2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.1.1条件概率教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率新版课程标准学业水平要求1.结合古典概型,了解条件概率,能计算简洁随机事务的条件概率.2.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.1.通过对详细情境的分析,了解条件概率的定义.(数学抽象)2.驾驭简洁的条件概率的计算问题.(数学运算)3.能利用条件概率公式、概率的乘法公式解决简洁的实际问题.(数学模型、数学运算)必备学问·素养奠基1.条件概率(1)定义:一般地,设A,B为两个随机事务,且P(A)>0,我们称P(B|A)=QUOTE为在事务A发生的条件下,事务B发生的条件概率,简称条件概率.1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗?为什么?提示:不同.P(B|A)是指在事务A发生的条件下,事务B发生的概率,而P(A|B)是指在事务B发生的条件下,事务A发生的概率,因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同.2.古典概型中的条件概率还可以怎样计算?提示:P(B|A)=QUOTE(2)特例:当P(A)>0时,当且仅当事务A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B).2.概率的乘法公式对随意两个事务A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)·P(B|A).3.条件概率的性质设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1;(2)假如B和C是两个互斥事务,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)设QUOTE和B互为对立事务,则P(QUOTE|A)=1-P(B|A).1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)P(A∩B)=P(AB).()(2)若事务A,B互斥,则P(B|A)=1.()(3)PQUOTE=PQUOTEPQUOTE.()提示:(1)√.事务A和B同时发生所构成的事务称为事务A与B的交(或积),记作A∩B(或AB),所以P(A∩B)=P(AB).(2)×.若事务A,B互斥,则事务A∩B是不行能事务,P(A∩B)=0,所以P(B|A)=0.(3)×.PQUOTE=PQUOTEPQUOTE.2.设A,B为两个事务,若P(A∩B)=QUOTE,P(B)=QUOTE,则P(A|B)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.某产品长度合格的概率为QUOTE,质量合格的概率为QUOTE,长度、质量都合格的概率为QUOTE,任取一件产品,已知其质量合格,则它的长度也合格的概率为________.

【解析】令A:产品的长度合格,B:产品的质量合格,A∩B:产品的长度、质量都合格,则P(A)=QUOTE,P(B)=QUOTE,P(A∩B)=QUOTE.任取一件产品,已知其质量合格,它的长度也合格,即为A|B,其概率P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·素养形成类型一条件概率的计算角度1利用条件概率公式计算【典例】在5道题中有3道理科题和2道文科题.假如不放回地依次抽取2道题,求在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【思维·引】设出事务,利用条件概率公式求解.【解析】设第1次抽到理科题为事务A,第2次抽到理科题为事务B,则第1次和第2次都抽到理科题为事务A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为QUOTE=20.事务A所含样本点的总数为QUOTE×QUOTE=12.故P(A)=QUOTE=QUOTE.因为事务A∩B含QUOTE=6个样本点.所以P(A∩B)=QUOTE=QUOTE.所以在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【素养·探】★本例考查条件概率的计算,同时考查了数学抽象与数学运算的核心素养.若本例条件不变,求第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【解析】设第1次抽到文科题为事务A,第2次抽到理科题为事务B,则第1次抽到文科题且第2次抽到理科题为事务A∩B.从5道题中不放回地依次抽取2道题的样本空间总数为QUOTE=20.事务A所含样本点的总数为QUOTE×QUOTE=8.故P(A)=QUOTE=QUOTE.因为事务A∩B含QUOTE×QUOTE=6个样本点.所以P(A∩B)=QUOTE=QUOTE.所以在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.角度2利用缩小样本空间计算【典例】集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.【思维·引】正确理解条件概率的特点,结合古典概型求解.【解析】将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15个样本点,在这15个样本点中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9个,所以所求概率P=QUOTE=QUOTE.【类题·通】条件概率计算的关注点1.原型:在题目条件中,若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时,一般可认为是条件概率.2.方法:(1)在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=QUOTE计算求得P(B|A);(2)若事务为古典概型,可利用公式P(B|A)=QUOTE,即在缩小后的样本空间中计算事务B发生的概率.【习练·破】抛掷红、蓝两颗骰子,设事务A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事务B为“两颗骰子的点数之和大于8”.(1)求P(A),P(B),P(A∩B);(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少?【解析】(1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则全部可能的事务为(x,y),建立一一对应的关系,由题意作图如图明显:P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,P(A∩B)=QUOTE.(2)方法一:P(B|A)=QUOTE=QUOTE.方法二:P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.类型二条件概率的实际应用【典例】有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9,寿命超过800小时的概率为0.8,在寿命超过500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为________.

