2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学试题及答案

数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）M2mm33M1.设集合，若，则实数m=（C.0或）11A.0B.D.0或1Sa}S，a52.记为等差数列的前n项和．已知，则nn451n2n5nn10Sn2n28nSn2n2A.B.C.D.n23.已知a1.5,b1.5c1.50.3，则（）A.abcB.D.bacbcaC.acb4.设1iz21i，则z（）2A.B.1C.2D.225.下列函数中，既是偶函数又是区间)上的增函数的是（）1xyyA.yB.x23xxyxC.D.2a，ba,cb,c则实数t，catb，若6.已知向量（）655D.6A.B.C.fxxaxb7.函数，则（）πA.若ab0，则为奇函数B.若ab为偶函数fx，则fx2π，则为偶函数fxD.若abπ，则为奇函数fxC.若ba2x,x0fx8.已知函数x1有fx2mfx恒成立，则实数的取值0m，若对任意的x,x0范围是（）A.,,,2D.,2B.C.9.已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足34eb30，则ab的最小值是b2D.23A31B.31C.2x1k，若存在区间[a,b]，使得函数f(x)在区间[a,b][ab上的值域为10.已知函数f(x)则实数k的取值范围为（）1,1,0()(0]A.B.C.D.44第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.π2111.已知角α的终边与单位圆交于点P,y，则2sin__________.的前项和，若1，则S6．SanSnn12.记为数列_____________nnxR,ax22xa0为假命题的a的取值范围是______13.若命题“对任意14.若函数fxAxsinxA0的最大值为2，则的一个对称中心为fx________，A_______yfx，若在其定义域内存在，使得xxfx成立，则称函数具有性质1fxP.015.对于函数00（1）下列函数中具有性质P的有___________.2x22fx①②③fxxx0,2π1fxx푥∈(0,+∞)）x④fxx1（2）若函数fxaxa具有性质P，则实数的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在VABC中，sinA2sinB，b2．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B的大小；（2）求VABC的面积．条件①：c4；条件②：bac2ac；条件③：aBbsinA．222SnSa202bb，3617.已知是等差数列{푎푛}的前项和，，数列{푏푛}是公比大于1的等比数列，且n5bb12.42（1）求数列{푎}和{푏}的通项公式；푛푛Snncncn，求使取得最大值时的值.n（2）设π32f(x)6cosxsin(x)18.已知函数．6f(x)（1）求的最小正周期和单调增区间；π5πyf(x)a在x[,]存在零点，求实数a的取值范围．（2）若函数1212ax2x119.1.已知函数fx，a0.ex（1）讨论函数的单调性；fx在区间上有且仅有一个零点.fx时，求证：函数a00,1（2）当xfxesinx2x20.已知函数（1）求曲线.yfx在点f(0))处的切线方程；（2）求在区间[上的最大值；fxx对xR恒成立，写出fxxaeaa的最大整数值，并说明理由（3）设实数使得.TSi,jSi,jaaaj,1ij,i,jN*21.已知数列{푎푛}记集合ii1（1）对于数列{푎푛}：2,3，列出集合T的所有元素；a2n是否存在i,jNn*Si,j1024的i,j；若不存（2）若，使得？若存在，求出一组符合条件在，说明理由；a2n2把集合TnB:b,b,,b,.12m（3）若中的元素从小到大排列，得到的新数列为若m2020m，求的最大值数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）M2mm33M1.设集合，若，则实数m=（C.0或）11A.0B.D.0或1【答案】C【解析】2m13和m33m并检验集合的互异性，可得到答案.M2mm，若3M【详解】设集合3M，2m13m33，，或当当2m13时，m1，此时M；m33时，m0，此时M；所以m1或0.故选：CSa}S，a52.记为等差数列的前n项和．已知，则nn451n2n5nn10Sn2n28nSn22nA.B.C.D.n2【答案】A【解析】55【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，4(72)S4100SaSS25850105C2BC，4554215SaSS522505D，，排除D，故选A．455422dS4a4303a411a2n5，∴，故选nA．【详解】由题知，2，解得d2aa4d551【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.