第十一章 三角形（5类压轴题专练）

第十一章三角形（压轴题专练）【题型一三角形中高线的综合问题】1.已知：点，，，，过点Ｃ是作y轴的垂线m，垂足为C．

(1)如图1，连接、，求的面积；(2)如图2，延长BA交直线m交于点D，在CD上存在点P，使，请补全图形，并求点P的坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P是直线m上的一个动点，连接交x轴于点M，连接,当时，直接写出点Ｍ的坐标2．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在题干的基础上，①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：；②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值．3．在平面直角坐标系中，有点，，且a，b满足，将线段向上平移k个单位得到线段．

(1)直接写出______，______；(2)如图1，点E为线段上任意一点，点F为线段上任意一点，．点G为线段与线段之间一点，连接，．且，，求的度数；(3)如图2，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，延长交l于K；①用面积法求K点坐标；②若的面积为10，求点M的坐标．【题型二三角形中中线的综合问题】1.【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．2．基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，是边上的中线，则．理由：因为是边上的中线，所以．又因为，，所以．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则_（用含a的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则_（用含a的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则_（用含a的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为_（用含a的代数式表示），并写出理由．3．阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．理由：，，即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索在如图2至图4中，的面积为．(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，，点C是直线，下方一点，连接，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）2．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足．(1)请直接写出a，b的值；(2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式；(3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在中，点是延长线上一点．

(1)如图1，过点作，交于点，．①若，则______°；②试写出与的数量关系，并说明理由；③当时，求的度数；④若，请说明；(2)如图2，交于点，，直接写出、与之间的数量关系．2．（1）如图①所示，中，点是和的平分线的交点，若，则_____________（用表示）；不用说明理由，直接填空．如图②所示，，，若，则____________（用表示），不用说明理由，直接填空．

（2）如图③所示，，，若，则___________（用表示），填空并说明理由．3．已知点在射线上，．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．4．在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．

(1)如图1，如果点F在线段上，且，，则______．(2)如果点F在的外部，分別作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点与点重合，、分别平分和的外角，连接，过点作交延长线于点，交的延长线于点，若，且，求的度数．【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．

2．观察图形，按要求完成：(1)在四边形中，，．

①如图，若，则=________；②如图，若的平分线交于点、且，则________；③如图，若和的平分线相交于点，则________；(2)如图，当时，若和的平分线交于点，请说明与之间的数量关系．3．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？(1)已知：如图，在中，分别平分和，试探究与的数量关系；(2)探究二：若将改为任意四边形呢？已知：如图，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系；（写出说理过程）(3)探究三：若将上题中的四边形改为六边形（图（3））呢？请直接写出与的数量关系：.4．如图1，我们分别研究过三角形中两内角平分线所成的、两外角平分线所成的、一内角一外角平分线所成的与的关系.(1)如图2，在四边形中，、分别平分和，则与，的数量关系为.(2)如图3，在四边形中，、分别平分和，请探究与，的数量关系，并说明理由.(3)在四边形中，为的平分线与边和延长线所成角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则.（用α、β表示）

第十一章三角形（压轴题专练）答案全解全析【题型一三角形中高线的综合问题】1.已知：点，，，，过点Ｃ是作y轴的垂线m，垂足为C．

(1)如图1，连接、，求的面积；(2)如图2，延长BA交直线m交于点D，在CD上存在点P，使，请补全图形，并求点P的坐标；(3)请在备用图中画图探究：若点P是直线m上的一个动点，连接交x轴于点M，连接,当时，直接写出点Ｍ的坐标．【答案】(1)3(2)点P的坐标或，(3)点M的坐标为或【分析】（1）根据点A、B、C的坐标得，则，即可得；（2）设，根据的面积：，解得，根据得，或，进行计算即可得；（3）设，根据得，解得，根据得，计算得，则，当点P在第二象限时，根据对称性，即可得．【详解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴的面积：；（2）解：如图2所示，设，

的面积：，，∵，∴，或，解得，或，∴点P的坐标或；（3）解：如图3中，设，

，，，∵，∴，，∴，当点P在第二象限时，根据对称性，综上，满足条件的点M的坐标为或．【点睛】本题考查了三角形面积，平行线的性质，一元一次方程，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在题干的基础上，①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：；②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；(2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值．【答案】(1)①见解析；②猜想：，证明见解析(2)【分析】（1）①根据，代入数据即可求解；②作，，根据，代入数据即可求解；（2）作点关于直线的对称点，则，，过作于，过作于，根据求得，进而根据求得，由，可得当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，即可求解．【详解】（1）①∵∴即

∴②猜想：理由如下：，作，，∵即即∴

（2）作点关于直线的对称点，∴，∵点在延长线上，则、、、共线，∴，过作于，过作于，∵∴∴∵即∴∵当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，此时