【思维·引】细致阅读分析题意,利用条件概率公式解题.【解析】记“寿命超过500小时”为事务A,“寿命超过800小时”为事务B,则所求事务为B|A,因为B⊆A,所以B∩A=B,又P(A)=0.9,P(B∩A)=P(B)=0.8,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【内化·悟】条件概率的实际应用问题的解题的难点是什么?提示:条件概率是指事务A发生的条件下,事务B发生的概率,需正确分析事务A,B并计算其概率.【类题·通】解决条件概率问题的关注点(1)关键:理清条件和结论,建立条件概率模型;(2)留意:B∩A事务的含义;(3)公式:P(A|B)=QUOTE,P(B|A)=QUOTE.【习练·破】某种元件用满6000小时未坏的概率是QUOTE,用满10000小时未坏的概率是QUOTE.现有1个此种元件,已经用过6000小时未坏,求它能用到10000小时的概率.【解析】设A:用满10000小时未坏,B:用满6000小时未坏,明显AB=A,所以P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.类型三利用乘法公式求概率【典例】有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取1粒,则这粒种子能长成幼苗的概率为________.

【思维·引】细致分析题意,利用乘法公式求解.【解析】记“种子发芽”为事务A,“种子长成幼苗”为事务AB(发芽,又成活),出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,又P(A)=0.9.故P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.72.答案:0.72【内化·悟】乘法公式与条件概率公式是什么关系?提示:乘法公式是条件概率公式的变形式.【类题·通】应用乘法公式的关注点1.功能:已知事务A发生的概率和事务A发生的条件下事务B发生的概率,求事务A与B同时发生的概率.2.推广:设A,B,C为三个事务,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A).【习练·破】某项射击嬉戏规定:选手先后对两个目标进行射击,只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8,接着射击,射中其次个目标的概率为0.5,则这个选手过关的概率为________.

【解析】记“射中第一个目标”为事务A,“射中其次个目标”为事务B,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5.所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手过关的概率为0.4.答案:0.4【加练·固】一批彩电,共100台,其中有10台次品,采纳不放回抽样依次抽取3次,每次抽一台,求第3次才抽到合格品的概率.【解析】设Ai(i=1,2,3)为第i次抽到合格品的事务,则有P(QUOTEQUOTEA3)=P(QUOTE)P(QUOTE)P(A3QUOTE)=QUOTE×QUOTE×QUOTE≈0.0083.课堂检测·素养达标1.某班学生的考试成果中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%,已知一学生数学不及格,则他的语文也不及格的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设A为事务“数学不及格”,B为事务“语文不及格”,P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以当数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为QUOTE.2.4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最终一名同学抽到中奖券的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券,所以问题变为3张奖券,1张能中奖,最终一名同学抽到中奖券的概率明显是QUOTE.3.甲、乙两市都位于长江下游,依据一百多年来的气象记录,知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于()A.QUOTE,QUOTE B.QUOTE,QUOTEC.QUOTE,QUOTE D.QUOTE,QUOTE【解析】选C.P(A|B)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.第一个袋中有黑、白球各2只,其次个袋中有黑、白球各3只.先从第一个袋中任取一球放入其次个袋中,再从其次个袋中任取一球.则第一、二次均取到白球的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.记Ai:第i次取得白球,i=1,2,则PQUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE,由乘法公式求得,P(A1A2)