已知a1.5,bc1.50.3，则（）1.5A.abcB.D.bacbcaC.acb【答案】B【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.a1.50,1b1.50.30，1，，【详解】由条件可知，所以bac.故选：B4.设1iz21i，则z（）2A.B.1C.2D.22【答案】D【解析】21i【分析】利用复数除法法则计算出z，求出模长.1i21i221i【详解】z故选：D1i2z2.，故1i1i25.下列函数中，既是偶函数又是区间)上的增函数的是（）1xyyA.yB.D.x23xxyxC2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．)上的增函数，错误；x是非奇非偶函数，是区间【详解】选项A，y1y)上的减函数，错误；是偶函数，是区间选项B，选项C，x2yx)上的增函数，正确；是偶函数，是区间3xx)上的增函数，错误；是奇函数，是区间选项D，y2故选：Ca,cb,c则实数ta，，catb，若b6.已知向量（）6556A.B.C.D.【答案】C【解析】a,cb,c【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据，利用向量夹角余弦公式列方程，求t出实数的值．a，catb3t,4，b，则【详解】由，a,cb,ccosa,ccosb,c又则，则acacbcbc，即a，acbcb9t163t，解得t5，42132故选：C.fxxaxb7.函数，则（）πA.若ab0，则为奇函数B.若ab为偶函数fx，则fx2π，则为偶函数fxD.若abπ，则为奇函数fxC.若ba2【答案】B【解析】的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇fxfxa,b【分析】根据选项中的关系，代入偶性的定义验证即可.【详解】的定义域为fxR，对A：若ab0，fxxasinxa，若为奇函数，则，而fxf00f0asina0不恒成立，故fx不是奇函数；ππab，fxxasinxaxaxa，对B：若22x，故为偶函数，B正确；f(x)fxfxaxaxaxaππ，，对C：若bafxxasinxa2xa22x2xa，故不是偶函数，故C错误；f(x)fxf对D：若abπ，fxxbπsinxbxbsinxb，若为奇函数，则，而cosbsinb0不恒成立，故fx不是奇函数；fxf00f0故选：Bx,x0fx8.已知函数x1有fx2mfx恒成立，则实数的取值0m，若对任意的x,x0范围是（）A.,,,2D.,2B.C.【答案】A【解析】fxm的取值范围.【详解】当x0时，x0，fxx，ffxxx，当x0时，x0，fxx，fxxfx，当x0时，f00，所以对任意的xR，fxfx，函数为奇函数，fxfx又当x0时，x为单调递减函数，所以函数在上为单调递减函数，fx,所以不等式fx2mfx0，可化为fx2mfxx2mxxm，所以，所以xm恒成立，由已知对任意的x1有所以1mm1，，即.,1m故的取值范围是故选：A.9.已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足34eb30，则ab的最小值是b2A.31B.31C.2D.23【答案】A【解析】a【分析】先确定向量、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设ax,y,e1,0,b,n，rrrrrrππ12a,eaeae,xx2yy3x，2则由得33rbrr2得m2n24m3m24eb302n2由232ab的最小值为圆心0到直线3x31.选A.因此，y的距离=3减去半径1，为【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.x1k，若存在区间[a,b]，使得函数f(x)在区间[a,b][ab上的值域为10.已知函数f(x)则实数k的取值范围为（）1,14()(0],0D.A.B.C.4【答案】D【解析】faa1a1a1k0ab1，故可知是【分析】根据函数的单调性可知，，即得fbb1b1b1k0方程x2xk0的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．faa1【详解】根据函数的单调性可知，，fbb1a1a1k0即可得到，b1b1k0即可知ab1是方程x2xk014k0所以解得，a1b1k01k0．4故选：D．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.π21211.已知角α的终边与单位圆交于点P,y，则sin__________.1【答案】##0.52【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos，再由诱导公式求出答案.21π212cos，由诱导公式得sin【详解】由三角函数定义得.21故答案为：2的前项和，若Sna1，则S6San12.记为数列_____________．