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文档简介
规范答题强化练(四)立体几何
(45分钟48分)
1.(12分)(2018•湖州模拟)如图,过四棱柱ABCD-ABCD形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将
木块锯开,得到截面BDEF.
(1)请在木块的上表面作出过P点的锯线EF,并说明理由.
⑵若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB.D.l)是矩形,试说明:平面BDEFL平面ACCA.
【解析】⑴在上底面内过点P作BD的平行线分别交AD,AB于E,F两点,则EF即为所作的锯线.(2分)
在四棱柱ABCD-ABCD中,侧棱BBi#DDi,且BBi=DDb
所以四边形BB.D.D是平行四边形,BD〃BD.
又因为平面ABCD〃平面AHCD,(4分)
平面BDEFC平面ABCD=BD,平面BDEFD平面ABCD=EF,
所以EF〃BD,从而EF〃BD.(6分)
(2)由于四边形BBDD是矩形,
所以
又因为AiA〃BR所以BDJ_AA
又因为四棱柱ABCD-AiB.C.D,的底面ABCD是菱形,所以BDXAC.(10分)
因为ACnA,A=A,ACc平面A£CA,
AiAu平面ACCA,所以BDL平面A.CiCA.
因为BDc平面BDEF,
所以平面BDEF,平面A.C.CA.(12分)
2.(12分)在四棱锥A-BCDE中,EB/7DC,且EBJ_平面ABC,EB=1,DC=BC=AB=AC=2,F是棱AD的中点.
⑴证明:EFJ_平面ACD.
(2)求四棱锥A-BCDE的体积.
【解析】⑴取AC的中点M,连接
因为F是AD的中点,所以FM〃DC,且FM=DC=1.(2分)
又因为EB〃DC,所以FM〃EB.
又因为EB=1,所以FM=EB.所以四边形FMBE是平行四边形.所以EF〃BM,又BC=AB=AC,所以aABC是等边三角
形,(4分)
所以BM1AC,因为EB_L平面ABC,EB〃DC,所以CD_L平面ABC,所以CDIBM,
所以BMJ_平面ACD,
所以EFJ_平面ACD.(6分)
⑵取BC的中点N,连接AN,
因为AABC是正三角形,
所以AN_LBC,AN=BC=.(8分)
因为EB_L平面ABC,所以EB1AN.所以AN_L平面BCDE,(10分)
由(1)知底面BCDE为直角梯形,
所以S悌形BCDE=*BC=3,所以四棱锥A-BCDE的体积V=•AN•S梯形BCDE
=.(12分)
3.(12分)如图,三棱柱ABC-ABG中,AA」平面ABC,BC1AC,M是AB上的动点,CB=CA=CC,=2.
⑴若点M是AB中点,证明:平面MCG_L平面ABBA.
(2)判断点M到平面A,B.C的距离是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为BC=AC,M是AB中点,所以CM±AB.因为AA」平面ABC,(2分)
CMc平面ABC,所以CM±AA,.
因为ABc平面ABBiAi,AAiC平面ABBA,且ABCAAFA,所以CM_L平面ABBA.(4分)
因为CMu平面MCG,
所以平面MCG_L平面ABBA.(6分)
(2)因为AB〃AB,AM平面ABC,ABC平面ABC,所以AB〃平面A,B,C.所以点M到平面ABC的距离是定
值.(8分)
令点M平分AB,作AB的中点M>,连接MM,,CM,CM.,过M作MO_LCM”垂足为0,
显然C,M,然共面.
因为AB_L平面MCCiM,,AB〃AB,
所以AB」平面MCCM.(10分)
因为MOu平面MCC.M.,
所以AJB.IMO.又因为M01CM.,CMiC平面ABC,ABu平面ABC,所以M0,平面ABC,即M0为所求.因为
CB=CA=CCi=2,BC±AC,所以AB==2.所以CM==.所以CM,==.因为•M0•CM,=•CM•MM1,所以M0==.
所以点M到平面A,B.C的距离为.(12分)
4.(12分)如图所示的几何体P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,ZABC=120°,
AB=a,PB=a,PB1AB,平面ABCD_L平面PAB,ACDBl)=0,E为PD的中点,G为平面PAB内任一点.
(1)在平面PAB内,过G点是否存在直线1使0E〃/?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法.
(2)过A,C,E三点的平面将几何体P-ABCD截去三棱锥D-AEC,求剩余几何体AECBP的体积.
【解析】⑴过G点存在直线1使0E〃1,理由如下:由题可知0为BI)的中点,又E为PD的中点,所以在△PBD
中,有OE〃PB.(2分)
若点G在直线PB上,
则直线PB即为所求作直线1,
所以有0E〃/;(4分)
若点G不在直线PB上,
在平面PAB内,过点G作直线1,使/〃PB,
又OE〃PB,所以0E〃/,即过G点存在直线/使0E〃/.(6分)
⑵连接EA,EC,则平面ACE将几何体分成两部分:三棱锥D-AEC与几何体AECBP(如图所示).
因为平面ABCDL平面PAB,且交线为AB,又PB1AB,所以PBL平面ABCD.故PB为几何体P-ABCD的高.(8分)
又四边形ABCD为菱形,ZABC=120°,AB=a,PB=a,
所以S四边形ABcr)—2Xa2—aw,
所以VP-ABCD=S四边形ABCD•PB二义a'义a二a'.(10分)
又OEPB,所以0£_1_平面AC
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