高考数学一轮复习 规范答题强化练（五）高考大题-解析几何 文试题

规范答题强化练（五）解析几何

（45分钟48分）

1.（12分）如图，已知椭圆E:+=l（a〉b>0）的离心率为,A,B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为

2,P,Q为椭圆E上异于A,B的两点,且直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍.

⑴求证:直线BP与直线BQ的斜率乘积为定值.

⑵求三角形APQ的面积的最大值.

【解析】⑴由题意知椭圆方程为+=LkSp,kBp=-,故kBp-kBQ=-l.（4分）

（2）当直线PQ的斜率存在时,设/pQ:y=kx+m,与x轴的交点为M,代入椭圆方程得（2k'+l）x'dkmx+Zm'YR.（6

分）

设P(xi,yi),Q(X2,y2),

则xi+x2=,xix2=,(7分)

由kBp,kBQ=-l得,=0,则yiy2+xiX2-2(xi+x2)+4=0,

2:

得(k+l)X1X2+(km-2)(xi+x2)+4+m=0,

4k2+8km+3m2=0,得m=-2k或m=-k.y=kx-2k或y=kx-k,所以过定点M(2,0)或，点为右端点，舍去，(8分)

SAAPQ=SAAPM+SAAQM=XX

8jk2(8k2-2m2+4)16)/c2(16/c2+9)

3J(2/c2+l)2=9：(2/+1)2

161ir71

9J2[2/C2+1(2/C2+l)2.

,(10分)

令=七(0<t<l),SAAK)=

161

4--(7t+t27)

,7t+t2>0,SAAPQ^,

PQAAPAAPQ

当直线/的斜率k不存在时，P(xi,yi),Q(xi,-yi),kAP=kBQ,即=,解得xi=,yi=,SQ=XX=，所以S的最大值

为.(12分)

2.(12分)已知椭圆C:+=l(a>b〉O)的离心率为,且过点.

⑴求椭圆C的方程.

(2)过点M任作一条直线与椭圆C相交于P,Q两点,试问在x轴上是否存在定点N,使得直线PN与直线QN关

于x轴对称?若存在,求出点N的坐标;若不存在,说明理由.

【解析】(1)由题意得b=2,1=8,故椭圆C的方程为+=1.(4分)

⑵假设存在点N(m,0)满足题设条件.当直线PQ与x轴不垂直时,设PQ的方程为y=k(x-l),

代入椭圆方程化简得：

(2+k2)x2-2k2x+k2-8=0,(6分)

设P(xi,yi),Q(x2,ya),则xi+x2=,XiX2=,所以kPN+kQN=+=+

k(x1-1)(x2-m)+k(x2-1)(匕-m)

(%i-m)(x2-m)

k[2xrx7-(1+m)(xx+々)+2m]

二(8分)

(xtm)(x2m)

因为2xix2-(l+m)(xi+x2)+2m=-+2m=,(10分)

所以当m=4时,kpN+kQN=0,直线PN与直线QN关于x轴对称，当PQ±x轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线PN

与直线QN关于x轴对称,综上可得,在x轴上存在定点N(4,0),使得直线PN与直线QN关于x轴对称.(12

分)

3.(12分)已知Fj,Fz是椭圆Q:+=l(b〉0)的左、右焦点.

⑴当b=l时，若P是椭圆Q上在第一象限内的一点，且•=-,求点P的坐标.

⑵当椭圆Q的焦点在x轴上且焦距为2时，若直线，:y=kx+m与椭圆Q相交于A(xi,y),B(x2,yz)两点，且

3xix2+4yiy2=0,求证：△AOB的面积为定值.

【解析】⑴当b=l时,椭圆方程为+yJl,则储(-,0),F?C0).设P(x,y)(x>0,y>0),则=(—x,-y),=(-x,-y),(2

分)

由•=-,得(+『=,与椭圆方程联立解得x=l,y=,即点P的坐标为.(4分)

⑵当椭圆Q的焦距为2时,c=l.则b2=a2-c2=3,所以椭圆Q的方程为+=1.

由

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.(6分)

A=64k2mz-16(3+4k2)(m2-3)=48(3+4k2-m2)>0,所以3+4kz-m?>0,

所以Xl+X2=-,X1X2=.

22

所以yiy2=(kxi+m)(kx2+m)=kxix2+kni(xi+x2)+m=.

由3xix2+4yiy2=0,得

3,+4,=0.

所以2m=3+4k2.

因为|AB|=•Ixi-Xzl

=；(%1+%2产-4%/2

,48(3+4/—

(3+4/c2)2

)48(2m2-m2)

二(2m2)2-

=•.(io分)

又点0到直线AB的距离d==,

所以SAAOB=•IABI•d=•••=.即AAOB的面积为定值.(12分)

4.(12分)已知抛物线C:y?=2px(p>0)的焦点为F,A为C上位于第一象限的任意一点,过点A的直线，交C于

另一点B,交x轴的正半轴于点D.

(1)若当点A的横坐标为3,且4ADF为以F为顶点的等腰三角形,求C的方程.

⑵对于(1)中求出的抛物线C,若点D,记点B关于x轴的对称点为E,AE交x轴于点P,且AP±BP,求证:点P

的坐标为,并求点P到直线AB的距离d的取值范围.

【解析】(1)由题知F,=3+,(2分)

则D(3+p,O),FD的中点坐标为,则+=3,解得p=2,故C的方程为y=4x.(4分)

(2)依题可设直线AB的方程为x=my+xo(mHO),A(xi,yi),B(x2,y2),

22

贝ijE(x2,-y2),由消去x,得y-4my-4xo=O,因为Xo2.LUA=16m+16x0>0,(6分)

yi+y2=4m,yiy2=-4x0,设P的坐标为(xP,0),贝！J=(x2-xP,-y2),=(x-xP,yi),

由题知〃，所以3-XP)yi+y2(XI-XP)=0,

即x2yi+y2Xi=(yi+y2)xP==,显然yi+y2=4m^0,所以xP==-x0,即P(-xo,0),由题知AEPB