北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（含答案）

通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2 B. C. D.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0 D.23.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Oyz的对称点坐标为（）A. B.C. D.4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A. B. C.或 D.相交但不垂直5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A.1 B.2 C. D.6.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A. B. C. D.7.圆和圆的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切8.如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，若，则（）A. B. C. D.29.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱BC的中点，平面yDz内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则________.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.13.直线与圆相交于A、B两点，当弦AB最短时，________.14.已知两点，和圆，则直线AB与圆C的位置关系为________.若点M在圆C上，且，则满足条件的点M共有________个.15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点P一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy中，点，，.（I）求直线BC的方程；（II）求过点A与直线BC垂直的直线l的方程；（III）求直线BC与直线l交点的坐标.17.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy中，点，，且圆M是以AB为直径的圆.（I）求圆M的方程；（II）若直线与圆M相交，求实数k的取值范围.18.（本小题15分）如图，在棱长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点.（I）证明：平面；（II）求异面直线EF与所成角的大小.19.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，M分别为棱PB，PC的中点.（I）求线段BM的长；（II）求平面PDM和平面DME夹角的余弦值；（III）在线段AP上是否存在点G，使得直线DG在平面DME内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）如图①，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC边的中点，将沿BD折起至，使平面平面BCD，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.图①图②（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点且圆心C在x轴上，与直线交于不同的两点M，N，且.（I）求圆C的方程；（II）设圆C与y轴交于A，B两点，点P为直线上的动点，直线PA，PB与圆的另一个交点分别为R，S，且R，S在直线AB两侧，求证：直线RS过定点，并求出的值.

通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学参考答案及评分标准2024年11月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ADBCDCBDBA二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.612.13.014.相交；415.②③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）（I）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（II）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（III）直线和的交点即，17.（共13分）解：（I）由已知，，则圆心.半径，所以圆的方程为.（II）由直线，即，又直线与圆相交，可得，，解得.18.（共15分）解：（I）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以.同理，，故平面.（II），，，，所以，所以.19.（共15分）（I）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段的长为.（II），，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.（III）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，则，，因为在平面内，故，所以，.故线段上存在点，使得直线在平面内，此时.20.（共15分）解：（I）证明若选条件①，取中点，连，OE，，故，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，且，所以平面，所以.以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，，，，，，，，，所以，所以.（II）设平面的法向量为，则，取，，故与平面所成角的正弦值为.若选条件②，取中点，连，，，故，，，因为平面平面BCD，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，，又因为，所以，所以，所以.以