【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，有点，，且a，b满足，将线段向上平移k个单位得到线段．

(1)直接写出______，______；(2)如图1，点E为线段上任意一点，点F为线段上任意一点，．点G为线段与线段之间一点，连接，．且，，求的度数；(3)如图2，若，过点C作直线轴，点M为直线l上一点，延长交l于K；①用面积法求K点坐标；②若的面积为10，求点M的坐标．【答案】(1)6；(2)(3)①；②或【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求值即可；（2）设，，则，，过O作，得出，根据平行线的性质得出，求出，过G作，则，根据平行线的性质得出，，即可求出结果；（3）①如图，连接，设，根据，得出，求出即可；②设，根据，得出，求出或即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案为：6；．（2）解：由平移的性质得：，设，，则，，过O作，如图所示：

则，∴，，∴，即，∴，过G作，则，∴，，∴；（3）解：①如图，连接，

∵，∴，，设，∵，∴，解得：，∴K点坐标为；②设，∵，∴，解得：或，∴M的坐标为或．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，非负数的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质．【题型二三角形中中线的综合问题】1.【问题情境】苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．

【深入探究】（1）如图2，点在的边上，点在上．①若是的中线，求证：；②若，则______．【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形．①求证：；②若，则______．【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；②【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；（2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明，②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解．【详解】（1）①证明：∵是的中线，∴，点为的中点，∴是的中线，∴，∴，即；②，解：设边上的高为，则，，∵，∴，同理，则，即，∴．（2）①证明：连接，，，如图：

∵点、、、分别为、、、的中点，∴，，，分别为，，，的中位线，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可证得，，即，∵，∴．【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键．2．基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，是边上的中线，则．理由：因为是边上的中线，所以．又因为，，所以．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则_（用含a的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则_（用含a的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则_（用含a的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为_（用含a的代数式表示），并写出理由．【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，见解析【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；（3）由（2）结论即可得出，从而得解；（4）点E是线段的中点，可得，．．点F是线段的中点，可得．从而可得答案．【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即；（2）如图3，连接，延长的边到点，延长边到点，使，，，，，即；（3）由（2）得，同理：，，；（4），理由如下：理由：∵点E是线段的中点，∴，．∴．∵点F是线段的中点，∴．∴．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．3．阅读与理解：三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则．理由：，，即：等底同高的三角形面积相等．操作与探索在如图2至图4中，的面积为．(1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由；(3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示）拓展与应用：(4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；（3）由（2）结论即可得出，从而得解；（4）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，，从而得解．【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即；故答案为：；（2）解：如图3，连接，延长的边到点，延长边到点，使，，，，，即；故答案为：；（3）解：由（2）得，同理：，，；故答案为：；（4）解：如图5所示，连接，则，，；故阴影部分的面积为．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质即等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．【题型三三角形中角平分线的综合问题】1.已知，，点C是直线，下方一点，连接，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，分别平分和，所在的直线相交于点H，若，求的度数；（用含的式子表示）(3)如图3，若，分和两部分，且，，直线，相交于点H，则____________．（用含n和的式子表示）【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】（1）过点B作交CD于点F，根据证明，再利用，且，即可证明；（2）利用角平分线即四边形内角和等于可得：，整理可得：，由（1）可得：，可得，进一步可求出；（3）设，，则且，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）可得：，即，可求出．【详解】（1）证明：过点B作交CD于点F，∵，∴，∵，且，∴，即．（2）解：∵，分别平分和，∴，整理可得：，由（1）可得：，∴，即，∵，∴．（3）解：∵，，设，，则且，，由四边形内角和等于可得：，即，由（1）可得：，∴，即，∴，整理得：．故答案为：【点睛】本题考查平行线的性质，四边形内角和等于，角平分线的性质，解题的关键结合图象找出角之间的关系．2．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足．(1)请直接写出a，b的值；(2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式；(3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE．【答案】(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用平方数、二次根式的非负性求解；（2）设D(0，y），利用点的坐标求出相关线段长度，利用S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC求出点D的坐标；利用S△ACF+S△BCF=S△ABC求m与n满足的关系式；（3）利用BC⊥AC，CF是△ABC的高，证明∠CBF=∠ACF，再结合角平分线的定义证明∠FBE=∠GCH，进而推出∠GHC=∠GFB=90°，即可证明CH⊥BE．【详解】（1）解：∵，，，∴，解得：，；（2）解：设D(0，y），则，由（1）得，，∴，，∴，，，由S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC得，，解得：y=3，∴D(0，3）．∵点F（m，n）在线段AB上，∴△ACF中AC边的高为n，△BCF中BC边的高为，由S△ACF+S△BCF=S△ABC得，，化简得，；（3）证明：∵BC⊥AC，CF是△ABC的高，∴∠BCA=90°=∠BFC，∴∠CBF=90°－∠A，∠ACF=90°－∠A，∴∠CBF=∠ACF．∵BE平分∠CBA，CH平分∠ECG，∴∠FBE=∠CBF，∠GCH=∠ACF，∴∠FBE=∠GCH；∴∠GHC=180°－∠GCH－∠CGH=180°－∠FBE－∠BGF=∠GFB=90°，∴CH⊥BE．【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换．【题型四三角形内角和与外角和的综合问题】1.在中，点是延长线上一点．

