得四边形中,,,千米,千米,求应开凿的隧道的长度.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.2.D【解析】
求函数的值域得集合,求定义域得集合,根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故选:D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.3.A【解析】
先化简求出,即可求得答案.【详解】因为,所以所以故选:A【点睛】此题考查复数的基本运算,注意计算的准确度,属于简单题目.4.A【解析】
如图设平面,球心在上,根据正四面体的性质可得,根据平面向量的加法的几何意义,重心的性质,结合已知求出的值.【详解】如图设平面,球心在上,由正四面体的性质可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因为为重心,因此,则,因此,因此,则,故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.5.C【解析】
命题:函数在上单调递减,即可判断出真假.命题:在中,利用余弦函数单调性判断出真假.【详解】解:命题:函数,所以,当时,,即函数在上单调递减,因此是假命题.命题:在中,在上单调递减,所以,是真命题.则下列命题为真命题的是.故选:C.【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.B【解析】
由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长,故导线长度约为63(厘米).故选:B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算,属于容易题.7.A【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值.【详解】原式.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于基础题.8.C【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.9.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.10.A【解析】
先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.11.D【解析】
通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题12.D【解析】
利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
变换得到,展开式的通项为,计算得到答案.【详解】,的展开式的通项为:.含项的系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.14.【解析】
由复数对应的点,在第二象限,得,且,从而求出实数的范围.【详解】解:∵复数对应的点位于第二象限,∴,且,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系,解不等式,且是解题的关键,属于基础题.15.【解析】
观察知各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为1,最高次项的系数为该项次数的倒数,∴A,A1,解得B,所以A﹣B.故答案为:.【点睛】本题考查了归纳推理,意在考查学生的推理能力.16.【解析】
根据茎叶图中的数据,结合平均数与中位数的概念,求出x、y的值.【详解】根据茎叶图中的数据,得:甲班5名同学成绩的平均数为,解得;又乙班5名同学的中位数为73,则;.故答案为:.【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数,考查数据分析能力,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)当n为偶数时,;当n为奇数时,.(3)【解析】
(1)根据,讨论与两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)利用递推公式及累加法,即可求得当n为奇数或偶数时的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.(3)分类讨论,当n为奇数或偶数时,分别求得的最大值,即可求得的取值范围.【详解】(1)由题意可知,.当时,,当时,也满足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.当时,,①当时,,所以,②当时,,③当时,,所以,④……当时,n为偶数当时,n为偶数所以以上个式子相加,得.又,所以当n为偶数时,.同理,当n为奇数时,,所以,当n为奇数时,.解法二:猜测:当n为奇数时,.猜测:当n为偶数时,.以下用数学归纳法证明:,命题成立;假设当时,命题成立;当n为奇数时,,当时,n为偶数,由得故,时,命题也成立.综上可知,当n为奇数时同理,当n为偶数时,命题仍成立.(3)由(2)可知.①当n为偶数时,,所以随n的增大而减小从而当n为偶数时,的最大值是.②当n为奇数时,,所以随n的增大而增大,且.综上,的最大值是1.因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,故实数的取值范围是.【点睛】本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.18.(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表见解析;(2)理由见解析【解析】
(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,家长的排序有种等可能结果,利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,由此能求出他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率.
(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,由此能求出X的分布列.
(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为,这个结果发生的可能性很小,从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【详解】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,先考虑小孩的排序为xA,xB,xC,xD为1234的情况,家长的排序有=24种等可能结果,其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,分别为:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=.基小孩对四种食物的排序是其他情况,只需将角标A,B,C,D按照小孩的顺序调整即可,假设小孩的排序xA,xB,xC,xD为1423的情况,四种食物按1234的排列为ACDB,再研究yAyByCyD的情况即可,其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的,∴他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,由(1)可知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为()3=,这个结果发生的可能性很小,∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19.(1)(2)没有,理由见解析【解析】
(1)求导,研究函数在x=0处的导数,等于切线斜率,即得解;(2)对f(x)求导,构造,可证得,得到,即得解【详解】(1)由题意得,∵曲线在点处的切线与直线平行,∴切线的斜率为,解得.(2)当时,,,设,则,则函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,又函数,故恒成立,∴函数在定义域内单调递增,函数不存在极值点.【点睛】本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.20.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).【解析】
(1)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(2)由四边形是平行四边形,且,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)先证,可得为的中点,从而得出是的中点,可得.【详解】(1)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(2)因为,两点不在棱的端点处,所以,又四边形是平行四边形,,则不可能是矩形,所以与不垂直;(3)如图,延长交的延长线于点,若四边形为菱形,则,易证,所以,即为的中点,因此,且,所以是的中位线,则是的中点,所以.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和线段长的求解问题
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