2025届高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式课时规范练理含解析新人教版

PAGE第一节不等关系与不等式[A组基础对点练]1．(2024·山西运城模拟)若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A．ac＞bd B．ac＜bdC．ad＜bc D．ad＞bc解析：依据c＜d＜0，有－c＞－d＞0，由于a＞b＞0，两式相乘有－ac＞－bd，ac＜bd.答案：B2．若a>b>0，则下列不等式不成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．|a|>|b|C．a＋b<2eq\r(ab) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)解析：∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，且|a|>|b|，a＋b>2eq\r(ab).又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)，故选项C不成立．答案：C3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则下列不等式正确的是()A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0 B．sinx－siny＞0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0 D．lnx＋lny＞0解析：eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(y－x,xy)＜0；当x＝π，y＝eq\f(π,2)时，sinx－siny＜0；函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0，当x＝1，y＝eq\f(1,2)时，lnx＋lny＜0.答案：C4．设a，b∈R.若a＋|b|＜0，则下列不等式成立的是()A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0解析：当b≥0时，a＋b＜0；当b＜0时，a－b＜0，所以a＜b＜0，所以a＋b＜0.答案：D5．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式肯定成立的是()A．a＋c＞b－c B．(a－b)c2＞0C．a3＞b3 D．a2＞b2解析：对于A，由于不知道c的正负，所以无法推断a＋c与b－c的大小关系，所以A错误；对于B，当c＝0时，(a－b)c2＞0不成立，所以B错误；对于D，须要保证a＞b＞0，才能得到a2＞b2，所以D错误．答案：C6．已知a＞b＞0，则eq\r(a)－eq\r(b)与eq\r(a－b)的大小关系是()A．eq\r(a)－eq\r(b)＞eq\r(a－b) B．eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\r(a－b)C．eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\r(a－b) D．无法确定解析：(eq\r(a)－eq\r(b))2－(eq\r(a－b))2＝a＋b－2eq\r(ab)－a＋b＝2(b－eq\r(ab))＝2eq\r(b)(eq\r(b)－eq\r(a))，因为a＞b＞0，所以eq\r(b)－eq\r(a)＜0，所以(eq\r(a)－eq\r(b))2－(eq\r(a－b))2＜0，所以eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\r(a－b).答案：B7．设b＜a，d＜c，则下列不等式中肯定成立的是()A．a－c＜b－d B．ac＜bdC．a＋c＞b＋d D．a＋d＞b＋c答案：C8．若a＜b＜0，则下列不等关系中，不成立的是()A．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) B．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)C．aeq\s\up6(\f(1,3))＜beq\s\up6(\f(1,3)) D．a2＞b2解析：对于A，a＜b＜0，两边同除以ab可得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故A成立；对于B，a＜b＜0，则a＜a－b＜0，两边同除以a(a－b)可得eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，故B不成立；对于C，依据幂函数的单调性可知C成立；对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D成立，故选B.答案：B9．已知角α，β满意－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))因为－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.答案：(－π，2π)[B组素养提升练]1．(2024·豫西南联考)假如a＞0＞b且a2＞b2，那么以下不等式中正确的个数是()①a2b＜b3；②eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b)；③a3＜ab2.A．0 B．1C．2 D．3解析：∵a＞0，∴eq\f(1,a)＞0，又b＜0，∴eq\f(1,b)＜0，∴eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b)，②正确；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＞b2,b＜0))⇒a2b＜b3，①正确；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＞b2,a＞0))⇒a3＞ab2，③不正确．答案：C2．已知a，b∈R，下列四个条件中，使eq\f(a,b)＞1成立的必要不充分条件是()A．a＞b－1 B．a＞b＋1C．|a|＞|b| D．lna＞lnb解析：由eq\f(a,b)＞1⇔eq\f(a,b)－1＞0⇔eq\f(a－b,b)＞0⇔(a－b)b＞0⇔a＞b＞0或a＜b＜0⇒|a|＞|b|，但由|a|＞|b|不能得到a＞b＞0或a＜b＜0，即得不到eq\f(a,b)＞1，故|a|＞|b|是使eq\f(a,b)＞1成立的必要不充分条件．答案：C3．(2024·安徽淮北模拟)若a＜b＜0，给出下列不等式：①a2＋1＞b2；②|1－a|＞|b－1|；③eq\f(1,a＋b)＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为a＜b＜0，所以|a|＞|b|＞0，所以a2＞b2，所以a2＋1＞b2，故①正确．又因为－a＞－b＞0，所以－a＋1＞－b＋1＞0，所以|1－a|＞|b－1|，故②正确．因为a＋b＜a＜b＜0，所以eq\f(1,a＋b)＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故③正确．所以三个不等式都正确．故选D.答案：D4．已知1<a<b，m＝ab－1，n＝ba－1，则m，n的大小关系为m________n.解析：由m＝ab－1，n＝ba－1，1<a<b，得lnm＝(b－1)lna，lnn＝(a－1)lnb，所以要比较m，n的大小，即比较eq\f(lna,a－1)，eq\f(lnb,b－1)的大小．设f(x)＝eq\f(lnx,x－1)(x>1)，则f′(x)＝eq\f(\f(x－1,x)－lnx,（x－1）2)＝eq\f(x－1－xlnx,x（x－1