(1)如图1，过点作，交于点，．①若，则______°；②试写出与的数量关系，并说明理由；③当时，求的度数；④若，请说明；(2)如图2，交于点，，直接写出、与之间的数量关系．【答案】(1)①；②，理由见解析；③；④见解析(2)【分析】（1）①根据，，即可求得答案．②根据，，结合等量代换，即可求得答案．③根据②的结论，采用等量代换即可求得答案．④根据，即可求得的度数，问题即可得证．（2）延长至，根据，结合三角形的外角的性质可求得答案．【详解】（1）①∵，∴．故答案为：．②．理由如下：∵，∴．即．③∵，，∴．∴．∴．④∵，，∴．∴．∴．（2）．理由如下：如图，延长至．

∵，，，∴．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），牢记三角形的外角的性质是解题的关键．2．（1）如图①所示，中，点是和的平分线的交点，若，则_____________（用表示）；不用说明理由，直接填空．如图②所示，，，若，则____________（用表示），不用说明理由，直接填空．

（2）如图③所示，，，若，则___________（用表示），填空并说明理由．【答案】（1），．；（2）【分析】（1）平分平分可得可得由可得代入即可得出结果．（2）由，，，根据三角形内角和定理可得出，代入即可求解．【详解】解：（1）在中，，如图①所示，平分平分如图②所示，故答案为：(2)∵，，，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义以及三角形的外角的性质，牢记三角形内角和是是解此题的关键．3．已知点在射线上，．

(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，垂足为，交于点，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当，时，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据，可得，再根据，即可得到，即可得证；（2）．根据三角形外角的性质，可得到，根据直角三角形两锐角互余，有，再根据即可得到与的数量关系；（3）设，则，，根据，即可得到，再根据，即可得到，求得的值，即可运用三角形内角和定理得到的度数．【详解】（1）证明：∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：理由如下：∵是的外角，∴，∵，∴，∴在中，，∴，又∵，∴；（3）设，则，∴，∵，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴的度数为．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．4．在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D．

(1)如图1，如果点F在线段上，且，，则______．(2)如果点F在的外部，分別作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，若点与点重合，、分别平分和的外角，连接，过点作交延长线于点，交的延长线于点，若，且，求的度数．【答案】(1)(2)画图见解析，，理由见解析(3)【分析】（1）先求出，进而得到，，根据得到，即可求出；（2）根据题意先画出图形，根据三角形内角和定理和角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则，据此即可得到答案；（3）根据得到，得到，从而求出，进而求出，结合，得到．根据，得到，求出．从而分别求出，，，再求出，根据四边形内角和为即可求出．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：，理由如下：在中，，∵平分，∴，∵，∴，∵和的角平分线交于点K，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：设，∵平分，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∵、分别平分和的外角，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．∴，，∴，∵，∴，∴在四边形中，（四边形内角和可以看做是两个三角形的内角和）．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，三角形角平分线，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键．【题型五多边形的内角和与外角和综合问题】1.【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．

【答案】（感知）；（探究），理由见解析；（应用）【分析】（感知）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（探究）根据四边形的内角和和邻补角的定义即可求出答案．（应用）根据四边形的内角和和邻补角定义可求出的度数，结合角平分线的定义即可求出度数，最后利用三角形内角和即可求出的度数．【详解】解：（感知）四边形的内角和为：，，，，，．故答案为：．（探究），理由如下：，．，．．（应用）四边形的内角和为：，，，，，．．分别是四边形的外角的平分线，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了四边形内角和，三角形内角和，邻补角和角平分线，解题的关键在于掌握多边形内角和公式，以及相关知识点．2．观察图形，按要求完成：(1)在四边形中，，．

①如图，若，则=________；②如图，若的平分线交于点、且，则________；③如图，若和的平分线相交于点，则________；(2)如图，当时，若和的平分线交于点，请说明与之间的数量关系．【答案】(1)①；②；③(2)【分析】（1）①根据四边形的内角和定理即可求解；②根据平行线的性质可得，的度数，三角形的内角和定理即可求解；③根据四边形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的性质，三角形的内角和定理即可求解；（2）由③的计算方法，根据四边形的内角和定