高考数学一轮复习 规范答题强化练（四）高考大题-立体几何 文试题

规范答题强化练（四）立体几何

（45分钟48分）

1.（12分）（2018•湖州模拟）如图,过四棱柱ABCD-ABCD形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将

木块锯开,得到截面BDEF.

（1）请在木块的上表面作出过P点的锯线EF,并说明理由.

⑵若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB.D.l）是矩形,试说明：平面BDEFL平面ACCA.

【解析】⑴在上底面内过点P作BD的平行线分别交AD,AB于E,F两点,则EF即为所作的锯线.（2分）

在四棱柱ABCD-ABCD中,侧棱BBi#DDi,且BBi=DDb

所以四边形BB.D.D是平行四边形,BD〃BD.

又因为平面ABCD〃平面AHCD,（4分）

平面BDEFC平面ABCD=BD,平面BDEFD平面ABCD=EF,

所以EF〃BD,从而EF〃BD.（6分）

（2）由于四边形BBDD是矩形，

所以

又因为AiA〃BR所以BDJ_AA

又因为四棱柱ABCD-AiB.C.D,的底面ABCD是菱形,所以BDXAC.（10分）

因为ACnA,A=A,ACc平面A£CA,

AiAu平面ACCA,所以BDL平面A.CiCA.

因为BDc平面BDEF,

所以平面BDEF,平面A.C.CA.（12分）

2.（12分）在四棱锥A-BCDE中,EB/7DC,且EBJ_平面ABC,EB=1,DC=BC=AB=AC=2,F是棱AD的中点.

⑴证明：EFJ_平面ACD.

（2）求四棱锥A-BCDE的体积.

【解析】⑴取AC的中点M,连接

因为F是AD的中点，所以FM〃DC,且FM=DC=1.（2分）

又因为EB〃DC,所以FM〃EB.

又因为EB=1,所以FM=EB.所以四边形FMBE是平行四边形.所以EF〃BM,又BC=AB=AC,所以aABC是等边三角

形，（4分）

所以BM1AC,因为EB_L平面ABC,EB〃DC,所以CD_L平面ABC,所以CDIBM,

所以BMJ_平面ACD,

所以EFJ_平面ACD.（6分）

⑵取BC的中点N,连接AN,

因为AABC是正三角形，

所以AN_LBC,AN=BC=.（8分）

因为EB_L平面ABC,所以EB1AN.所以AN_L平面BCDE,（10分）

由（1）知底面BCDE为直角梯形，

所以S悌形BCDE=*BC=3,所以四棱锥A-BCDE的体积V=•AN•S梯形BCDE

=.（12分）

3.（12分）如图，三棱柱ABC-ABG中,AA」平面ABC,BC1AC,M是AB上的动点,CB=CA=CC,=2.

⑴若点M是AB中点，证明：平面MCG_L平面ABBA.

（2）判断点M到平面A,B.C的距离是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.

【解析】（1）因为BC=AC,M是AB中点,所以CM±AB.因为AA」平面ABC,（2分）

CMc平面ABC,所以CM±AA,.

因为ABc平面ABBiAi,AAiC平面ABBA,且ABCAAFA,所以CM_L平面ABBA.（4分）

因为CMu平面MCG,

所以平面MCG_L平面ABBA.（6分）

（2）因为AB〃AB,AM平面ABC,ABC平面ABC,所以AB〃平面A,B,C.所以点M到平面ABC的距离是定

值.（8分）

令点M平分AB,作AB的中点M>,连接MM,,CM,CM.,过M作MO_LCM”垂足为0,

显然C,M,然共面.

因为AB_L平面MCCiM,,AB〃AB,

所以AB」平面MCCM.（10分）

因为MOu平面MCC.M.,

所以AJB.IMO.又因为M01CM.,CMiC平面ABC,ABu平面ABC,所以M0,平面ABC,即M0为所求.因为

CB=CA=CCi=2,BC±AC,所以AB==2.所以CM==.所以CM,==.因为•M0•CM,=•CM•MM1,所以M0==.

所以点M到平面A,B.C的距离为.（12分）

4.（12分）如图所示的几何体P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，ZABC=120°,

AB=a,PB=a,PB1AB,平面ABCD_L平面PAB,ACDBl）=0,E为PD的中点,G为平面PAB内任一点.

（1）在平面PAB内，过G点是否存在直线1使0E〃/?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法.

（2）过A,C,E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC,求剩余几何体AECBP的体积.

【解析】⑴过G点存在直线1使0E〃1,理由如下：由题可知0为BI）的中点，又E为PD的中点,所以在△PBD

中，有OE〃PB.（2分）

若点G在直线PB上，

则直线PB即为所求作直线1,

所以有0E〃/;（4分）

若点G不在直线PB上，

在平面PAB内，过点G作直线1,使/〃PB,

又OE〃PB,所以0E〃/,即过G点存在直线/使0E〃/.（6分）

⑵连接EA,EC,则平面ACE将几何体分成两部分:三棱锥D-AEC与几何体AECBP（如图所示）.

因为平面ABCDL平面PAB,且交线为AB,又PB1AB,所以PBL平面ABCD.故PB为几何体P-ABCD的高.（8分）

又四边形ABCD为菱形，ZABC=120°,AB=a,PB=a,

所以S四边形ABcr）—2Xa2—aw,

所以VP-ABCD=S四边形ABCD•PB二义a'义a二a'.（10分）

又OEPB,所以0£_1_平面AC