2025年高考数学专项题型点拨训练之圆锥曲线小题

年高考数学专项题型点拨训练圆锥曲线小题【题型一】圆锥曲线定义型【题型二】焦点弦与焦半径型【题型三】定比分点【题型四】离心率综合【题型五】双曲线渐近线型【题型六】抛物线中的设点计算型【题型七】切线型【题型八】切点弦型【题型九】曲线轨迹型圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其中的含义和方法。易错点：基本结论1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．例（2024·全国·模拟预测）设双曲线的一个顶点坐标为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．变式1：（2024·全国·模拟预测）设双曲线，椭圆的离心率分别为，．若这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为，则，分别为（

）A．， B．， C．， D．，变式2：（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【题型一】圆锥曲线定义型基本定义：(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a>0，c>0).(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.拓展定义：1.A,B是椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）2.A,B是双曲线C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）【例1】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（

）A． B． C． D．【例2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【例3】（多选）（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（

）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8【变式1】（2024·贵州安顺·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率．【变式2】（2024·上海奉贤·二模）点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为．【变式3】（2024·河南焦作·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为.【题型二】焦点弦与焦半径型1.已知F是抛物线的焦点，点P在抛物线上，则2.若焦点弦的倾斜角为，则（横放）若的倾斜角为，则（竖放）【例1】已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则．【例2】已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线的焦点为，设两曲线的一个交点为，若，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【变式1】已知椭圆（）的焦点为，，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“”点，则椭圆上的“”点有个A． B． C． D．【变式2】（多选）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．【变式3】已知抛物线的焦点为，为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切（切点为）且交轴于点，过点作圆的另一条（切点为）交轴于点，若，则的最小值为．【题型三】定比分点1.过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为2.已知AB为抛物线的焦点弦，【例1】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（

）A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]【例2】（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为.【变式1】（多选）（2024·甘肃兰州·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则（

）A． B．C． D．【变式2】已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则.【变式3】（2022·安徽马鞍山·三模）双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为．【题型四】离心率综合解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：（1）根据条件求得，利用或求解；（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．【例1】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【例2】（2024·广东佛山·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·四川德阳·三模）设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（

）A． B． C．3 D．2【变式2】（2024·四川遂宁·二模）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与圆相切，与C在第一象限交于点P，且轴，则C的离心率为（

）A．3 B． C．2 D．【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为．【题型五】双曲线渐近线型（1）焦点到渐近线的距离为b（2）定点到渐近线的距离为【例1】（2024·福建·模拟预测）设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别为.若点B在m上，且，则m与n的夹角的正切值为（

）A． B． C．2 D．【例2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线，直线.双曲线上的点到直线的距离最小，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·山西晋城·二模）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·山东聊城·二模）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为，若直线与在第一象限内的交点为，且轴，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P为双曲线右支上一点，交双曲线的左支于点M，直线交双曲线的右支于另一点N，若，，则该双曲线的渐近线方程为．【题型六】抛物线中的设点计算型是抛物线的焦点弦，设，在准线上的射影分别为，则：（1）；（2）；（3）若倾斜角为，则；（4）以为直径的圆与准线相切；（5）；（6）若是中点，则，；（7）共线，共线；（8）．【例1】（2024·河南焦作·模拟预测）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），为的焦点，则（

）A． B． C．2 D．【例2】（2024·北京顺义·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点.若为的中点，则（

）A．4 B．6 C． D．8【例3】（2024·全国·模拟预测）已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于与不重合的两点．若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·四川成都·三模）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．4【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（

）A．的斜率可能不存在，且不为0B．点纵坐标为C．直线的斜率D．直线过定点【变式3】（2024·山东枣庄·一模）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（

）A．4 B．5 C． D．【题型七】切线型1.椭圆：若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.2.双曲线：若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.3.点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：；【例1】（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（

）附：椭圆上一点处的切线方程为.A． B．C． D．和的大小关系无法确定【例2】（2024·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，如：点为椭圆（为焦点）上一点，则点处的切线平分外角.已知椭圆为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（

）A． B．2 C．3 D．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·山东·模拟预测）已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（

）A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点【变式3】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（

）A． B． C． D．【题型八】切点弦型1.椭圆：若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.2.双曲线：若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.3.点是抛物线外一点，则抛物线过点P的切点弦方程是：；【例1】已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为A． B．2 C． D．1【例2】抛物线，过作抛物线的两条切线，分别切抛物线于、两点，则线段中点与轴的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】．抛物线的焦点为F，准线为l，斜率为2的直线m与抛物线C切于一点A，与准线l交于点B，则的面积为（

）A．15 B．C． D．【变式2】已知抛物线C：，点M为直线上一动点，过点M作直线，与抛物线C分别切于点A，B，则（

）A．0 B．1 C．-1 D．0或1【题型九】曲线轨迹型求轨迹方程：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.【例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知正方形的边长为2，是平面外一点，设直线与平面的夹角为，若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥的体积为，底面的四个顶点在经过球心的截面圆上，顶点在球的球面上，点为底面上一动点，与所成角为，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【变式1】