nnn【答案】63【解析】Sa1S2n11，两式相减，整理得到n12a【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，nnn1n从而确定出数列n11,Sa11an1S公式求得的值.6Sa1S，可得n12n11，a2a，即n1【详解】根据nna2n12a两式相减得，n1nnn1时，112a1a1，解得，1当1所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，an2)12663，故答案是63.所以S6点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令n1，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.xR,ax2xa0为假命题的a的取值范围是______213.若命题“对任意【答案】a1【解析】xR,ax2xa0为真命题，分a0，a0和a0三种情2【分析】写出全称量词命题的否定，况，得到不等式，求出答案.xR,ax2xa0为真命题，2【详解】由题意得当a0时，不等式为2x0，有解，满足要求，a0a0a0ax2xa02当若时，若，此时必有解，满足要求，44a020a1，，则，解得综上，a的取值范围为a1.故答案为：a114.若函数fxAxsinxA0的最大值为2，则________，的一个对称中心为fxA_______π3,0【答案】【解析】①.3②.（答案不唯一）A.fx1fAxsinxA21x，其中tan【详解】由，A又函数的最大值为2，则Afx212，3π又A0，则Atan，不妨取，3，π36故fx2x，6πππ则的对称中心满足π，kZfxxxπkZ，解得，，623π3即的对称中心为π,0kZ，fx，π3则的一个对称中心可为：fx,0，π3,0故答案为：3，（答案不唯一）yfx，若在其定义域内存在，使得xxfx0成立，则称函数具有性质1fx15.对于函数P.00（1）下列函数中具有性质P的有___________.2x22fx①②③fxxx0,2π1fxx푥∈(0,+∞)）x④fxx1（2）若函数fxaxa具有性质P，则实数的取值范围是___________.0ae．【答案】【解析】①.①②④②.或1112x+22x+1）令，由0，可判断；由sinx=有解，可判断是否具有性质P；令xxx11yx1,y，两图象在有交点可判断；=，此方程无解，由此可判断；由xx1（2）问题转化为方程xx有根，令，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单gxxxaa调性及最值，由此可求得实数的取值范围．1x0fx1）在时，有解，即函数具有性质P，x12x+22880令∵，即2x22x10，2xfx2x22，故方程有一个非0实根，故具有性质P；1的图象与有交点，fxsinxx[02]yx1故sinx=有解，故fxsinxx[0]具有性质P；x111fxx+x令令=，此方程无解，故푥∈(0,+∞)）不具有性质P；xxx111x1yx1,yx1，，则由两图象在有交点，所以有根，所以xxx具有性质；fxx1P综上所述，具有性质P的函数有：①②④；1（2）fxaxxx，方程a0具有性质P，显然有根，a1令gxxxg'xx，令g'xx0x，解得，则，e11e1当时，x0，所以gx在上单调递减，当时，'，所以在gx>0gx1xg'，x>ee1e上单调递增，1111所以gxge，eee111所以gxxx的值域[，+∞，eae0ae．解之可得：或0ae．故答案为：①②④；或【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在VABC中，sinA2sinB，b2．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VABC存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B的大小；（2）求VABC的面积．条件①：c4；条件②：bacaBbsinA．2ac；条件③：222B【答案】（1）选②或③，；4（2）VABC的面积为1.【解析】1）选①，利用三边关系可判断VABC不存在；选②：利用余弦定理可求得角B的值；选③：利用正弦定理可求得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；cVABC（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得【小问1详解】的面积．解：因为sinA2sinB，b2，则ab2.选①：因为c4，则abc，则VABC不存在；选②：因为b2a2c22ac，则a2c2b2ac，2a2c2ac2b222由余弦定理可得B，BB，则；4aBbsinA，则sinABsinAsinB，A、B0,，则sinA0，sinBB0，故tanB1，从而B.4【小问2详解】Ba2ac2acB，解：因为，，b2，由余弦定理可得b22241212222c20，解得c2，因此，acsinB221.即c22SnSa202bb，3617.已知是等差数列{푎푛}的前项和，，数列{푏푛}是公比大于1的等比数列，且n5bb12.42（1）求数列{푎}和{푏}的通项公式；푛푛Snncncn，求使取得最大值时的值.n（2）设a2n2b2n【答案】（1），nn（2）或43【解析】n1{푎푛}数列{푏}的首项与公比，即可得{푏}的通项公式；푛푛（2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.cn【小问1详解】设等差数列{푎푛}的公差为d，54S5ad2051ad212则，解得，aa10d20111a2n2n所以，qq1设等比数列{푏푛}的公比为，2b21q2bq21q51，解得则，bq31q121b2nn所以；【小问2详解】2n2nnn1，由（1）得Sn2Snnn1ncn则，2nnn1nn1nn2n1nn1,2，2n12n2n1cn1cccc当时，，n123当n3时，n4cccc，4n1n3ccccn45c，n当时，n1所以当n3或4时，取得最大值.cnπ32f(x)6cosxsin(x)18.已知函数．6f(x)（1）求的最小正周期和单调增区间；π5πyf(x)a在x[,]存在零点，求实数a的取值范围．（2）若函数1212ππ【答案】（1），ππ,πkZ630,3（2）【解析】π6fx3sin2x1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；π63aπ5π1212πsin2xx,2x（2在6运算求解.【小问1详解】π36231232f(x)6xsinx6xsinxx对于函数232312π632331cos2x2sin2x3fx3sinxcosx3cosx3sin2xcos2x3sin2x，2222πf(x)的最小正周期为Tπ，所以函数2πππππ-+2π£2x-£+2,kÎZ，则-+π£x£+,kÎZ，令26263ππ∴函数.f(x)π,πkZ63【小问2详解】π6sin2xπ63aa0令∵yf(x)a0，即3sin2x，则，π5π1212π63aπ5πyf(x)a在x,sin2x在x,存在零点，则方程上有解，1212π5π1212π2ππsin2x，x,2x若∴时，则，可得636a01，得0a330,3．a故实数的取值范围是axx1219.1.已知函数fx，a0.ex（1）讨论函数的单调性；在区间上有且仅有一个零点.fxa0fx时，求证：函数0,1（2）当【答案】（1）当a0时，的单调递减区间为fx，单调递增区间为；,21a1fx时，的单调递减区间为,，，单调递增区间为,2.a0当a（2）证明过程见解析【解析】a1）求出导数，然后通过对2）结合第一问的结果，判断出函数在上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明0,1【小问1详解】ax2ax2axx22fx，exexx2当a0时，fx，由fx0得：x2，ex由，得：x2，故此时fx的单调递减区间为,2，单调递增区间为fx0gxaxx201a0得：푥=−<0或x2当时，令푎1由gx0x2fx0得：，此时a1由gx0xfx0得：或x2，此时a11，单调递增区间为,2故此时的单调递减区间为,fx，aa综上：当a0时，的单调递减区间为，单调递增区间为；fx,21a1a的单调递减区间为，，单调递增区间为a0fx,,2.当时，【小问2详解】由（1）可知，当1a10,1的单调递增区间为，而，所以在fx,20,1a0fx,2时，aaf010f1上单调递增，又0，e所以f0f0在区间上有且仅有一个零点fx0,1xfxesinx2x20.已知函数（1）求曲线.yfx在点f(0))处的切线方程；（2）求在区间[上的最大值；fxx对xR恒成立，写出的最大整数值，并说明理由afxxaea（3）设实数使得.yx【答案】（1）sin1efx2（2）（3）2，理由见解析【解析】1）求出函数在x0处的导数，即切线斜率，求出f(0)，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[上的单调性，求出最值即可；xxasinxxRxsinx（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函exex数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】fxesinx2x，因为x所以fxexsinxx2，则1，又f(0)0，f(0)yfx在点f(0))yx所以曲线处的切线方程为.【小问2详解】令fxxsinxx2，gxe则x，当x[时，在gx2exg(x)0gx，[上单调递增.g(0)10g1esin1cos120，因为，0g(0)0.所以，使得x(x)f(x)0fx，所以当时，单调递减；f(x)0fx，单调递增，0x(0当时，sin1e又fesin12e21，1，f12sin1efxf12所以.【小问3详解】a满足条件的的最大整数值为2.理由如下：x不等式fxxaexasinx恒成立等价于恒成立.exx令xsinx，exx当x0时，0，所以(x)1恒成立.exxx1h(x)0hx，，当x0时，令h(x)与h(x)hx，exex的情况如下：x1()01h(x)h(x)e1ex，当趋近正无穷大时，h(x)0，且hxh1h(x)无限趋近于0，所以1eh(x),0所以因为的值域为，sinx[(x)1且大于2.，所以的最小